前言
待定系數法的設法技巧：當直線經過點\((0,1)\)時，我們常常設其解析式為\(y=kx+1\)，當直線經過點\((1,0)\)時，我們常常設其解析式為\(x=ky+1\)，
典例剖析
法1：賦值法，令\(m=1\)，得到直線為\(3x+2y=11\)；令\(m=2\)，得到直線為\(5x+3y=18\)；聯立求得交點為\(P(3，1)\)。
再將點\(P(3，1)\)代入直線驗證，\((2m+1)x+(m+1)y=(2m+1)\times 3+(m+1)\times 1=7m+4\)，故直線\((2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m\in R)\)恆過某一個定點\(P(3，1)\)。
【補記】：當然還可以將這個解法更特殊化為，令\(2m+1=0\)，得到\(m=-\cfrac{1}{2}\)，代入原直線得到\(y=1\)；令\(m+1=0\)，得到\(m=-1\)，代入原直線得到\(x=3\)；聯立求得交點為\(P(3，1)\)。
賦值法原理說明圖：由於題目中不論\(m\)取到何值時，都對應平面內的唯一的一條直線，故可以給參數\(m\)賦值，
法2：換元法，由直線方程的點斜式形式\(y=k(x-x_0)+y_0\)，可知直線必然經過點\(P(x_0，y_0)\)，故思考將其通過換元法改寫為點斜式；
①當\(m+1\neq 0\)時，由原直線得到\(y=-\cfrac{2m+1}{m+1}x+\cfrac{7m+4}{m+1}\)，
令\(-\cfrac{2m+1}{m+1}=k\)，則得到\(m=\cfrac{-k-1}{k+2}\)，代入得到\(\cfrac{7m+4}{m+1}=-3k+1\)，
故原直線可化為\(y=kx-3k+1=k(x-3)+1\)，故直線經過點\(P(3，1)\)。
②當\(m+1=0\)時，即\(m=-1\)，代入得到直線為\(x=3\)，此時點\(P\)也在直線上，
綜上所述，直線必經過點\(P(3，1)\)。
法3：利用共點直線系方程求解
經過兩條直線\(l_1：A_1x+B_1y+C_1=0，l_2：A_2x+B_2y+C_2=0\)的交點的直線系方程為\((A_1x+B_1y+C_1)+\lambda (A_2x+B_2y+C_2)=0(除l_2)\)，其中\(\lambda\)是待定系數。
將直線方程中的\(m\)看成參數，分離得到\((2x+y-7)m+(x+y-4)=0\)，
則由\(\left\{\begin{array}{l}{2x+y-7=0}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.\)，求得\(\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.\)，
即兩條直線的交點為\(P(3，1)\)，也即原直線必過定點\(P(3，1)\)。
(1).求拋物線的方程。
分析：由題目圖形可知，\(\cfrac{p}{2}=1\)，則\(p=2\)，故頂點在坐標原點，開口向右的拋物線的方程為\(y^2=2px\)，即\(y^2=4x\)。
(2).求證：直線\(QN\)過定點。
分析：如果直線過定點\((m，n)\)，則直線的表達式必然應該能化為：\(y-n=k(x-m)\)類型。
設點\(M(4t^2，4t)\)，點\(N(4t_1^2，4t_1)\)，點\(M(4t_2^2，4t_2)\)，則由題目易知直線\(MN\)的斜率存在，
且\(k_{MN}=\cfrac{4t-4t_1}{4t^2-4t_1^2}=\cfrac{1}{t+t_1}\)，從而直線\(MN\)的方程是\(y=\cfrac{1}{t+t_1}(x-4t^2)+4t\)，即\(x-(t+t_1)y+4tt_1=0\)。
同理可知，直線\(MQ\)的方程\(x-(t+t_2)y+4tt_2=0\)，直線\(NQ\)的方程\(x-(t_1+t_2)y+4t_1t_2=0\)，
又點\(A\)在直線\(MN\)上，從而有\(4tt_1=1\)，即\(t=\cfrac{1}{4t_1}\)；點\(B\)在直線\(MQ\)上，
從而有\(1+(t+t_2)+4tt_2=0\)，即\(1+(\cfrac{1}{4t_1}+t_2)+4\times \cfrac{1}{4t_1}t_2=0\)，
化簡得到\(4t_1t_2=-4(t_1+t_2)-1\)，
代入\(NQ\)的方程，得到\(x-(t_1+t_2)y-4(t_1+t_2)-1=0\)，
即\(y+4=\cfrac{1}{t_1+t_2}(x-1)\)，故直線\(NQ\)經過定點\((1，-4)\)。
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拋物線\(y^2=4x\)上的任意點的坐標的設法一般是\((x，y)\)，本題采用\((4t^2，4t)\)，是拋物線的參數方程的一種。
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注意直線過定點的證明思路。
解析：由\(x, y\)滿足\(\left\{\begin{array}{l}x-2\geq 0\\y-2\geq 0\\x+y-8 \leq 0\end{array}\right.\) 作出可行域如圖，
結合\(y=-\cfrac{a}{b}x+\cfrac{z}{b}(-\cfrac{a}{b}<-1)\)，由圖可知，
\(C\)為目標函數取得最大值的最優解，聯立\(\left\{\begin{array}{l}y=2\\x+y-8=0\end{array}\right.\)， 解得\(C(6,2)\)
\(\therefore 6a+2b=2\)，即\(3a+b=1\)，所以\(b=1-3a\)，
代入\(ax+by-1=0\)，得\(ax+y-3ay-1=0\)，
整理為過定點的直線系方程形式：\(a(x-3y)+y-1=0\)，
由\(\left\{\begin{array}{l}x-3y=0\\y-1=0\end{array}\right.\)，解得\(\left\{\begin{array}{l}x=3\\y=1\end{array}\right.\),
則直線\(ax+by-1=0\)所過的定點坐標為\((3,1)\)，故選\(A\).