02 基本序列以及序列表示

基本序列以及序列表示

單位沖激序列

  單位沖激序列\(\delta[n]\)是用的最頻繁的序列，定義為

\[\delta[n]= \begin{cases} 1, \quad n=0 \\ 0, \quad 其他 \end{cases} \]

  單位沖激序列經時移后的表示為

\[\delta[n-k]= \begin{cases} 1, \quad n=k \\ 0, \quad 其他 \end{cases} \]

單位階躍序列

  單位階躍序列記為\(\mu[n]\)，定義為

\[\mu[n]= \begin{cases} 1, \quad n\geq0 \\ 0, \quad n < 0 \end{cases} \]

  單位沖激序列與單位階躍序列之間的關系

\[\delta[n]=\mu[n]-\mu[n-1] \\ \mu[n]=\sum_{m=0}^{\infty} \delta[n-m]=\sum_{m=-\infty}^{n}\delta[m] \]

正弦序列

形如

\[x[n]=Acos(w_0n+\phi),\quad -\infty<n<\infty \]

稱為實正弦序列。

正弦序列的周期

  由周期的定義知，若

\[x[n+N]=x[n] \]

那么稱\(N\)為序列\(x[n]\)的周期，所以有

\[Acos(w_0(n+N)+\phi)=Acos(w_0n+\phi) \]

易知當且僅當\(w_0N=2k\pi\)等號才成立，所以有且當

\[\frac{2\pi}{w_0}=\frac{N}{k}, \, N和k都是整數 \]

正弦序列才是周期序列，且周期為\(N\)。

  也就是說，只有當\(\cfrac{2\pi}{w_0}=\frac{N}{k}\)為有理數時，正弦序列才是周期函數，這與連續信號不一樣，對於連續信號，無論\(w_0\)取多少，正弦函數都是周期的。

觀察下列信號是否為周期函數

\((a)x_a[n]=cos(1.5\pi n) \quad -\infty<n<\infty\\ (b)x_b[n]=cos(\sqrt3 n )\quad -\infty<n<\infty​\)
解：

\((a)w_a=1.5\pi​\)
則\(\cfrac{2\pi}{w_a}=\cfrac{4}{3}​\)為有理數，所以序列\(x_a[n]​\)為周期序列，且周期為\(4​\)
\((b)w_b=\sqrt3​\)
則\(\cfrac{2\pi}{w_b}=\cfrac{2\pi}{\sqrt3}​\)為無理數，所以序列\(x_b[n]​\)為非周期序列。

正弦序列的兩個性質

性質一：
  對於兩個正弦序列\(x_1[n]=cos(w_1n)，x_2[n]=cos(w_2n)\)，其中\(0 \leq w_1 < 2\pi ,2\pi k \leq w_2 < 2\pi(k+1)\)，若

\[w_2=w_1+2\pi k \]

則

\[x_2[n]=cos((w_1+2\pi k)n)=cos(w_1n+2\pi kn)=cos(w_1n)=x_1[n] \]

無法區分這兩個序列。

  這個性質說明，對於任何\(w\)取值在\([0,2\pi]\)之外的正弦序列，都與\(w\)對\(2\pi\)取模得到取值的正弦序列是一樣的。

比如:\(cos(3\pi n)=cos(\pi n),\,cos(2.5\pi n)=cos(0.5\pi n)\)

性質二：
  還是考慮兩個正弦序列\(x_1[n]=cos(w_1n)，x_2[n]=cos(w_2n)\)，其中\(0\leq w_1 < \pi,\pi \leq w_2 < 2\pi\)，假設

\[w_2=2\pi-w_1​ \]

則

\[x_2[n]=cos((2\pi -w_1)n)=cos(2\pi n - w_1n)=cos(-w_1n)=cos(w_1n)=x_1[n] \]

  這說明對於頻率為\(w\)，且頻率范圍在\(0 \leq w < \pi\)的正弦序列，與頻率為\(2\pi -w\)的正弦序列相同。於是稱頻率\(\pi\)為折疊頻率(因為\(w\)與\(2\pi -w\)關於\(\pi\)對稱)。這是正弦序列的第二個性質。

例如：\(cos(1.5\pi n)=cos(0.5\pi n)\)

指數序列

  定義指數序列

\[x[n]=A\alpha^n,\, -\infty < n < \infty \]

其中\(A\)和\(\alpha\)可以是實數，也可以是復數。

  當\(A\)和\(\alpha\)都是復數時，若

\[\alpha = e^{\sigma_0+jw_0},A=\vert A \vert e^{\phi} \]

則

\[\begin{aligned} x[n]&=\vert A \vert e^{\sigma_0} e^{(jw_0+\phi)} \\ &=\vert A \vert e^{\sigma_0}cos(jw_0+\phi)+j\vert A \vert e^{\sigma_0} sin(jw_0+\phi) \end{aligned} \]

  得到序列\(x[n]\)的實部和虛部分別為

\[x_{re}[n]=\vert A \vert e^{\sigma_0}cos(jw_0+\phi) \\ x_{im}[n]=\vert A \vert e^{\sigma_0} sin(jw_0+\phi) \]

  若\(\alpha\)和\(A\)都是實數，則\(x[n]\)可簡化為實指數序列。

矩形窗序列

  矩形窗序列與稱為\(box-car\)序列，該序列的特點是在有限范圍內\(N_1 \leq n \leq N_2\)有單位樣本值，在其他范圍內為\(0\)，如下：

\[w_R[n]= \begin{cases} 1, \quad N_1 \leq n \leq N_2 \\ 0, \quad 其他 \end{cases} \]

  如果一個矩形窗序列\(w_R[n]\)與一個序列\(x[n]\)相乘，則會提取出序列\(x[n]\)在\(N_1 \leq n \leq N_2\)內的樣本值，即

\[x[n] \cdot w_R[n]= \begin{cases} x[n], \quad N_1 \leq n \leq N_2 \\ 0, \quad 其他 \end{cases} \]

這個過程叫做加窗，在設計某些類型的數字濾波器有重要作用。

任意序列的表示

  對於序列

\[x[n]=\{-2,1,\mathop{3}\limits_{\uparrow},6,1\} \]

可以表示為

\[x[n]=-2\delta[n+2]+\delta[n+1]+3\delta[n]+6\delta[n-1]+\delta[n-2] \]

  其實對於任何的序列都可以表示為單位沖激響應及其延遲的加權和。即

\[x[n]=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]\delta [n-m] \]

  想必大家已經看出來了

\[\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]\delta [n-m] \]

正是卷積\(x[n]*\delta[n]\)，其實卷積運算的定義正是從此而來的，我們找到了將任意序列表達為單位沖激序列以及其延遲加權和的表達式，然后把這種表達式命名為一種的新的運算叫做卷積。

  並且在這里我們得到一個重要的，關於卷積的公式，那就是

\[x[n]=x[n]*\delta[n] \]

即，任何一個序列與單位沖激序列進行卷積后得到的序列是其本身，這是一個挺有用的結論，希望大家記住。

  我們已經找到了任何序列的通用表達式，到這里大家想必隱隱約約對於卷積的重要性有點感覺了吧！