程序員的數學

菜單導航

1、常用數學公式： 等差/等比數列通項和求和、指數、對數、排列組合等

2、邏輯且/或/非/異或，和余數

3、數學歸納法

4、遞歸

5、指數爆炸

6、反證法

 

一、常用數學公式

1.0  實數：有理數和無理數的總稱，常用字母R表示實數集；

　　有理數是整數和分數的集合，有理數的小數部分是有限或者無限循環的數；小數部分為無限不循環的數為無理數；

　　自然數：全體非負整數組成的集合，常用字母N來表示

　　質數：又稱素數，大於1的自然數中，除了1和它本身以外不再有其他因數；因數：又叫約數，整數a除以整數b(b≠0)的商正好是整數而沒有余數，則b是a的因數；

　　冪：乘方的結果。a = n^m, 指m個n相乘，把n^m乘方的結果a叫做冪，也叫n的m次冪；

1.1  等差數列

　　定義：一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差等於同一個常數。這個數列就叫做等差數列，這個常數也叫等差數列的公差，公差常用字母d表示。

　　通項公式：      ,        a1為等差數列首項，公差為d, 為 第n項 

　　求和公式：  ，   Sn為數列前n項之和

　　等差中項：等差數列中，若有n+m=2*r,  則任意兩項  的關系為：

　　其他：跟等差數列知識相關的一個有趣故事是：“高斯求和”

1.2 等比數列

　　定義：一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的比等於同一個常數。這個數列就叫做等比數列，這個常數也叫等比數列的公比，公比通常用字母q表示。

　　通項公式： （n∈N*）,當q>0時，可把看做是自變量n的函數，點(n, )是曲線 上的一群孤立的點。

　　求和公式：   或   （q≠1）。

　　等比中項：  ； 即等比數列中，若q+p = 2r, 則有， 為等比中項。

 　　其他：跟等比數列知識相關的一個有趣故事是：“棋盤上的麥粒”

1.3 指數函數

　　定義：一般地，函數(a為常數且以a>0，a≠1)叫做指數函數, 函數的定義域是R，自變量x就叫做指數，常數a叫底數。

　　　　　　對於一切指數函數來講，值域為(0， +∞)；指數函數的前系數為1；

　　指數型函數：y = (k≠1), 格式像指數函數，但不是指數函數；

　　冪函數：一般地，y=x^α（α為有理數）的函數，即以底數為自變量，冪為因變量，指數為常數的函數稱為冪函數。

　　　　　　例如函數y=x⁰ 、y=x²、y=x^-1（注：y=x^-1=1/x、y=x⁰時x≠0）等都是冪函數。

 　  指數函數常用公式：

　　1.3.1：    ；         ；  （同底相乘，指數相加；同底相除，指數相減）   

　　1.3.2：      （指數的指數，指數相乘）

　　1.3.3：

1.4 對數函數

　　定義：一般地，對數函數以冪（真數）為自變量，指數為因變量，底數為常量的函數。

　　　　　比如a^x = n（a>0，且a≠1），那么數x叫做以a為底n的對數，記作x=log_an，讀作以a為底n的對數，其中a叫做對數的底數，n叫做真數。

　　　　　一般地，函數y=log_ax（a>0，且a≠1）叫做對數函數，也就是說以冪（真數）為自變量，指數為因變量，底數為常量的函數，叫對數函數。

 　　常用公式：

　　1.4.1 ：；    ；   負數和零無對數；

　　1.4.2 ：  *  = 1 ；

　　1.4.3 ：  ；

　　1.4.4：

　　1.4.5：

　　1.4.6：  

　　1.4.7：

幾張圖表如下：

 

1.5 排列組合

　　1.5.1 階乘：階乘是指一個運算符號，一個正整數的階乘（factorial）是所有小於及等於該數的正整數的積，並且0的階乘為1。

　　　　　　　自然數n的階乘寫作n!，亦即n!=1×2×3×...×n。階乘亦可以遞歸方式定義：0!=1，n!=(n-1)!×n。

　　1.5.2 排列定義：從n個不同元素中，任取m(m≤n,m與n均為自然數,下同）個元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列；

　　　　　　　　從n個不同元素中取出m(m≤n）個元素的所有排列的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，用符號 A(n,m）表示。

　　1.5.3 排列計算公式： 

　　1.5.4 組合定義：從n個不同元素中，任取m(m≤n）個元素並成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合；

　　　　　　　　　從n個不同元素中取出m(m≤n）個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數。用符號 C(n,m) 表示。

　　1.5.5 組合計算公式： 

　　1.5.6 排列和組合區別：排列是講究排序的，而組合不考慮元素排序，一般來說，從n中不同元素取出m個元素的排列，要比組合數量多。

　　　　　　　對於組合公式的理解，相對排列而言會繞一點，這里試圖解釋一下組合公式：

　　　　　　從n個不同元素中取出m個元素的所有組合個數，可以理解成先從n個不同的元素中取出m個元素的所有排列個數為Anm    （即A(n, m) ），

　　　　　　然后因為m個元素的排序方式共有m!（即m*(m-1)*(m-2)*...*1, m的階乘）種，而組合不考慮元素排序，相當於數量A(n, m)中重復了m!次，

　　　　　　所以排序數量A(n, m)  除以 排序方式數量m! ,  則是我們需要的沒有重復的組合數量了，即C(n, m) = A(n, m) / m!

　　

二、邏輯且/或/非/異或，和余數

2.1 計算機為什么采用二進制計數法

　　2.1.1 在10進制計數法中，位數少，但是數字的種類多。（對於人類來說，比較易用）

　　2.1.2 在二進制計數法中，數字的種類少哦，但是位數多。（對於計算機來說，這種比較易用）

2.2 指數的法則：對於指數 a^n, n每減1，新的值就變成原來的1/a，即a^(n-1) 為 a^n的1/a

2.3 零的作用：用來表示占位；也用來統一標准，簡化規則；

2.4 邏輯

　　命題：能夠判斷對錯的陳述句叫做命題。命題正確時，則該命題為“真”（true）；反之，命題不正確時，稱該命題為“假”（false）。

　　在建立規則時，需要確認規則有沒有“遺漏”和“重復”；

　　沒有“遺漏”，即完整性，明確此規則在什么情況下都能適用；沒有“重復”，即具備排他性，明確此規則不存在矛盾之處。

　　邏輯從根本上說是對完整性和排他性的組合表達。

　　邏輯非：非真為假，非假為真；

　　邏輯且：A和B都為真時，才是真；A和B只要有一個為假，則為假；

　　邏輯或：A和B只要有一個為真，則結果為真；A和B都為假，則為假；

　　邏輯異或：A和B一真一假，則結果為真；A和B都為真，或者都為假，則結果為假；

　　德·摩根定律：“非A”或者“非B”, 和非“A與B”是等價的； “非A”並且“非B”，和非“A或B”是等價的；

2.5 卡諾圖：簡化復雜邏輯表達式的有效工具

　　2.5.1 二燈游戲（綠燈、黃燈）：

　　　　規則：1）綠燈滅，黃燈亮；   

　　　　　　　2）綠燈、黃燈滅；   

　　　　　　　3）綠燈、黃燈都亮

　　　　命題A  :  綠燈亮

　　　　命題B :  黃燈亮

　　　　邏輯表達式為：(非A 並且 B) 或者 (非A 並且 非B) 或者 (A 並且 B)

　　　　卡諾圖表示法（打上鈎）：

　　　　

　　2.5.3 三燈游戲 （綠燈、黃燈、紅燈）

　　　　規則：1）綠燈、黃燈、紅燈都滅

　　　　　　　2）黃燈滅、紅燈亮

　　　　　　　3）綠燈滅、黃燈亮

　　　　　　　4）綠燈、黃燈、紅燈都亮

　　　　命題A : 綠燈亮

　　　　命題B : 黃燈亮

　　　　命題C : 紅燈亮

　　　　邏輯表達式：(非A 且 非B 且 非C) 或 (非B 且 C)  或 (非A且 B) 或 (A且B且C)

　　　　卡諾圖表示法（打鈎）：

　　　　　　

 

 

2.6 余數的作用：分組，將較大的數字除一次就能分組

　　2.6.1 思考題：今天是周三，那么100天后是周幾？ 一億天以后呢？（運用余數思考）

　　2.6.2 思考題：今天是周三，10^100天后是周幾？（當計算有難度的時候，可以試圖通過找規律來簡化問題）

　　2.6.3 思考題：1234567^987654321的個位數是什么？（找規律：找出規律，再結合余數，把大數字簡化成小數字）

　　2.6.4 思考題（黑白棋讀心術）：

　　　　　1）魔術師和他的徒弟在台上表演，台下有觀眾，魔術師蒙着眼睛，徒弟不允許說話，若干黑白棋(每個黑白棋像硬幣樣，只是一面黑色，一面白色)；

　　　　    2）讓觀眾在桌子上隨機放7枚黑白棋的棋子排成一列。魔術師蒙着眼睛，看不到棋子；

　　　　　3）讓魔術師的徒弟在看完這7枚棋子后，在后面添加了一枚棋子，與其他棋子並排。這時有8枚棋子，魔術師依然蒙着眼睛；

　　　　　4）這時讓觀眾可以將其中1枚棋子翻轉，或者不翻轉任何棋子。此間，徒弟和觀眾不發一言，魔術師依然蒙着眼睛，不知道觀眾有沒有翻轉棋子；

　　　　　5）魔術師摘下眼罩，觀察8枚棋子，然后馬上就能判斷：“觀眾翻轉了棋子” 或 “沒有翻轉棋子”，識破觀眾的行為。

　　　　問：魔術師是如何識破觀眾的行為的？

 　　2.6.5 思考題（尋找戀人）：

　　　　在一個小王國中，有8個村子（A~H）。如下圖所示，各個村之間道路相連（黑點表示村子，線表示道路）。而你要尋找流浪在這個王國的你唯一的戀人。

　　　　你的戀人住在這8個村子中的某一個里，她每過1個月便順着道路去另一個村子，每個月都一定會換村子，然后選擇哪個村子是隨機的，預測不了。

　　　　例如：如果戀人這個月住在G村，那么下一個月可能會住在“F、C、H中的某一個村子“。

　　　　目前你手上掌握的確鑿信息只是：1年前（12個月前），戀人住在G村。

　　　　現在問：這個月戀人住在A村的概率？（奇數、偶數）

　　　　

　　2.6.6 思考題（鋪設草席）：

　　　　如下圖所示，有這樣一個房間，使用圖中右下角所示的草席能夠正好鋪滿房間嗎？（前提是不能使用半張草席）

　　　　如果不能鋪滿的話，請說明理由？

　　　　

　　2.6.7 思考題（哥尼斯堡七橋問題）：

　　　　如下圖所示，在很久以前，有一個叫哥尼斯堡的小城。小城被河流分割成了4塊陸地。人們為了連接這些陸地，建設了7座橋。

　　　　現在要你找出走遍7座橋（a、b、c、d、e、f、g）的方法，但是，必須遵守以下條件：

　　　　　　1）走過的橋不能再走

　　　　　　2）可以多次經過同一塊陸地

　　　　　　3）可以從任一陸地為起點

　　　　　　4）不需要再回到起點

　　　　最后，如果能夠走遍7座橋的話，請說明一下方法。如果不能，也請證明一下。

　　　　

 

三、數學歸納法

3.1 斷言：斷定一個特定前提為真的陳述

3.2 數學歸納法：數學歸納法是證明有關整數的斷言對於0以上的所有整數（0、1、2、3...）是否成立時所用的方法。

3.3 數學歸納法的證明方法步驟：

　　1）步驟1：證明“P(0)成立”。步驟1也叫基底（base）

　　2）步驟2：證明不論k為0以上的哪個整數，“若P(k)成立，則P(k+1)也成立”。步驟2也叫歸納（induction）

　 若步驟1和步驟2都能得到證明，就證明了“斷言P(n)對於0以上的所有整數n都成立”。

3.4 數學歸納法實例(求奇數的和)：

　　3.4.1 斷言Q(n) : 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2*n-1) = n^2

　　3.4.2 用數學歸納法來證明“斷言Q(n)對於1以上的所有整數n都成立”

　　3.4.3 步驟1：基底的證明

　　　　 證明Q(1)成立。因為Q(1) = 1^2, 所以確實成立。步驟1證明完畢。

　　3.4.4 步驟2：歸納的證明

　　　　證明k為1以上的任意整數時，“若Q(k)成立，則Q(k+1)也成立”。

　　　　假設Q(k) = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2*k-1) = k^2 成立

　　　　則來證明等式Q(k+1)成立

　　　　

　　　　Q(k+1)的左邊和右邊計算結果相同。

　　　　由此，從Q(k)到Q(k+1)推導成功，步驟2得到了證明。

　　　　至此，通過數學歸納法的步驟1和步驟2都證明了斷言Q(n)。也就是說，通過數學歸納法，證明了斷言Q(n)對於1以上的任意整數n都成立。

　　　　 

四、遞歸

4.1 思考題（漢諾塔）：

　　有三根細柱（A、B、C）。A柱上套着6個圓盤。這些圓盤大小各異，按從大到小的順序自下而上擺放。

　　現在要把A柱上的6個圓盤全部移到B柱上。並且在移動圓盤時須遵守以下規則：

　　1）一次只能移動柱子最上端的一個圓盤

　　2）小圓盤上不能放大圓盤。

　　將1一個圓盤從一根柱子移到另一根柱子，算移動“1次”。那么，將6個圓盤全部從A移到B最少需要移動幾次呢？

　　（可以先通過3個圓盤、5個圓盤找出遞歸規律）

　　

　　先來看看3層漢諾塔的解法（移動7次）：

　　

　　發現移動2個圓盤的規律：

　　

 

4.2 遞歸的思維方式：將復雜問題轉換成較為簡單的同類問題。在問題中找出遞歸結構，根據遞歸結構建立遞歸公式。

4.3 思考題（不斷繁殖的動物）：

　　有一種動物，它出生2天后就開始以每天1只的速度繁殖后代。假設第一天，有一只這樣的動物（該動物剛出生，從第三天起繁殖后代）。

　　問到第11天，共有多少只？

 

五、指數爆炸

5.1 思考題（折紙問題）：

　　假設現在有一張厚度為1mm的紙，紙質非常柔軟，可以對折無數次。每對折一次，厚度便翻一番。

　　已知地球距月球約39萬公里，請問對折多少次后厚度能夠超過月地距離呢？

5.2 指數爆炸：數字每次翻倍，然后我們會發現這種數字會急速增長。這種情況我們叫它“指數爆炸”，也可以稱為“指數式增長”

5.3 思考題（尋找犯人，二分法查找）

　　有15個犯罪嫌疑人排成一排，其中只有一個是真正的“罪犯”。

　　你要通過問他們“罪犯在哪里？”來找出 真正的罪犯。

　　假設選擇其中1人問：“罪犯在哪里？”會得到以下3鍾答案，其中有一個是正確的。

　　1）“我是罪犯”（詢問對象是罪犯時）

　　2）“罪犯在我左邊”

　　3）“罪犯在我右邊”

　　這時，僅通過3次問話就能從15人中找到真正的罪犯。那么，應該怎么問話呢？（找出地推結構以及遞推公式）

　　

　　

 

 

六、反證法

6.1 反證法

　　1）首先，假設“命題的否定形式”成立

　　2）根據假設進行論證，推導出矛盾的結果

　　一言以蔽之，反證法就是“先假設命題的否定形式成立，然后再進行推理，引出矛盾”

6.2 反證法實例：為什么不存在“最大的整數”？

　　假設存在“最大的整數”，並將它設為M。

　　那么M+1就比M大，這與M是最大的整數的假設相矛盾。

　　因此不存在“最大的整數”。

6.3 反證法實例2：請證明質數是無窮的

　　假設“質數不是無窮的”，即“質數的個數是有限的”成立。

　　假設質數的個數是有限的，所以所有質數的集合就可以寫為：

　　2,3,5,7，..., P

　　現在，將所有的質數（2,3,5,7，..., P）相乘，並設相乘的結果+1為Q。

　　即Q = 2*3*5*7*...*P + 1

　　因為假設質數是有限個的，所以這個Q的大小也是有限的。

　　而Q比所有的質數相乘的結果大1，因此Q比任何質數（2,3,5,7，...,P）都大。

　　“Q比任何質數都大”也就意味着“Q不是質數”。

　　另一方面，這個Q除以2,3,5,7，...，P中的任一一個數，余數都是1（不能整除）。

　　這就表明，Q只能被1和Q本身整除，所以根據質數的定義可得“Q是質數”。

　　因此“Q不是質數”和“Q是質數”都成立，這是矛盾的。

　　因此，通過反證法證明了“質數是無窮的”。

 6.4 反證法的主意事項

　　反證法從“要證明的命題的否定形式”出發，即必須先假設錯誤的假設成立。

　　但到引出矛盾結論為止的論證過程本身必須正確，之所以這么說因為如果中途的論證出現錯誤，就不能得出“因為最初的假設錯誤，所以產生矛盾”的結論。

 

參考資料：百度百科，和《程序員的數學.（日）結城浩》