一重定積分
1. Z = trapz(X,Y,dim)
梯形數值積分，通過已知參數x,y按dim維使用梯形公式進行積分
%舉例說明1
clc
clear all
% int(sin(x),0,pi)
x=0:pi/100:pi; %積分區間
y=sin(x); %被積函數
z = trapz(x,y) %計算方式一
z = pi/100*trapz(y) %計算方式二
運行結果
被積函數曲線
2、[q,fcnt]= quad(fun,a,b,tol,trace,p1,p2...)
自適應simpson公式數值積分，適用於精度要求低，積分限[a,b]必須是有限的,被積函數平滑性較差的數值積分.
[q,fcnt] = quadl(fun,a,b,tol,trace,p1,p2...)
自適應龍貝格數值積分，適用於精度要求高，積分限[a,b]必須是有限的，被積函數曲線比較平滑的數值積分
%舉例說明2
% 被積函數1/(x^3-2*x-p)，其中參數p=5，積分區間為[0,2]
clc
clear all
F = @(x,n)1./(x.^3-2*x-n); %被積函數
Q1 = quad(@(x)F(x,5),0,2) %計算方式一
Q1 = quad(F,0,2,[],[],5) %計算方式二
Q2 = quadl(@(x)F(x,5),0,2) %計算方式一
Q2 = quadl(F,0,2,[],[],5) %計算方式二
運行結果
被積函數曲線
可能警告：
1.'Minimum step size reached'
意味着子區間的長度與計算機舍入誤差相當，無法繼續計算了。原因可能是有不可積的奇點
2.'Maximum function count exceeded'
意味着積分遞歸計算超過了10000次。原因可能是有不可積的奇點
3.'Infinite or Not-a-Number function value encountered'
意味着在積分計算時，區間內出現了浮點數溢出或者被零除。
3、[q,errbnd] = quadgk(fun,a,b,param1,val1,param2,val2,...)
自適應Gauss-Kronrod數值積分，適用於高精度和震盪數值積分，支持無窮區間，並且能夠處理端點包含奇點的情況，同時還支持沿着不連續函數積分，復數域線性路徑的圍道積分法
注意事項：
1.積分限[a,b]可以是[-inf,inf]，但必須快速衰減
2.被積函數在端點可以有奇點，如果區間內部有奇點，將以奇點區間划分成多個，也就是說奇點只能出現在端點上
3.被積函數可以劇烈震盪
4.可以計算不連續積分，此時需要用到'Waypoints'參數，'Waypoints'中的點必須嚴格單調
5.可以計算圍道積分，此時需要用到'Waypoints'參數，並且為復數，各點之間使用直線連接
6.param,val為函數的其它控制參數，比如上面的'waypoints'就是，具體看幫助
出現錯誤：
1.'Reached the limit on the maximum number of intervals in use'
2.'Infinite or Not-a-Number function value encountered'
%舉例說明3
%（1）計算有奇點積分
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F=@(x)exp(x).*log(x);
Q = quadgk(F,0,1)
運行結果
被積函數曲線
%舉例說明3
%（2）計算半無限震盪積分
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F=@(x)x.^5.*exp(-x).*sin(x);
fplot(F,[0,100])%繪圖，看看函數的圖形
[q,errbnd] = quadgk(F,0,inf,'RelTol',1e-8,'AbsTol',1e-12)%積分限中可以有inf，但必須快速收斂
運行結果
被積函數曲線
%舉例說明3
%（3）計算不連續積分
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F=@(x)x.^5.*exp(-x).*sin(x);
[q,errbnd] = quadgk(F,1,10,'Waypoints',[2 5])%顯然2，5為間斷點
運行結果
被積函數曲線
4、[Q,fcnt] = quadv(fun,a,b,tol,trace) 矢量化自適應simpson數值積分
注意事項：
1.該函將quad函數矢量化了，就是一次可以計算多個積分
2.所有的要求完全與quad相同
%舉例說明4
% 計算下面積分，分別計算n=1,2...,5時的5個積分值，被積函數1/(n+x)，積分限為[0,1]
clc
clear all
%計算多個積分值（一）
for k = 1:5,
Qs(k) = quadv(@(x)1/(k+x),0,1)
end;
%同時%計算多個積分值的方法（二）
F=@(x,n)1./((1:n)+x);%定義被積函數
quadv(@(x)F(x,5),0,1)%我們可以完全使用quadv函數替換上面循環語句的，建議使用（二）
運行結果：
二重積分
q = dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol,method)
矩形區域二重數值積分，一般區域二重積分參見NIT(數值積分工具箱)的quad2dggen函數
% 例 計算下面二重積分 F = @(x,y)y*sin(x)+x*cos(y); Q = dblquad(F,pi,2*pi,0,pi)
三重定積分
q=triplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,tol,method)
長方體區域三重數值積分，注意此時沒有一般區域的三重積分
%例 計算下面三重積分 F = @(x,y,z)y*sin(x)+z*cos(x); Q = triplequad(F,0,pi,0,1,-1,1)
超維長方體區域多重積分
quadndg：NIT工具箱函數，可以解決多重超維長方體邊界的定積分問題，但沒有現成的一般積分區域求解函數
總結
quad：采用自適應變步長simpson方法，速度和精度都是最差的，建議不要使用
quad8：使用8階Newton-Cotes算法，精度和速度均優於quad，但在目前版本下已被取消
quadl：采用lobbato算法，精度和速度均較好，建議全部使用該函數
quadg：NIT(數值積分)工具箱函數，效率最高，但該工具箱需要另外下載
quadv：quad的矢量化函數，可以同時計算多個積分
quadgk：很有用的函數，功能在Matlab中最強大
quad2dggen：一般區域二重積分，效率很好，需要NIT支持
dblquad：長方形區域二重積分 (
triplequadL：長方體區域三重積分
quadndg：超維長方體區域積分，需要NIT支持