決策樹(Decision Trees)

• 簡介

決策樹是一個預測模型，通過坐標數據進行多次分割，找出分界線，繪制決策樹。

在機器學習中，決策樹學習算法就是根據數據，使用計算機算法自動找出決策邊界。

每一次分割代表一次決策，多次決策而形成決策樹，決策樹可以通過核技巧把簡單的線性決策面轉換為非線性決策面。

 

• 基本思想

樹是由節點和邊兩種元素組成的結構。有這幾個關鍵詞：根節點、父節點、子節點和葉子節點。

父節點和子節點是相對的，子節點由父節點根據某一規則分裂而來，然后子節點作為新的父親節點繼續分裂，直至不能分裂為止。而根節點是沒有父節點的節點，即初始分裂節點，葉子節點是沒有子節點的節點，如下圖所示：

                     

決策樹利用如上圖所示的樹結構進行決策，每一個非葉子節點是一個判斷條件，每一個葉子節點是結論。從跟節點開始，經過多次判斷得出結論。

 

舉個例子

如圖，利用決策樹將兩類樣本點分類。

先從X軸觀察，在X = 3時，樣本點有一次明顯的“突變”，我們以X = 3作為一次決策，進行一次划分：

再從Y軸觀察，兩類樣本點在Y = 4 和Y = 2處可以進行划分，進而進行兩次划分：

通過這幾次划分，樣本點被划分為四個部分，其中兩類樣本點各划為兩部分，而且無法再繼續分割，這種分割的過程就是決策樹：

                       

 

 

• 熵（entropy）

熵的作用：用於控制決策樹在什么條件下做出決策，即在什么條件下分割數據

熵的定義：它是一系列樣本中的不純度的測量值（measure of impurity in a bunch of examples）

建立決策樹的過程就是找到變量划分點從而產生盡可能的單一的子集，實際上決策樹做決策的過程，就是對這個過程的遞歸重復。

熵描述了數據的混亂程度，熵越大，混亂程度越高，也就是純度越低；反之，熵越小，混亂程度越低，純度越高。 熵的計算公式如下所示：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　

其中Pi表示類i的數量占比。以二分類問題為例，如果兩類的數量相同，此時分類節點的純度最低，熵等於1；如果節點的數據屬於同一類時，此時節點的純度最高，熵等於0。

熵的最大值為1，最小值為0

 

• 信息增益

用信息增益表示分裂前后跟的數據復雜度和分裂節點數據復雜度的變化值，計算公式表示為：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　

其中Gain表示節點的復雜度，Gain越高，說明復雜度越高。信息增益也可以說是分裂前的熵減去孩子節點的熵的和，信息增益越大，分裂后的熵減小得越多，分類的效果越明顯。

 

• 偏差（bias）與方差（variance）

高偏差機器學習算法實際上會忽略訓練數據，它幾乎沒有能力學習任何數據，這被稱為偏差。

另一個極端情況就是高方差，它只能復現曾經出現過的東西，對於沒有出現過的情況，他的反應非常差。

通過調整參數讓偏差與方差平衡，使算法具有一定泛化能力，但仍然對訓練數據開放，能根據數據調整模型，是機器學習的要點。

 

• 代碼實現

環境：MacOS mojave　　10.14.3

Python　　3.7.0

使用庫：scikit-learn    0.19.2

 

sklearn.tree官方庫：https://scikit-learn.org/stable/modules/tree.html

>>> from sklearn import tree
>>> X = [[0, 0], [1, 1]]    #兩個樣本點
>>> Y = [0, 1]                #分別屬於兩個標簽
>>> clf = tree.DecisionTreeClassifier()    #進行分類
>>> clf = clf.fit(X, Y)
>>> clf.predict([[2., 2.]])   #預測新點 
array([1])                        #新點通過分類屬於標簽1    

 

Main.py　　主程序

import sys
from class_vis import prettyPicture, output_image
from prep_terrain_data import makeTerrainData

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import pylab as pl
from classifyDT import classify

features_train, labels_train, features_test, labels_test = makeTerrainData()



### the classify() function in classifyDT is where the magic
### happens--fill in this function in the file 'classifyDT.py'!
clf = classify(features_train, labels_train)



#### grader code, do not modify below this line

prettyPicture(clf, features_test, labels_test)
accuracy = clf.score(features_test, labels_test)

# output_image("test.png", "png", open("test.png", "rb").read())
print (accuracy)
acc = accuracy    ### you fill this in!

 

classifyDT.py　　決策樹分類

def classify(features_train, labels_train):
    
    ### your code goes here--should return a trained decision tree classifer
    from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier
    clf = DecisionTreeClassifier(random_state=0)
    clf.fit(features_train,labels_train)
    
    
    return clf

 

perp_terrain_data.py　　生成訓練點

import random


def makeTerrainData(n_points=1000):
###############################################################################
### make the toy dataset
    random.seed(42)
    grade = [random.random() for ii in range(0,n_points)]
    bumpy = [random.random() for ii in range(0,n_points)]
    error = [random.random() for ii in range(0,n_points)]
    y = [round(grade[ii]*bumpy[ii]+0.3+0.1*error[ii]) for ii in range(0,n_points)]
    for ii in range(0, len(y)):
        if grade[ii]>0.8 or bumpy[ii]>0.8:
            y[ii] = 1.0

### split into train/test sets
    X = [[gg, ss] for gg, ss in zip(grade, bumpy)]
    split = int(0.75*n_points)
    X_train = X[0:split]
    X_test  = X[split:]
    y_train = y[0:split]
    y_test  = y[split:]

    grade_sig = [X_train[ii][0] for ii in range(0, len(X_train)) if y_train[ii]==0]
    bumpy_sig = [X_train[ii][1] for ii in range(0, len(X_train)) if y_train[ii]==0]
    grade_bkg = [X_train[ii][0] for ii in range(0, len(X_train)) if y_train[ii]==1]
    bumpy_bkg = [X_train[ii][1] for ii in range(0, len(X_train)) if y_train[ii]==1]

#    training_data = {"fast":{"grade":grade_sig, "bumpiness":bumpy_sig}
#            , "slow":{"grade":grade_bkg, "bumpiness":bumpy_bkg}}


    grade_sig = [X_test[ii][0] for ii in range(0, len(X_test)) if y_test[ii]==0]
    bumpy_sig = [X_test[ii][1] for ii in range(0, len(X_test)) if y_test[ii]==0]
    grade_bkg = [X_test[ii][0] for ii in range(0, len(X_test)) if y_test[ii]==1]
    bumpy_bkg = [X_test[ii][1] for ii in range(0, len(X_test)) if y_test[ii]==1]

    test_data = {"fast":{"grade":grade_sig, "bumpiness":bumpy_sig}
            , "slow":{"grade":grade_bkg, "bumpiness":bumpy_bkg}}

    return X_train, y_train, X_test, y_test
#    return training_data, test_data

 

class_vis.py　　繪圖與保存圖像

import warnings
warnings.filterwarnings("ignore")

import matplotlib 
matplotlib.use('agg')

import matplotlib.pyplot as plt
import pylab as pl
import numpy as np

#import numpy as np
#import matplotlib.pyplot as plt
#plt.ioff()

def prettyPicture(clf, X_test, y_test):
    x_min = 0.0; x_max = 1.0
    y_min = 0.0; y_max = 1.0

    # Plot the decision boundary. For that, we will assign a color to each
    # point in the mesh [x_min, m_max]x[y_min, y_max].
    h = .01  # step size in the mesh
    xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, h), np.arange(y_min, y_max, h))
    Z = clf.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])

    # Put the result into a color plot
    Z = Z.reshape(xx.shape)
    plt.xlim(xx.min(), xx.max())
    plt.ylim(yy.min(), yy.max())

    plt.pcolormesh(xx, yy, Z, cmap=pl.cm.seismic)

    # Plot also the test points
    grade_sig = [X_test[ii][0] for ii in range(0, len(X_test)) if y_test[ii]==0]
    bumpy_sig = [X_test[ii][1] for ii in range(0, len(X_test)) if y_test[ii]==0]
    grade_bkg = [X_test[ii][0] for ii in range(0, len(X_test)) if y_test[ii]==1]
    bumpy_bkg = [X_test[ii][1] for ii in range(0, len(X_test)) if y_test[ii]==1]

    plt.scatter(grade_sig, bumpy_sig, color = "b", label="fast")
    plt.scatter(grade_bkg, bumpy_bkg, color = "r", label="slow")
    plt.legend()
    plt.xlabel("bumpiness")
    plt.ylabel("grade")

    plt.savefig("test.png")

 

得到結果，正確率90.8%

其中，狹長區域為過擬合

 

• 決策樹的參數

min_samples_split可分割的樣本數量下限，默認值為2

對於決策樹最下層的每一個節點，是否還要繼續分割，min_samples_split決定了能夠繼續進行分割的最少分割樣本

acc_min_samples.py　　acc_min_samples對比

import sys
from class_vis import prettyPicture
from prep_terrain_data import makeTerrainData

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import pylab as pl

features_train, labels_train, features_test, labels_test = makeTerrainData()



########################## DECISION TREE #################################


### your code goes here--now create 2 decision tree classifiers,
### one with min_samples_split=2 and one with min_samples_split=50
### compute the accuracies on the testing data and store
### the accuracy numbers to acc_min_samples_split_2 and
### acc_min_samples_split_50, respectively


from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier
clf1 = DecisionTreeClassifier(min_samples_split=2)
clf2 = DecisionTreeClassifier(min_samples_split=50)

clf1.fit(features_train,labels_train)
clf2.fit(features_train,labels_train)

acc_min_samples_split_2 = clf1.score(features_test, labels_test)
acc_min_samples_split_50 = clf2.score(features_test, labels_test)


print (acc_min_samples_split_2)
print (acc_min_samples_split_50)

#choose one of two
prettyPicture(clf1, features_test, labels_test)
# prettyPicture(clf2, features_test, labels_test)

 

 

上圖，min_samples_split分別為2 和50

得到正確率分別為90.8%和91.2%

 

• 決策樹的優點與缺點

易於使用，易於理解

容易過擬合，尤其對於具有包含大量特征的數據時，復雜的決策樹可能會過擬合數據，通過仔細調整參數，避免過擬合（對於節點上只有單個數據點的決策樹，幾乎肯定是過擬合）