蠻力法
蠻力法是基於計算機運算速度快這一特性，在解決問題時采取的一種“懶惰”的策略。這種策略不經過（或者說是經過很少的）思考，把問題的所有情況或所有過程交給計算機去一一嘗試，從中找出問題的解。蠻力策略的應用很廣，具體表現形式各異，數據結構課程中學習的：選擇排序、冒泡排序、插入排序、順序查找、朴素的字符串匹配等，都是蠻力策略具體應用。比較常用還有枚舉法、盲目搜索算法等。
枚舉法
枚舉（ enumerate）法（窮舉法）是蠻力策略的一種表現形式，也是一種使用非常普遍的思維方法。它是根據問題中的條件將可能的情況一一列舉出來，逐一嘗試從中找出滿足問題條件的解。但有時一一列舉出的情況數目很大，如果超過了我們所能忍受的范圍，則需要進一步考慮，排除一些明顯不合理的情況，盡可能減少問題可能解的列舉數目。
用枚舉法解決問題，通常可以從兩個方面進行算法設計：
1）找出枚舉范圍：分析問題所涉及的各種情況。
2）找出約束條件：分析問題的解需要滿足的條件，並用邏輯表達式表示。
【例1】百錢百雞問題。中國古代數學家張丘建在他的《算經》中提出了著名的“百錢百雞問題”：雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一；百錢買百雞，翁、母、雛各幾何?
算法設計1：
通過對問題的理解，讀者可能會想到列出兩個三元一次方程，去解這個不定解方程，就能找出問題的解。這確實是一種辦法，但這里我們要用“懶惰”的枚舉策略進行算法設計：
設x，y，z分別為公雞、母雞、小雞的數量。
嘗試范圍：由題意給定共100錢要買百雞，若全買公雞最多買100/5=20只，顯然x的取值范圍1~20之間；同理，y的取值范圍在1~33之間，z的取值范圍在1~100之間。
約束條件： x+y+z=100 且 5*x+3*y+z/3=100
算法1如下：
main( )
{ int x,y,z;
for(x=1;x<=20;x=x+1)
for(y=1;y<=34;y=y+1)
for(z=1;z<=100;z=z+1)
if(100=x+y+z and 100=5*x+3*y+z/3)
{print("the cock number is",x)；
print("the hen number is", y)；
print("the chick number is“,z);}
}
算法分析：以上算法需要枚舉嘗試20*34*100=68000次。算法的效率顯然太低
算法設計2：
在公雞（x）、母雞（y）的數量確定后，小雞 的數量 z就固定為100-x-y，無需再進行枚舉了
此時約束條件只有一個： 5*x+3*y+z/3=100
算法2如下：
main( )
{ int x,y,z;
for(x=1;x<=20;x=x+1)
for(y=1;y<=33;y=y+1)
{ z=100-x-y;
if(z mod 3=0 and 5*x+3*y+z/3=100)
{print(the cock number is",x)；
print(the hen number is", y)；
print(the chick number is "z);}
}
}
算法分析：以上算法只需要枚舉嘗試20*33=660次。實現時約束條件又限定Z能被3整除時，才會判斷“5*x+3*y+z/3=100”。這樣省去了z不整除3時的算術計算和條件判斷，進一步提高了算法的效率。
【例2】解數字迷： A B C A B
× A
D D D D D D
算法設計1：按乘法枚舉
1)枚舉范圍為：
A：3——9（A=1，2時積不會得到六位數）,B：0——9,
C：0——9 六位數表示為A*10000+B*1000+C*100+A*10+B， 共嘗試700次。
2)約束條件為：
每次嘗試，先求六位數與A的積，再測試積的各位是否相同，若相同則找到了問題的解。測試積的各位是否相同比較簡單的方法是，從低位開始，每次都取數據的個位，然后整除10，使高位的數字不斷變成個位，並逐一比較。
算法1如下：
main（ ）
{ long A,B,C,D,E,E1,F,G1,G2,i;
for(A=3; A<=9; A++)
for(B=0; B<=9; B++)
for(C=0; C<=9; C++)
{ F=A*10000+B*1000+C*100+A*10+B;
E=F*A； E1=E; G1=E1 mod 10;
for(i=1; i<=5; i++)
{ G2=G1; E1=E1/10; G1= E1 mod 10;
if(G1<>G2 ) break; }
if(i=6) print( F，”*”，A，”=”，E);
}
}
算法說明1：算法中對枚舉出的每一個五位數與A相乘，結果存儲在變量E中。然后，測試得到的六位數E是否各個位的數字都相同。鑒於要輸出結果，所以不要改變計算結果，而另設變量E1，用於測試運算。
算法分析1：以上算法的嘗試范圍是A：3——9，B：0——9， C：0——9 。共嘗試800次，每次，不是一個好的算法。
算法設計2：將算式變形為除法：DDDDDD/A=ABCAB。此時只需枚舉A：3——9 D：1——9，共嘗試7*9=63次。每次嘗試，測試商的萬位、十位與除數是否相同，千位與個位是否相同，都相同時為解。
算法2如下:
main（）
{long A,B,C,D,E,F;
for(A=3;A<=9;A++)
for(D=1;D<=9;D++)
{ E = D*100000+D*10000+D*1000+D*100+D*10+D;
if(E mod A=0) F=E\A;
if(F\10000=A and (F mod 100)\10=A)
if(F\1000==F mod 10)
print( F，”*”，A，”=”，E);
}
}
【例3】獄吏問題
某國王對囚犯進行大赦，讓一獄吏n次通過一排鎖着的n間牢房，每通過一次，按所定規則轉動n間牢房中的某些門鎖, 每轉動一次, 原來鎖着的被打開, 原來打開的被鎖上；通過n次后，門鎖開着的，牢房中的犯人放出，否則犯人不得獲釋。
轉動門鎖的規則是這樣的，第一次通過牢房，要轉動每一把門鎖，即把全部鎖打開；第二次通過牢房時，從第二間開始轉動，每隔一間轉動一次；第k次通過牢房，從第k間開始轉動，每隔k-1 間轉動一次；問通過n次后，那些牢房的鎖仍然是打開的？
算法設計1：
1）用n個空間的一維數組a[n],每個元素記錄一個鎖的狀態，1為被鎖上，0為被打開。
2）用數學運算方便模擬開關鎖的技巧，對i號鎖的一次開關鎖可以轉化為算術運算：a[i]=1-a[i]。
3）第一次轉動的是1，2，3，……，n號牢房；
第二次轉動的是2，4，6，……號牢房；
第三次轉動的是3，6，9，……號牢房；
……第i次轉動的是i，2i，3i，4i，……號牢房，是起點為i，公差為i的等差數列。
4）不做其它的優化，用蠻力法通過循環模擬獄吏的開關鎖過程，最后當第i號牢房對應的數組元素a[i]為0時，該牢房的囚犯得到大赦。
算法1如下：
main1( )
{int *a,i,j,n;
input(n);
a=calloc(n+1,sizeof(int));
for (i=1; i<=n;i++)
a[i]=1;
for (i=1; i<=n;i++)
for (j=i; j<=n;j=j+i)
a[i]=1-a[i];
for (i=1; i<=n;i++)
if (a[i]=0) print(i,”is free.”);
}
算法分析：以一次開關鎖計算，算法的時間復雜度為n(1+1/2+1/3+……+1/n)=O(nlogn)。
問題分析：轉動門鎖的規則可以有另一種理解，第一次轉動的是編號為1的倍數的牢房；第二次轉動的是編號為2的倍數的牢房；第三次轉動的是編號為3的倍數的牢房；……則獄吏問題是一個關於因子個數的問題。令d(n)為自然數n的因子個數，這里不計重復的因子，如4的因子為1，2，4共三個因子，而非1，2，2，4。則d(n)有的為奇數，有的為偶數，見下表:
數學模型1：上表中的d(n)有的為奇數，有的為偶數，由於牢房的門開始是關着的，這樣編號為i的牢房，所含1——i之間的不重復因子個數為奇數時，牢房最后是打開的，反之，牢房最后是關閉的。
算法設計2:
1）算法應該是求出每個牢房編號的不重復的因子個數，當它為奇數時，這里邊的囚犯得到大赦。
2）一個數的因子是沒有規律的，只能從1——n枚舉嘗試。算法2如下：
main2( )
{int s,i,j,n;
input(n);
for (i=1; i<=n;i++)
{ s=1;
for (j=2; j<=i;j=j++)
if （i mod j=0） s=s+1;
if （s mod 2 =1） print(i,”is free.”); }
}
算法分析：
獄吏開關鎖的主要操作是a[i]=1- a[i];共執行了n*(1+1/2+1/3+……+1/n)次，時間近似為復雜度為O（n log n）。使用了n個空間的一維數組。算法2沒有使用輔助空間，但由於求一個編號的因子個數也很復雜，其主要操作是判斷i mod j是否為0，共執行了n*(1+2+3+……+n)次，時間復雜度為O（n2）。
數學模型2：仔細觀察表4-3，發現當且僅當n為完全平方數時,d(n)為奇數；這是因為n的因子是成對出現的,也即當n=a*b且a≠b時，必有兩個因子a，b; 只有n為完全平方數，也即當n=a2時, 才會出現d(n)為奇數的情形。
算法設計3：這時只需要找出小於n的平方數即可。
main3( )
{int s,i,j,n;
input(n);
for (i=1;i<=n;i++)
if（i*i<=n） print(i*i,”is free.”);
else break;
}
由此算法我們應當注意：在對運行效率要求較高的大規模的數據處理問題時，必須多動腦筋找出效率較高的數學模型及其對應的算法。