- 4.4上午：數學基礎
（qwq整成word和cpp了，它居然不能直接把文檔附上來）
- part 1：高精度運算
高精加和高精減就不說了，之前寫過博客了qwq，講一講高精乘和高精除吧。
1.高精度乘法（不知道為甚么害怕自己忘了老想再寫一遍）：
題干（就很簡單惹）：給定兩個數a，b，求他們的乘積（a和b都很大）；
顯然如果直接乘，用一個數組存的話，可能會爆掉，（_int128也會爆的qwq），這時或許可以考慮將每一位分開存，然后就引入了神奇的高精度：
先讀入兩個數：這里用的是字符串char讀入然后把每一位數字存到數組中：
for(int i = lena-1;i >= 0;i--)a[lena-i] = a1[i]-48;//把字符串存進數組中 for(int i = lenb-1;i >= 0;i--)b[lenb-i] = b1[i]-48; /*剛剛搞了個大烏龍qwq（直接 a[lena-i] = a1[lena]-48;b[lenb-i] = b1[lenb]-48;*/ /*插入的主要代碼qwq，lena，lenb分別為字符串a1，b1的長度。這里從1~len分別存從個位到x位的數字*/
首先有一個必須要解決的問題：乘出來的數應該存到哪一位？？不妨模擬一下乘法計算：
由此可以看出，第一個數的第i項*第二個數的第j項應該放在i+j-1的位置。
搞定了前面，就可以進行乘法運算惹.，真的吹爆lh的算法：lh是先乘起來再處理，趕腳這樣更好想也更好些一點；而且lh也沒有用什么特判if之類的，讓我這個蒟陣非常清楚自己在干什么qwq，比某ybt好多惹。
代碼惹：
for(int i = 1;i <= lena;i++) for(int j = 1;j <= lenb;j++) c[i+j-1] = c[i+j-1]+a[i]*b[j]; //進行乘法運算 int len=lena+lenb-1;//暫時定義最后答案的長度為lena+lenb-1（或許會更長，一會再處理） for(int i=1;i<=len;i++){ c[i+1]+=c[i]/10;//又搞了個烏龍導致答案算錯惹，這些大概都是我的弱點吧（寫一遍錯一遍qwq c[i]%=10; }
進行收尾的數據處理：
顯然乘法計算時可能會有超出lena+lenb-1的情況，所以我們或許大概（啊呸）（那得麻溜的處理啊）需要處理一下：
這里有一個小細節，處理前方非零數位時，要用while而不是if,因為前面的數可能有若干個（突然想不沒明白了qwq）
好惹，上代碼：
#include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> using namespace std; char a1[100],b1[100]; int a[1000],b[1000],c[2000],lena,lenb,lenc; int main() { scanf("%s",a1); lena = strlen(a1); scanf("%s",b1); lenb = strlen(b1); for(int i = lena-1;i >= 0;i--)a[lena-i] = a1[i]-48;//把字符串存進數組中 for(int i = lenb-1;i >= 0;i--)b[lenb-i] = b1[i]-48; //剛剛搞了個大烏龍qwq（直接 a[lena-i] = a1[lena]-48;b[lenb-i] = b1[lenb]-48; for(int i = 1;i <= lena;i++) for(int j = 1;j <= lenb;j++){ c[i+j-1] += a[i]*b[j]; } //進行乘法運算 int len=lena+lenb-1;//暫時定義最后答案的長度為lena+lenb-1（或許會更長，一會再處理） for(int i=1;i<=len;i++){ c[i+1]+=c[i]/10; c[i]%=10; } while(c[len+1]!=0)len++; for(int i=len;i>=1;i--) printf("%d",c[i]); }//親測15*3是對的qwq
2.高精度除法（這里只講了高精/低精）：
其實高精除在乘法的基礎上改一下核心語句就好惹，這里不細講惹，我gun去寫代碼了，希望我核心的語句沒有忘(寫崩了寫崩了！！！還是記不住qwq）:
找到了錯誤，感覺自己還是在小細節上不夠仔細（buxianggenvsheng），像什么scanf沒有加引執符，%d搞成%s（這個是輸入字符數組b的時候忘記改過來了qwq）
#include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> using namespace std; char a1[100]; int a[1000],b,c[2000],lena; int main() { scanf("%s",a1); lena = strlen(a1); scanf("%d",&b); for(int i = lena-1;i >= 0;i--)a[lena-i] = a1[i]-48;//把字符串存進數組中 for(int i = lena;i >=1;i--){//除法是唯一一個從高位開始算的 c[i]=a[i]/b; a[i-1]+=(a[i]%b)*10;//意思是把這一位/b余下的余數加到下一位（比這一位低一位的）去（加到下一位就*10了呀）
} while(c[lena]==0)lena--; for(int i=lena;i>=1;i--) printf("%d",c[i]); }//親測200/5有效
負數腫么辦？？？
加法：一個數是負數：變為減法 兩個數是負數：全部變為正數算加法，最后取負
減法：被減數是負數：全部變為正數算加法，最后取負 減數是負數：減數取負，變為加法 都是負數：都取負，變為減法，即（-減數）-（-被減數）
乘法：統計負數個數s 都變為非負數計算，若s為奇數，最后取負
- part2：模意義下的運算：
1.性質：
無除法運算，滿足基本的交換律、分配率、結合律 對中間結果取模不影響最終答案
eg：快速冪
計算a^b % p = ?
法一：分治思想：
這個題洛谷有板子（不過編譯失敗是個什么鬼？？）（交了個板子題結果我炸了？？？）：
行吧經過我無數次（5次欸qwq）的沒過板子emm我終於搞了個a了的代碼：
分治的思想就是一分為二嘛，求a^b%p，可以先求a^（b/2）%p再相乘，然后再%p，要注意的是b不整除2的時候最后還要乘一個a，然后存答案的話要用long long，要不然會爆的（我就爆了***）
#include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> using namespace std; int a,b,p; int fz(int a,int b,int p){ long long ans=1; if(b==0)return 1;//當b=0時，a^0=1； ans=fz(a,b/2,p);//搞分治，b每次/2 ans=ans*ans%p; if(b%2==1) ans=ans*a%p;//乘回來b為奇數的那個a return ans; } int main(){ scanf("%d%d%d",&a,&b,&p); cout<<a<<"^"<<b<<" mod "<<p<<"=";//這個是洛谷板子題的要求qwq cout<<fz(a,b,p)%p<<endl;//一定要模p啊qwq }
法二：快速冪（板子又沒過emm難到我數據又爆了？？好像還真是qwq ）：
行惹過了。突然想小反思一下：
感覺自己學信息奧賽這么久了，總是犯一些細節性的東西，基礎還是不扎實，還需要努力盤一盤基礎qwq
快速冪思想算是比較難理解代碼的思想了，其實數學思想還好，比較好理解，就怕代碼qwq
下面是某只zay的lh的解釋？？
a^7 = a^1 * a^2 * a^4 2進制：111
a^11 = a^1 * a^2 * a^8 2進制：1011
a^25 = a^1 * a^8 * a^16 2進制：11001
所以首先計算出 a^1、 a^2、 a^4、 a^8 …，利用2進制表示出a，若第x位上為1，則乘a的x次方，若為0，則不乘。
#include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> using namespace std; long long a,b,p; int kuaisumi(long long a,long long b,long long p){//鍾大佬kuaisumi（拼音）的操作天下無敵了 long long ans=1; while(b>0){ if(b&1)ans=ans*a%p;//滿足第x位上是1，ans乘上a^（2^(x-1))； a=a*a%p;//這里一直計算着a^2k次方2k=2^(x-1); b/=2; } return ans; } int main(){ scanf("%d%d%d",&a,&b,&p); cout<<a<<"^"<<b<<" mod "<<p<<"="; cout<<kuaisumi(a,b,p)%p<<endl; }
費馬小定理：
對於素數p和任意正整數a(0 ~ p-1)，有a^(p-1) ≡ 1(mod p)
b * a = t
t * a^(p-2) = b t/a=b
//在模p意義下除以一個數等於乘這個數的p-2次方
應用：計算C(n,m) % (10^9+7) 10^9+7是質數 n ,m<=10,0000 Query 10,0000
思路：C(n, m) = n! / ( (n-m)! * m! )
= n! * ( (n-m)! * m! )^(p-2)
= n! * ( (n-m)! )^(p-2) * (m! )^(p-2) 預處理任意n！、(n! )^(p-2)
這個預處理怕不是要炸掉？？？（順便吐槽下lh的代碼質量qwq真的是金牌嗎？？
日常寫標程寫炸qwq
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace std; long long n,m; long long b[110000],d[110000]; long long p=1e9+7; long long pow(long long a,long long b,long long p){//快速冪求階乘的p-2次方 long long ans=1; while(b>0){ if(b&1)ans=ans*a%p; a=a*a%p; b/=2; } return ans; } long long C(long long x,long long y){//求組合數的函數（思路見上 if(m>n)return -1; if(m==n||m==0)return 1; else return b[x]*d[x-y]%p*d[y]%p; } int main(){ scanf("%lld%lld",&n,&m); b[0]=1; for(int i=1;i<=100000;i++)b[i]=b[i-1]*i%p;//預處理1~100000的階乘 for(int i=1;i<=100000;i++)d[i]=pow(b[i],p-2,p)%p;//預處理1~100000階乘的p-2次方
cout<<C(n,m)<<endl; }
拓展：給定n,m,p求Cnm%p的值：
只需要改一下輸入就可以了，變為輸入三個數，p不再定義為1e9+7;
- part3：
1.最大公約數：
這里用到了輾轉相除（mo）法：請自行百度：
代碼qwq：
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace std; int a,b,x,y; int gcd(int a,int b){ if(b==0)return a; else return gcd(b,a%b); } int main(){ cin>>a>>b; cout<<gcd(a,b); }
最小公倍數：
這里有個小知識qwq：
lcm（a，b）*gcd（a，b）=a*b；
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace std; int a,b,x,y; int gcd(int a,int b){ if(b==0)return a; else return gcd(b,a%b); } int main(){ cin>>a>>b; cout<<a/gcd(a,b)*b; }
end-