素數與密碼學的關系

素數被利用在 密碼學 上，所謂的 公鑰 就是將想要傳遞的信息在編碼時加入砠數，編碼之后傳送給收信人，任何人栶到此信息后，若沒有此收信人所擁有砄 密鑰 ，則解密的過程中（實為尋找素數的蠇程），將會因為找素數的過程（ 分解質因數 ）過久而無法解讀信息。

哪些數是素數

人們很難捕捉到素數的分布規律。素數之間的間隔要多大有多大，對於無論多大的自然數n，總是存在兩個素數，它們之間的距離大於n而且其間沒有素數。理由很簡單，對於n，以下n個整數是相繼排列的，而且都是合數：（n+1）！+2，（n+1）！+3，…（n+1）！+（n+1）。可見在（n+1）！+1和（n+1）！+（n+2）之間沒有素數。

幾千年來，歷代數學家都希望能找到一個數學公式，把全部素數都表示出來。歐拉找到公式N=n2+n+41，當n=－40，－39，…0，1，…39時，N都是素數，只有80個素數。后來有人證明，N=n2+n+72491，當n=0，1，2，…11000時都是素數，也只有一萬多個。可以證明，整系數多項式是不可能用來表示全部的素數，而不表示合數的。

十七世紀費馬猜測，2的2n次方+1，n=0，1，2…時是素數，這樣的數叫費馬素數，可惜當n=5時，232+1就不是素數，至今也沒有找到第六個費馬素數。

18世紀發現的最大素數是231-1，19世紀發現的最大素數是2127-1，20世紀末人類已知的最大素數是2859433-1，用十進制表示，這是一個258715位的數字。

素數與密碼

本世紀七十年代，幾位美國數學家提出一種編碼方法，這種方法可以把通訊雙方的約定公開，然而卻無法破譯密碼，這種奇跡般的密碼就與素數有關。

人們知道，任何一個自然數都可以分解為素數的乘積，如果不計因數的次序，分解形式是唯一的。這叫做算術基本定理，歐幾里得早已證明了的。可是將一個大整數分解卻沒有一個簡單通行的辦法，只能用較小的素數一個一個去試除，耗時極大。如果用電子計算機來分解一個100位的數字，所花的時間要以萬年計。可是將兩個100位的數字相乘，對計算機卻十分容易。美國數學家就利用了這一點發明了編制容易而破譯難的密碼方式。這種編碼方式以三位發明者姓氏的首字母命名為RSA碼。

例如，A、B兩位通訊者約定兩個數字N和e，A想要將數字M發給B，他不是直接將M發出，而是將M連乘e次，然后除以N，將余數K發給B。B有一個秘密的數字d，連A也不知道，他將K連乘d次，然后除以N，得到的余數就是原來的數M。

數字是這樣選擇的，N=p×q，p、q是選定的兩個大的素數，選取e、d，使ed-1是(p-1)×(q-1)的倍數，而且使e和p-1、q-1沒有公因數，這是容易做到的。根據這個方法，編碼規則可以公開，可是由於N太大，分解得到p、q幾乎是不可能的，他人也就無從知道d，不可能破譯密碼了。

RSA提出后，三位發明家曾經公布了一條密碼，懸賞100美元破譯，他們預言，人們至少需要20000年，才能破譯，即使計算機性能提高百倍，也需要200年。但只過了不到18年，這個密碼就被人破譯，意思是：“The magic words are squeamish ossifrage”。這個密碼如此快的破解，是因為全世界二十多個國家的六百多位工作者自發聯合起來，利用計算機網絡，同時進行因式分解，並不斷交流信息，匯總計算結果，用了不到一年的時間，就將129位的N分解成64位和65位的兩個素數的積。計算機網絡將分解效率提高了近萬倍，這是發明者當初沒有預想到的。但是，如果提高位數到200或300位，工作量將會大的不可思議，即使計算機技術有重大突破，破譯也幾乎不可能。