問題
在圓上任取$n$個點，將每對點用直線連接起來，並規定任意三條線不能交於同一點，這些直線會將圓分割成多少份？
首先我們列出簡單情況來尋找規律：
- 2個點將圓分成2份
- 3個點將圓分成4份
- 4個點將圓分成8份
- 5個點將圓分成16份
看來這個數列的規律非常明顯：每增加一個點，分割的份數都將乘2。然而，當點數增加到6個的時候，分割的份數不是我們預料的32，而是31。
為了找到這個數列的通項公式，我們使用歐拉示性數公式（Euler’s Characteristic Formula）來進行推導：
$$V-E+F=2$$
這個公式的意思是，在任何聯通平面簡單圖中，頂點數減邊數加上面數等於2。
為了利用這個公式得到分割的份數（即為面數），我們需要先求出頂點和邊的數量。
首先求頂點數：圓內的每個交點都對應圓上的4個點交叉相連，因此圓內的交點共有$C_n^4$個，加上圓上的$n$個點，因此$V=n+C_n^4$。
再求邊數：圓內的那個交點的度數（度數是與點相連的邊的個數）為4，圓上的點都與除此之外的每個點相連，因此度數是$n-1$，所以總度數為$4*C_n^4+n*(n-1)$，由於每條邊對於總度數的貢獻為2，再加上連接圓上頂點的弦的數目，最后得邊的數量$E=2*C_n^4+C_n^2+n$。
將結果帶入歐拉公式，並考慮園外區域也算一個面，則分割的份數為：
$$\begin{aligned}
F-1 &= E-V+2-1 \\
&= (2*C_n^4+C_n^2+n)-(n+C_n^4)+1 \\
&= C_n^4+C_n^2+1
\end{aligned}$$
由排列組合公式，上式可以繼續分解：
$$C_n^4+C_n^2+1 = C_{n-1}^4+C_{n-1}^3+C_{n-1}^2+C_{n-1}^1+C_{n-1}^0$$
這也就解釋了當$n<6$時結果總是成2的冪。
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