矩陣補全（Matrix Completion），就是補上一個含缺失值矩陣的缺失部分。
矩陣補全可以通過矩陣分解（matrix factorization）將一個含缺失值的矩陣 X 分解為兩個（或多個）矩陣，然后這些分解后的矩陣相乘就可以得到原矩陣的近似 X'，我們用這個近似矩陣 X' 的值來填補原矩陣 X 的缺失部分。
矩陣補全有很多方面的應用，如推薦系統、缺失值預處理。
除了 EM 算法、樹模型，機器學習中的大多數算法都需要輸入的數據是不含缺失值的。在 deep learning 模型中，通過梯度的計算公式就可以發現，如果 feature 中含有缺失值，那么梯度也會含缺失值，梯度也就未知了。對缺失值的處理是在模型訓練開始前就應該完成的，故也稱為預處理。
數據缺失在實際場景中不可避免，對於一個包含 \(n\) 個 samples，每個 sample 有 \(m\) 個 features 的數據集 \(D\)，我們可以將該數據集 \(D\) 整理為一個 \(n×m\) 的矩陣 \(X\)。
通過矩陣分解補全矩陣是一種處理缺失值的方式，但在介紹之前，先介紹一些簡單常用的缺失值預處理方式。
1 常用的缺失值預處理方式
1.1 不處理
不進行缺失值預處理，缺了就缺了，找一個對缺失值不敏感的算法（如“樹模型”），直接訓練。
1.2 剔除
對於矩陣 \(X\) 中缺失值很多的行或列，直接剔除。
缺失值較多的行，即一個 sample 的很多 features 都缺失了；缺失值較多的列，即大部分 samples 都沒有該 feature。剔除這些 samples 或 features，而不是填充它們，避免引入過多的噪聲。
當數據超級多時，我們甚至可以對含有缺失值的樣本直接剔除，當剔除的比例不大時，這也完全可以接受。
1.3 填充
1.3.1 簡單填充
在矩陣 \(X\) 的每個缺失位置上填上一個數，來代替缺失值。填一個數也不能亂來，如果 feature 代表年齡，那么肯定要填正數；如果 feature 代表性別，那么填 0 或 1 更合適（0 代表男，1 代表女）。
一般有以下幾種簡單的填充值：（均值和眾數都是在一個 feature 下計算，即在矩陣 \(X\) 的每一列中計算均值和眾數）
- 填 0
- 填 均值
- 填 眾數
- 填 中位數
1.3.2 建模填充
這種方式通過觀察缺失的 feature 和其它已有的 features 之間的聯系，建立一個統計模型或者回歸模型，然后然后預測缺失 feature 的值應該是什么。
用 EM 算法估計缺失值也可以歸為這一類。
當然，常用的缺失值處理方式還有許多，這里就不再列舉了。可以看看博客 SAM'S NOTE。
2 利用矩陣分解補全缺失值
如果矩陣 \(X\) 不含缺失值，那么矩陣分解可以將矩陣 \(X\) 分解成兩個矩陣 \(U\) (大小 \(m×k\))、\(V\) (大小 \(m×k\))，其中 \(k < \min\{m, n\}\)，則：
因為 \(k < \min\{m, n\}\)，所以 \(rank(U) \le k\)、\(rank(V) \le k\)，該矩陣分解又叫做低秩矩陣分解（low-rank matrix factorization）。
那么為什么 \(k < \min\{m, n\}\)？
- 在 samples 和 features 之間存在 k 個關系，每個關系的具體含義不得而知，但如果 \(k \ge \min\{m, n\}\)，那么意味着每個 sample 和 feature 之間可以構建一個的關系，而其它的 samples 或者 features 可以和該關系基本無關，體現在矩陣 \(U\)（或 \(V\)）中就是某一列僅有一個元素不為0，這是不合理的。（參考矩陣分解用在推薦系統方面的解釋）
- 當 k 越大，計算量也會越大。
如果矩陣 \(X\) 是完整的，那么矩陣分解 \(X = UV^{\top}\) 完全沒問題，但現在 \(X\) 中含了缺失值，故沒有辦法用線性代數的知識直接進行矩陣分解，我們需要一種近似的解法——梯度下降法。
這個時候我們令 \(X \approx \hat X = UV^{\top}\)，\(\|X - \hat X\|_{\mathrm{F}}^2\) 表示含缺失值的原矩陣 \(X\) 和 還原后的近似矩陣 \(\hat X\) 之間誤差的平方（Square error），或者稱之為 reconstruction error，當然 \(\|X - \hat X\|_{\mathrm{F}}^2\) 的計算只能在不含缺失值的項上。（\(\|\cdot\|_{\mathrm{F}}\) 表示 Frobenius norm。）
文獻中一般會將 reconstruction error \(\|X - \hat X\|_{\mathrm{F}}^2\) 記為 \(\left\|\mathcal{R}_{\Omega}(X - \hat{X})\right\|_{\mathrm{F}}^{2}\)，其中 \(\left[\mathcal{R}_{\Omega}(X - \hat X)\right]_{ij}=\left\{\begin{array}{ll}{x_{ij} - \hat{x}_{ij}} & {\text { if }(i, j) \in \Omega} \\ {0} & {\text { otherwise }}\end{array}\right.\)，\(\Omega\) 表示非缺失值矩陣元素下標的集合。這里為了簡便，直接使用 \(\|X - \hat X\|_{\mathrm{F}}^2\)，知道只在不含缺失值的項上計算平方和即可。
我們的目標的是找到矩陣 \(X\) 的近似矩陣 \(\hat X\)，通過 \(\hat X\) 中對應的值來填充 \(X\) 中缺失的部分。而想要找到 \(\hat X\)，就是要找到矩陣 \(U\) 和 \(V\)。當然 \(\hat X\) 要盡可能像 \(X\)，體現在函數上就是 \(\min \|X - \hat X\|_{\mathrm{F}}^2\)。
NOTE：以下矩陣的范數都默認為 Frobenius norm。
Loss function \(J\) 為:
其中，\(i,j\) 分別表示矩陣 \(X\) 的行和列，要求 \(x_{ij} \not = nan\)，否則沒有辦法求最小值了。上式中，未知的就是 \(u_{il}, v_{jl}\)，也是我們想要求的。
隨機初始化矩陣 \(U, V\)，loss function \(J\) 就可以得到一個誤差，基於該誤差計算梯度，而想要更新 \(U, V\)，只需要按照梯度下降的公式來即可。
令:
則梯度為：
梯度下降更新公式：
算法到這里其實就可以用了，但為了更加完美，可以考慮以下步驟，加入正則項和偏置。
加入正則項
加入正則項，保證矩陣 $U,V$ 中元素不要太大，此時 loss function $J$ 如下所示： $$ \begin{split} J &= \|X - \hat X\|^2 + \frac{\beta}{2}(\|U\|^2 + \|V\|^2) \\ &=\sum_{i, j, x_{ij} \not = nan} (x_{ij} - \sum_{l = 1}^k u_{il}v_{jl})^2 + \frac{\beta}{2}(\sum_{i,l} u_{il}^2 + \sum_{j, l} v_{jl}^2) \end{split} $$則梯度為：
此時梯度下降更新公式為：
加入偏置
偏置可以理解為每個樣本都有其特性，每個feature也有其特點，故可以加入 bias 來控制。bias 分為三種，第一種是矩陣 $X$ 整體的的 bias，記為 $b$，那么 $b = mean(X)$，即可以用矩陣 $X$ 中存在元素的均值來賦值；第二種是 sample 的 bias，記為 $b\_u_{i}$；第三種是 feature 的 bias，記為 $b\_v_j$。 則： $$ \hat x_{ij} = \sum_{l = 1}^{k} u_{il}v_{jl} + (b + b\_u_i + b\_v_j) $$其中，\(b = \frac{\sum_{i, j, x_{ij} \not = nan} x_{ij}}{N}\)，\(N\) 表示分子求和元素的個數。
則 loss function \(J\) 為：
再加入 bias 后，令
則梯度為：
此時梯度下降更新公式為：
3 矩陣分解補全缺失值代碼實現
import numpy as np
class MF():
def __init__(self, X, k, alpha, beta, iterations):
"""
Perform matrix factorization to predict np.nan entries in a matrix.
Arguments
- X (ndarray) : sample-feature matrix
- k (int) : number of latent dimensions
- alpha (float) : learning rate
- beta (float) : regularization parameter
"""
self.X = X
self.num_samples, self.num_features = X.shape
self.k = k
self.alpha = alpha
self.beta = beta
self.iterations = iterations
# True if not nan
self.not_nan_index = (np.isnan(self.X) == False)
def train(self):
# Initialize factorization matrix U and V
self.U = np.random.normal(scale=1./self.k, size=(self.num_samples, self.k))
self.V = np.random.normal(scale=1./self.k, size=(self.num_features, self.k))
# Initialize the biases
self.b_u = np.zeros(self.num_samples)
self.b_v = np.zeros(self.num_features)
self.b = np.mean(self.X[np.where(self.not_nan_index)])
# Create a list of training samples
self.samples = [
(i, j, self.X[i, j])
for i in range(self.num_samples)
for j in range(self.num_features)
if not np.isnan(self.X[i, j])
]
# Perform stochastic gradient descent for number of iterations
training_process = []
for i in range(self.iterations):
np.random.shuffle(self.samples)
self.sgd()
# total square error
se = self.square_error()
training_process.append((i, se))
if (i+1) % 10 == 0:
print("Iteration: %d ; error = %.4f" % (i+1, se))
return training_process
def square_error(self):
"""
A function to compute the total square error
"""
predicted = self.full_matrix()
error = 0
for i in range(self.num_samples):
for j in range(self.num_features):
if self.not_nan_index[i, j]:
error += pow(self.X[i, j] - predicted[i, j], 2)
return error
def sgd(self):
"""
Perform stochastic graident descent
"""
for i, j, x in self.samples:
# Computer prediction and error
prediction = self.get_x(i, j)
e = (x - prediction)
# Update biases
self.b_u[i] += self.alpha * (2 * e - self.beta * self.b_u[i])
self.b_v[j] += self.alpha * (2 * e - self.beta * self.b_v[j])
# Update factorization matrix U and V
"""
If RuntimeWarning: overflow encountered in multiply,
then turn down the learning rate alpha.
"""
self.U[i, :] += self.alpha * (2 * e * self.V[j, :] - self.beta * self.U[i,:])
self.V[j, :] += self.alpha * (2 * e * self.U[i, :] - self.beta * self.V[j,:])
def get_x(self, i, j):
"""
Get the predicted x of sample i and feature j
"""
prediction = self.b + self.b_u[i] + self.b_v[j] + self.U[i, :].dot(self.V[j, :].T)
return prediction
def full_matrix(self):
"""
Computer the full matrix using the resultant biases, U and V
"""
return self.b + self.b_u[:, np.newaxis] + self.b_v[np.newaxis, :] + self.U.dot(self.V.T)
def replace_nan(self, X_hat):
"""
Replace np.nan of X with the corresponding value of X_hat
"""
X = np.copy(self.X)
for i in range(self.num_samples):
for j in range(self.num_features):
if np.isnan(X[i, j]):
X[i, j] = X_hat[i, j]
return X
if __name__ == '__main__':
X = np.array([
[5, 3, 0, 1],
[4, 0, 0, 1],
[1, 1, 0, 5],
[1, 0, 0, 4],
[0, 1, 5, 4],
], dtype=np.float)
# replace 0 with np.nan
X[X == 0] = np.nan
print(X)
# np.random.seed(1)
mf = MF(X, k=2, alpha=0.1, beta=0.1, iterations=100)
mf.train()
X_hat = mf.full_matrix()
X_comp = mf.replace_nan(X_hat)
print(X_hat)
print(X_comp)
print(X)
4 通過矩陣分解補全矩陣的一些小問題
4.1 需不需要對 bias 進行正則化？
按照一般 deep learning 模型，是不對 bias 進行正則化的，而本文的代碼對 bias 進行了正則化，具體有沒有影響不得而知。
4.2 如果出現 "RuntimeWarning: overflow encountered in multiply" 等 Warning 造成最后的結果為 nan，怎么辦？
可以嘗試調低 learning rate \(\alpha\)。
References
決策樹（decision tree）（四）——缺失值處理
【2.5】缺失值的處理 - SAM'S NOTE
Matrix Factorization: A Simple Tutorial and Implementation in Python