射線法（1190 - Sleepwalking ）

題目：http://lightoj.com/volume_showproblem.php?problem=1190

 參考鏈接：https://blog.csdn.net/gkingzheng/article/details/81836308

http://www.mamicode.com/info-detail-1555428.html

一、比如說，我就隨便塗了一個多邊形和一個點，現在我要給出一種通用的方法來判斷這個點是不是在多邊形內部（別告訴我用肉眼觀察……）。

首先想到的一個解法是從這個點做一條射線，計算它跟多邊形邊界的交點個數，如果交點個數為奇數，那么點在多邊形內部，否則點在多邊形外。

這個結論很簡單，那它是怎么來的？下面就簡單講解一下。

首先，對於平面內任意閉合曲線，我們都可以直觀地認為，曲線把平面分割成了內、外兩部分，其中“內”就是我們所謂的多邊形區域。

基於這一認識，對於平面內任意一條直線，我們可以得出下面這些結論：

• 直線穿越多邊形邊界時，有且只有兩種情況：進入多邊形或穿出多邊形。
• 在不考慮非歐空間的情況下，直線不可能從內部再次進入多邊形，或從外部再次穿出多邊形，即連續兩次穿越邊界的情況必然成對。
• 直線可以無限延伸，而閉合曲線包圍的區域是有限的，因此最后一次穿越多邊形邊界，一定是穿出多邊形，到達外部。

現在回到我們最初的題目。假如我們從一個給定的點做射線，還可以得出下面兩條結論：

• 如果點在多邊形內部，射線第一次穿越邊界一定是穿出多邊形。
• 如果點在多邊形外部，射線第一次穿越邊界一定是進入多邊形。

把上面這些結論綜合起來，我們可以歸納出：

• 當射線穿越多邊形邊界的次數為偶數時，所有第偶數次（包括最后一次）穿越都是穿出，因此所有第奇數次（包括第一次）穿越為穿入，由此可推斷點在多邊形外部。
• 當射線穿越多邊形邊界的次數為奇數時，所有第奇數次（包括第一次和最后一次）穿越都是穿出，由此可推斷點在多邊形內部。

到這里，我們已經了解了這個解法的思路，大家可以試着自己寫一個實現出來。關於算法實現中某些具體問題和邊界條件的處理，下次接着寫，這次畫圖已經畫夠了……

后記：給出這個解法后，我簡單搜了一下，原來這種算法就叫做射線法（ray casting）或者奇偶規則法（even odd rule），是一種早已被廣泛應用的算法。后面還打算介紹另一種通過回轉數（winding number，拓撲學的一個概念）解這個問題的思路。

 

二、射線法在實際應用中的一些問題和解決方案。

1. 點在多邊形的邊上

   前面我們講到，射線法的主要思路就是計算射線穿越多邊形邊界的次數。那么對於點在多邊形的邊上這種特殊情況，射線出發的這一次，是否應該算作穿越呢？

   

   看了上面的圖就會發現，不管算不算穿越，都會陷入兩難的境地——同樣落在多邊形邊上的點，可能會得到相反的結果。這顯然是不正確的，因此對這種特殊情況需要特殊處理。

2. 點和多邊形的頂點重合

   

   這其實是第一種情況的一個特例。

3. 射線經過多邊形頂點

   射線剛好經過多邊形頂點的時候，應該算一次還是兩次穿越？這種情況比前兩種復雜，也是實現中的難點，后面會講解它的解決方案。

   

4. 射線剛好經過多邊形的一條邊

   這是上一種情況的特例，也就是說，射線連續經過了多邊形的兩個相鄰頂點。

   

解決方案：

1. 判斷點是否在線上的方法有很多，比較簡單直接的就是計算點與兩個多邊形頂點的連線斜率是否相等，中學數學都學過。

2. 點和多邊形頂點重合的情況更簡單，直接比較點的坐標就行了。

3. 頂點穿越看似棘手，其實我們換一個角度，思路會大不相同。先來回答一個問題，射線穿越一條線段需要什么前提條件？沒錯，就是線段兩個端點分別在射線兩側。只要想通這一點，頂點穿越就迎刃而解了。這樣一來，我們只需要規定被射線穿越的點都算作其中一側。

   

   如上圖，假如我們規定射線經過的點都屬於射線以上的一側，顯然點D和發生頂點穿越的點C都位於射線Y的同一側，所以射線Y其實並沒有穿越CD這條邊。而點C和點B則分別位於射線Y的兩側，所以射線Y和BC發生了穿越，由此我們可以斷定點Y在多邊形內。同理，射線X分別與AD和CD都發生了穿越，因此點X在多邊形外，而射線Z沒有和多邊形發生穿越，點Z位於多邊形外。

4. 解決了第三點，這一點就毫無難度了。根據上面的假設，射線連續經過的兩個頂點顯然都位於射線以上的一側，因此這種情況看作沒有發生穿越就可以了。由於第三點的解決方案實際上已經覆蓋到這種特例，因此不需要再做特別的處理

5. 代碼：
   /*
   射線法:判斷一個點是在多邊形內部，邊上還是在外部,時間復雜度為O(n)；
   射線法可以正確用於凹多邊形；
   射線法是使用最廣泛的算法，這是由於相比較其他算法而言，它不但可以正
   確使用在凹多邊形上，而且不需要考慮精度誤差問題。該算法思想是從點出
   發向右水平做一條射線，計算該射線與多邊形的邊的相交點個數，當點不在
   多邊形邊上時，如果是奇數，那么點就一定在多邊形內部，否則，在外部。
   */
   #include <stdio.h>
   #include <algorithm>
   #include <cstring>
   #include <cmath>
   using namespace std;
   const int N = 2010;
   const double eps = 1e-10;
   const int INF = 0x3f3f3f3f;
   //////////////////////////////////////////////////////////////////
   struct point
   {
       double x, y;
       point(double x=0, double y=0) : x(x), y(y){}
       friend point operator - (const point& p1, const point& p2)
       {
           return point(p1.x-p2.x, p1.y-p2.y);
       }
       friend double operator ^ (const point& p1, const point& p2)
       {
           return p1.x*p2.y - p1.y*p2.x;
       }
   };
   //////////////////////////////////////////////////////////////////
   struct Segment
   {
       point s, e;
   };
   //////////////////////////////////////////////////////////////////
   ///判斷一個double類型的數是  0  <0  >0;
   int Sign(double x)
   {
       if( fabs(x) < eps )return 0;
       if(x > 0)return 1;
       return -1;
   }
   //////////////////////////////////////////////////////////////////
   ///判斷o在ab的哪邊；0:o在直線ab上; >0:在左邊; <0:在右邊；
   double cross(point o, point a, point b)
   {
       return ((a-o)^(b-o));
   }
   //////////////////////////////////////////////////////////////////
   ///已知abc三點在一條直線上，判斷點a是否在線段bc之間；<=0:在   >0:不在;
   int Between(point a, point b, point c)
   {
       if(fabs(b.x-c.x) > fabs(b.y-c.y))
           return Sign(min(b.x, c.x)-a.x)*Sign(max(b.x, c.x)-a.x);
       else
           return Sign(min(b.y, c.y)-a.y)*Sign(max(b.y, c.y)-a.y);
   }
   //////////////////////////////////////////////////////////////////
   ///判斷點p0和線段S上，<=0:在，1:不在；
   int PointOnSegment(point p0, Segment S)
   {
       if(Sign(cross(S.s, S.e, p0)) == 0)
           return Between(p0, S.s, S.e);
       return 1;
   }
   //////////////////////////////////////////////////////////////////
   ///求線段a和線段b的交點個數；
   int SegmentCross(Segment a, Segment b)
   {
       double x1 = cross(a.s, a.e, b.s);
       double x2 = cross(a.s, a.e, b.e);
       double x3 = cross(b.s, b.e, a.s);
       double x4 = cross(b.s, b.e, a.e);
       if(Sign(x1*x2)<0 && Sign(x3*x4)<0) return 1;
       if((Sign(x1)==0 && Between(b.s, a.s, a.e)<=0) ||
          (Sign(x2)==0 && Between(b.e, a.s, a.e)<=0) ||
          (Sign(x3)==0 && Between(a.s, b.s, b.e)<=0) ||
          (Sign(x4)==0 && Between(a.e, b.s, b.e)<=0))
          return 2;
       return 0;
   }
   //////////////////////////////////////////////////////////////////
   ///判斷點p0與含有n個節點的多邊形的位置關系，p數組是頂點集合；
   ///返回0:邊上或頂點上,    1:外面,   -1:里面;
   int PointInPolygon(point p0, point p[], int n)
   {
       Segment L, S;
       point temp;
       L.s = p0, L.e = point(INF, p0.y);///以p0為起點的射線L；
       int counts = 0;
       p[n] = p[0];
       for(int i=1; i<=n; i++)
       {
           S.s = p[i-1], S.e = p[i];
           if(PointOnSegment(p0, S) <= 0) return 0;
           if(S.s.y == S.e.y) continue;///和射線平行；
           if(S.s.y > S.e.y) temp = S.s;
           else temp = S.e;
           if(PointOnSegment(temp, L) == -1)
               counts ++;
           else if(SegmentCross(L, S) == 1)
               counts ++;
       }
       if(counts%2) return -1;
       return 1;
   }
   //////////////////////////////////////////////////////////////////
   int main()
   {
       point p[N];
       int T, tCase = 1, n, q;
       scanf("%d", &T);
       while(T--)
       {
           scanf("%d", &n);
           for(int i=0; i<n; i++)
               scanf("%lf %lf", &p[i].x, &p[i].y);
           scanf("%d", &q);
           printf("Case %d:\n", tCase++);
           for(int i=1; i<=q; i++)
           {
               int x, y;
               scanf("%d %d", &x, &y);
               int ans = PointInPolygon(point(x, y), p, n);
               if(ans == 1) puts("No");
               else puts("Yes");
           }
       }
       return 0;
   }