一、什么是二叉查找樹
二叉查找樹（Binary Search Tree）是一種特殊的二叉樹，對於一個二叉查找樹，樹中的每個結點X，它的左子樹中所有關鍵字的值都小於X的關鍵字值；而它的右子樹中所有關鍵字的值大於X的關鍵字值。這意味着，該樹的所有元素可以使用一種統一的方式進行排序，因此，二叉查找樹又稱為二叉排序樹。下圖即為一個二叉查找樹：
二、如何在 BST 中查找一個結點
二叉查找樹很適合進行查找操作。以上圖中的二叉查找樹為例：如果需要在該 BST 中查找值 10，先從根結點開始進行比較，10小於13，根據 BST 的性質，可以知道如果該 BST 中有結點值為10的話，那么該結點必然位於根結點的左子樹中；再從結點 5 開始，可知 10 在結點 5 的右子樹；再從結點 8 開始，10 在結點 8 的右子樹，最終找到元素 10。
用算法來描述，在一個 二叉查找樹 T（T 為二叉樹的根結點）中查找元素 n：
1）若 T 為空，則 n 不在 BST 中；
2）判斷 n 與根結點值（T->val）的關系；
3）如果 n 等於 T->val，則找到了元素 n;
4）如果 n 大於 T->val，則去根結點的右子樹 (T->right) 繼續查找。將 T->right 作為 T，回到第 1 步；
5）如果 n 小於 T->val，則去根結點的左子樹 (T->left ) 繼續查找。將 T->left 作為 T，回到第1步。
算法實現如下：
typedef int ElementType; typedef struct BinaryTreeNode_ { ElementType val; struct BinaryTreeNode_ *left; struct BinaryTreeNode_ *right; }BinaryTreeNode; typedef BinaryTreeNode *BiTreeNode; // 查找一個結點 BiTreeNode FindNode(BiTreeNode BiTree,ElementType n) { if (BiTree == NULL) // 如果頭結點為空，表明沒有找到元素 n return NULL; if (BiTree->val < n) // 結點值小於查找元素值，說明元素在結點的右邊 return FindNode(BiTree->right, n); // 遞歸，去右子樹繼續查找 else if (BiTree->val > n) return FindNode(BiTree->left, n); // 遞歸，去左子樹繼續查找 else return BiTree; }
該查找算法的時間復雜度為 O(log2N)。
三、向 BST 中插入一個結點
向 BST 中插入一個結點 n 時，若 BST 中已經存在與該結點值相等的結點，則判斷結點已存在，不做任何操作；如果 BST 中不存在該結點，則將該結點將作為一個新的葉子結點插入到 BST 中去（新結點總是 BST 的葉子結點），且需要保證插入后的樹是一個二叉查找樹。
可以以類似查找算法的方式來遍歷二叉樹，從而找到插入的位置：
用算法來描述，向一個二叉查找樹 T（T 為二叉樹的根結點）中插入一個結點，節點元素為 n：
1）若 T 為空，則將新結點插入到 T 所在的位置；
2）若 T 不為空，且 T->val 小於 n，則表明應該把 n 插入到 T 的右子樹。將 T->right 作為 T，回到第 1 步；
3）若 T 不為空，且 T->val 大於 n，則表明應該把 n 插入到 T 的左子樹。將 T->left 作為 T，回到第 1 步。
4）若 T->val 等於 n，則直接返回 T。
// 插入一個結點 BiTreeNode InsertNode(BiTreeNode BiTree, ElementType n) { if (BiTree == NULL) { // 樹為空，或已到達葉子結點 // 為新結點分配內存 BiTreeNode newNode = (BiTreeNode)malloc(sizeof(BinaryTreeNode)); if (newNode == NULL) { perror("malloc failed!\n"); exit(EXIT_FAILURE); } newNode->val = n; newNode->left = NULL; newNode->right = NULL; BiTree = newNode; } else if (BiTree->val < n) { // 插入值大於當前結點的值，則將元素插入到結點的右子樹 BiTree->right = InsertNode(BiTree->right, n); } else if (BiTree->val > n) { // 插入值小於當前結點的值，則將元素插入到結點的左子樹 BiTree->left = InsertNode(BiTree->left, n); } return BiTree; }
四、遍歷 BST
在上一篇博客中已經介紹了二叉樹的遍歷方法，主要有三種：先序遍歷、后序遍歷和中序遍歷。為了更好的體現二叉查找樹的特性，我們使用中序遍歷來遍歷它：
// 中序遍歷 BST void TraverseTree(BiTreeNode BiTree) { if (BiTree != NULL) { TraverseTree(BiTree->left); cout << BiTree->val << endl; TraverseTree(BiTree->right); } }
五、刪除一個結點
刪除操作比較復雜，分為三種情況：
1）被刪除結點為葉子結點：
可以直接刪除該結點，如圖：
2）被刪除結點有一個左孩子或一個右孩子：
將孩子結點設為該結點的父結點的孩子后，即可刪除該結點：
如圖，結點 2 是結點 5 的左孩子，他有一個右孩子 4。刪除結點 2 后，其右孩子 4 替代原來的結點 2 成為結點 5 的左孩子。
如圖，結點 16 是結點 18 的左孩子，他有一個左孩子 15。刪除結點 16 后，其左孩子 15 替代原來的結點 16 成為結點 18 的左孩子。
3）被刪除結點有兩個孩子結點：
這種情況比較復雜，一般的刪除策略是：用被刪除結點的右子樹中的最小結點替代被刪除結點，並遞歸地刪除這個最小數據結點：
// 刪除一個結點 BiTreeNode DeleteNode(BiTreeNode BiTree, ElementType n) { BiTreeNode tmpNode = (BiTreeNode)malloc(sizeof(BinaryTreeNode)); if (tmpNode == NULL) { perror("malloc failed!\n"); exit(EXIT_FAILURE); } // 先找到要刪除的結點在二叉樹中的位置 if (BiTree == NULL) { // 沒有找到元素 perror("can`t find element\n"); return NULL; } if (BiTree->val < n) { // 元素值大於結點元素值，則去結點右子樹尋找 BiTree->right = DeleteNode(BiTree->right, n); return BiTree; } else if (BiTree->val > n) { // 元素值小於結點元素值，則去結點左子樹尋找 BiTree->left = DeleteNode(BiTree->left, n); return BiTree; } // 找到結點 else { tmpNode = BiTree; if (BiTree->right == NULL) { // 沒有右子樹，則直接返回左子樹 BiTree = BiTree->left; return BiTree; } else if (BiTree->left == NULL) { // 沒有左子樹，則直接返回右子樹 BiTree = BiTree->right; return BiTree; } // 有兩個孩子結點 tmpNode = FindMin(BiTree->right); // 尋找右子樹最小結點 tmpNode->right = DeleteMin(BiTree->right); // 刪除右子樹的最小結點 tmpNode->left = BiTree->left; // 左子樹保持不變 return tmpNode; } } // 查找最左葉子結點（最小的結點） BiTreeNode FindMin(BiTreeNode BiTree) { if (BiTree == NULL) return NULL; if (BiTree->left == NULL) // 結點沒有左子樹，即為最左葉子結點 return BiTree; else // 有左子樹，則繼續在左子樹中查找 return FindMin(BiTree->left); } // 刪除最小結點 BiTreeNode DeleteMin(BiTreeNode BiTree) { if (BiTree->left == NULL) return BiTree->right; else { BiTree->left = DeleteMin(BiTree->left); return BiTree; } }
參考資料：
《數據結構與算法分析 C 語言描述》