拓撲圖論基礎：（二）圖的嵌入和拓撲圖
拓撲圖·平面圖
設\(\Gamma\)是一個閉曲面或平面，\(G\)是一個圖，\(D\)是\(G\)的一個正規\(\Gamma\)-畫法．如果\(D\)沒有交叉，我們就說\(D\)是\(G\)的一個\(\Gamma\)-嵌入，也說\(G\)通過\(D\)嵌入到\(\Gamma\)上．當\(\Gamma\)是平面時，我們稱\(\Gamma\)-嵌入為平面嵌入．稱能嵌入平面的圖為可平面圖．如果固定圖\(G\)的\(\Gamma\)-嵌入\(D\)，並將\(G\)與\(D\)等同看待，那么\(G\)的頂點和邊分別可以看成\(\Gamma\)上的相應點和相應簡單（閉）曲線，此時我們稱\(G\)為\(\Gamma\)上的拓撲圖；特別地，如果\(\Gamma\)是平面，那么就稱拓撲圖\(G\)為平面圖．
注意
可平面圖和平面圖是不同的．一個可平面圖可能有多種平面嵌入，而平面圖則固定了一種平面嵌入；一個可平面圖本質上仍然是由頂點集和邊集構成的有序二元組，而平面圖實際上是一種拓撲圖，它是由頂點集、邊集和面集構成的有序三元組\(G(V,E,F)\)．
拓撲圖的面
設\(G\)是\(\Gamma\)上的一個拓撲圖．我們稱$$\Gamma\setminus\bigcup_{e\in E(G)}e$$的區域（即極大弧連通子集）為\(G\)的面．\(G\)的面集用\(F(G)\)或\(F\)表示，面數用\(f(G)\)表示．
設\(f\in F(G)\)．\(f\)的邊界記作\(\partial(f)\)．\(\partial(f)\)可以看作\(G\)的一個拓撲子圖，但未必是連通圖．實際上，當且僅當\(G\)連通時，\(G\)的每個面的邊界才都是連通圖．
如果\(\partial(f)\)只有一個連通分支，那么\(\partial(f)\)顯然是一條閉游走(closed walk)，我們稱之為\(f\)的邊界閉游走；\(f\)的邊界閉游走的長度稱為\(f\)的度，記作\(\deg(f)\)．
\(\deg(f)\)不一定等於\(f\)所關聯的邊數．這是因為：如果\(f\)關聯了割邊\(e\)，那么\(e\)兩側都是\(f\)，這導致\(e\)在\(\partial(f)\)中會出現兩次．但這並不影響握手定理的成立．
（面邊）握手定理
如果\(G\)是平面圖，那么$$\sum_{f\in F(G)}\deg(f)=2e(G).$$
面圈
如果\(\partial(f)\)是一個圈，那么我們稱這個圈是一個面圈(facial cycle)．同樣因為\(f\)可能關聯割邊，所以邊界閉游走不一定是圈，除非\(G\)是2-連通的．
Whitney定理
Whitney定理 除\(K_1\)和\(K_2\)外，\(2\)-連通的平面圖的每個面的邊界都是圈．\(\blacksquare\)
Whitney定理的推論 無環\(3\)-連通的平面圖的任何頂點的鄰域都會構成一個圈．\(\blacksquare\)
一般來講，如果\(G\)有一個\(\Gamma\)-嵌入，使得每個面都同胚於圓盤，則稱這個嵌入是一個2-腔胞嵌入．什么圖在什么閉曲面上會有2-腔胞嵌入，這是拓撲圖論的一個重要研究課題，此處不便展開．
Eular-Poinare公式
關於頂點、邊、面三者之間的數量關系有著名的Eular-Poinare公式：
Eular-Poinare公式 如果\(\Gamma\)上拓撲圖\(G\)是連通的，那么\(v(G)-e(G)+f(G)=2-eg(\Gamma)\)．\(\blacksquare\)
將Eular-Poinare公式限制在平面圖上使用（此時一般稱為Eular公式）可以得到如下兩個常用推論．
Eular公式的推論1 如果\(G\)是至少\(3\)個頂點的簡單可平面圖，那么\(e(G)\le 3v(G)-6\)，其中等號成立當且僅當\(G\)的每個平面嵌入都是三角剖分（即每個面的邊界都是\(3\)-圈的平面嵌入）．\(\blacksquare\)
Eular公式的推論2 每個簡單可平面圖最小度都不超過\(5\)．\(\blacksquare\)