謹以此文向人工智能先驅，\(A\)*算法發明者\(Nils\ Nilsson\)致敬
推一篇深入研究的博客，而本文更多是粗略理解和習題吧。
\(A\)*算法是什么？它是啟發式搜索的一種，即廣度搜索算法\(bfs\)加上估價函數。
而\(IDA\)*則是另一種類似的啟發式搜索，是迭代加深\(dfs\)加上估價函數。
迭代加深搜索是什么？就是每次限制\(dfs\)的深度進行搜索。
然后我們來討論該算法的核心部分：估價函數
估價函數假設用\(h(x)\)表示，到達目前狀態的代價用\(g(x)\)表示，那么估計的完成代價為\(f(x)=g(x)+h(x)\)。如果\(f(x)\)大於題目所需，那么可以進行剪枝。
需要注意的是，\(h(x)\)必須小於等於實際最優代價，滿足此條件下越接近實際代價該估價函數越優。
一道例題：SCOI2005 騎士精神
對於一種狀態，最佳的方案（運氣最好時）是每次都能使一個騎士到達預定位置，最后一次能使一個騎士和一個空格到達預定位置，所以估價函數\(h(x)=\)棋盤上與目標狀態不同的位置數\(+1\)。
然后搜索，注意每次改變空格的位置即可。
提供一份\(IDA\)*的代碼
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int dx[]={-2,-2,-1,-1,1,1,2,2}, dy[]={-1,1,-2,2,-2,2,-1,1};
const int tar[5][5]=
{
{2, 2, 2, 2, 2},
{1, 2, 2, 2, 2},
{1, 1, 0, 2, 2},
{1, 1, 1, 1, 2},
{1, 1, 1, 1, 1}
};
int sta[5][5];
inline int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
for (;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar()) if (ch=='-') f=-1;
for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';
return x*f;
}
int evoluate()
{
int res=0;
for (int i=0; i<5; i++)
for (int j=0; j<5; j++)
if (tar[i][j]^sta[i][j]) res++;
return res;
}
bool IDA(int x, int y, int dep, int maxdep)
{
int evo=evoluate();
if (dep+evo>maxdep+1) return false;
if (!evo) return true;
for (int i=0; i<8; i++)
{
int nx=x+dx[i], ny=y+dy[i];
if (nx>=0 && nx<5 && ny>=0 && ny<5)
{
swap(sta[x][y], sta[nx][ny]);
if (IDA(nx, ny, dep+1, maxdep)) return true;
swap(sta[x][y], sta[nx][ny]);
}
}
return false;
}
int main()
{
int T=read();
while (T--)
{
char s[5][5]; int X, Y;
for (int i=0; i<5; i++) scanf("%s", s[i]);
for (int i=0; i<5; i++)
for (int j=0; j<5; j++)
{
char c=s[i][j];
if (c=='0') sta[i][j]=1;
if (c=='1') sta[i][j]=2;
if (c=='*') X=i, Y=j, sta[i][j]=0;
}
int ans=-1;
for (int i=1; i<=15; i++)
if (IDA(X, Y, 0, i)) {ans=i; break;}
printf("%d\n", ans);
}
return 0;
}
一道類似的題：八數碼難題
本題可以用\(IDA\)*和雙向\(bfs\)通過，甚至\(map\)去重的\(bfs\)也可通過。作為一道練手題還是不錯的。
代碼不放了，和上題大體一致(我才不會說是我懶）
再看一個\(A\)*經典應用：\(K\)短路
（洛谷的模板題\(A\)*只能得到\(92pts\)，標算是可持久化可並堆，所以這里就當是理性愉悅了吧）
說一下\(A\)*算法的思路。
先在反向圖中\(Dijkstra\)得到估價函數\(dis(i)\)。
然后\(bfs\)，用堆維護一下目前距離\(f(i)+dis(i)\)就可以了。
有一個沒有什么用的優化，遍歷每個點的次數不會超過\(\frac{w}{dis(1)}\)，可以剪枝。
\(92pts\)代碼
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5005, M=200005;
struct node{int to, nxt; double w;}edge1[M], edge2[M];
struct Node{int id; double w;};
struct NODE{int id; double w, f;};
bool operator < (Node a, Node b){return a.w>b.w;}
bool operator < (NODE a, NODE b){return a.f>b.f;}
int head1[N], head2[N], vis[N], cnt[N], cnt1, cnt2, n, m, ans;
double W, dis[N];
inline int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
for (;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar()) if (ch=='-') f=-1;
for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';
return x*f;
}
void add(int u, int v, double w)
{
edge1[++cnt1]=(node){v, head1[u], w};
head1[u]=cnt1;
edge2[++cnt2]=(node){u, head2[v], w};
head2[v]=cnt2;
}
void Dijkstra(int S)
{
priority_queue<Node> q; q.push((Node){S, 0});
for (int i=1; i<=S; i++) dis[i]=1e12; dis[S]=0.0;
memset(vis, 0, sizeof(vis));
while (!q.empty())
{
int u=q.top().id; q.pop();
if (vis[u]) continue; vis[u]=1;
for (int i=head2[u]; i; i=edge2[i].nxt)
{
int v=edge2[i].to; double w=edge2[i].w;
if (dis[v]>dis[u]+w)
{
dis[v]=dis[u]+w;
q.push((Node){v, dis[v]});
}
}
}
}
void A_star(int S, int Max_cnt)
{
priority_queue<NODE> q; q.push((NODE){S, 0, 0});
while (!q.empty())
{
NODE u=q.top(); q.pop(); int x=u.id;
if (u.w>W) return;
cnt[x]++;
if (x==n) {ans++; W-=u.f; continue;}
if (cnt[x]>Max_cnt) continue;
for (int i=head1[x]; i; i=edge1[i].nxt)
{
int v=edge1[i].to;
q.push((NODE){v, u.w+edge1[i].w, u.w+edge1[i].w+dis[v]});
}
}
}
int main()
{
n=read(); m=read(); scanf("%lf", &W);
for (int i=1; i<=m; i++)
{
int u=read(), v=read();
double w; scanf("%lf", &w);
add(u, v, w);
}
Dijkstra(n); A_star(1, W/dis[1]);
printf("%d\n", ans);
return 0;
}