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淺談樹套樹(線段樹套平衡樹)&學習筆記

本文轉載自   查看原文   2019-01-22 10:38   593    數據結構---樹套樹

0XFF 前言

*如果本文有不好的地方，請在下方評論區提出，Qiuly感激不盡！

0X1F 這個東西有啥用?

樹套樹------線段樹套平衡樹，可以用於解決待修改區間\(K\)大的問題，當然也可以用 樹套樹------樹狀數組套可持久化線段樹，但是 線段樹套平衡樹 更加容易理解，更加便於新手理解，所以一般也作為樹套樹的入門類別。
對於靜態區間\(K\)大，我們可以用小巧精悍的主席樹來做，也可以用強大無比的\(Splay\)來做。如果帶修改，主席樹就無能為力了，\(Splay\)也會變得很棘手難打。如果用普通線段樹，每個節點都有着一課包含子節點的\(Splay\)，對於一個區間，直接調用線段樹上的\(Splay\)就迎刃而解了。這時的\(Splay\)不是對全局，而是只對這個線段樹節點代表的區間。

當然，樹套樹------線段樹套平衡樹並不是那么的好打，還是要動紙筆 and 動腦筋。缺點也是有的：因為要打\(Splay\)和線段樹，模板的碼量就有 \(150\) 行！因為線段樹本來就是易手滑的數據結構，稍不留神可能會讓你調上好久！另外，因為\(Splay\)的常數極大，再這么通過線段樹一罩，效率就下來了許多，常數巨大無比......總之 樹套樹 是一個很強的數據結構，但是如果題目不是強制在線的話，\(CDQ\)分治和整體二分會將樹套樹吊起來打！
------------Qiuly

0X2F 這個東西怎么實現?

首先，線段樹套平衡樹可以解決的一般問題如下：

    1. 查詢 \(k\) 在區間 \(l,r\) 內的排名
    1. 查詢區間 \(l,r\) 內排名為 \(k\) 的值
    1. 修改某一位置上的數值
    1. 查詢 \(k\) 在區間 \(l,r\) 內的前驅
    1. 查詢 \(k\) 在區間 \(l,r\) 內的后繼
    1. 修改區間 \(l,r\) 的值(集體加減)(不會)

............

我們今天來講講前五個基礎操作怎么實現(我只會前五個操作)

0X2f-1 查詢 \(k\) 在區間 \(l,r\) 內的排名

我們先將一個外面的線段樹畫下來：

(葉子節點中的數字是序列各個元素的權值)

假設我們現在要查詢區間 \(3,8\) 中 \(5\) 的排名。

查詢一個數的排名，很顯然，就是查詢這個區間內有多少個數比 Ta 小，然后在+1(即自己)。

那怎么查詢 \(3,8\) 區間內有多少個數比他小呢？\(3,8\) 不是整個線段樹節點啊。

我們可以將它分成若干個線段樹節點來處理。

Code:

inline int Splay_rank(int i,int k){//i表示以線段樹的i號節點為根的Splay
	int x=rt[i],cal=0;//板子就不再贅述了
	while(x){
	    if(v[x]==k)return cal+((ch[x][0])?s[ch[x][0]]:0);
	    else if(v[x]<k){
	        cal+=((ch[x][0])?s[ch[x][0]]:0)+c[x];x=ch[x][1];
	    }else x=ch[x][0];
	}return cal;
};
inline void Seg_rank(int x,int l,int r,int L,int R,int Kth){
    if(l==L&&r==R){ans+=Splay_rank(x,Kth);return;}//是整個線段樹節點
    if(R<=mid)Seg_rank(lc,l,mid,L,R,Kth);//情況1：完全屬於左子樹
    else if(L>mid)Seg_rank(rc,mid+1,r,L,R,Kth);//情況2：完全屬於右子樹
    else Seg_rank(lc,l,mid,L,mid,Kth),Seg_rank(rc,mid+1,r,mid+1,R,Kth);//情況3：橫跨兩子樹區間
};

//Main 函數中
case 1:{IN(v);ans=0;Seg_rank(1,1,n,x,y,v);printf("%d\n",ans+1);}break;

沒看懂？我們來一步一步解讀。

首先，進入線段樹。

不是整個線段樹節點，跳過第一條語句。
發現 \(3,8\) 橫跨了兩個子樹，拆開詢問區間，先詢問左子樹。這個時候往左子樹遞歸，目標詢問區間 \(3,4\) ，右子樹目標詢問區間 \(5,8\) 。分別處理。

進入左子樹：

然后，發現詢問區間完全屬於右子樹(當前區間：\(1,4\) , 詢問區間：\(3~4\))，所以直接遞歸右子樹：

這個時候，發現當前區間和詢問區間合並了(當前區間：\(3,4\) , 詢問區間：\(3~4\))，\(Splay\) 詢問小於 \(5\) 的數的個數。

區間：\(3,4\) 的 \(Splay\) :

至於 \(Splay\) 里面的操作不在模擬，因為 \((4,6)\) 中比 \(5\) 小的只有一個數，所以 \(ans+=1\) ，現在 \(ans=1\)

左子樹的任務完成，現在處理在右子樹的詢問區間 \((5,8)\) ，發現一下去 當前區間：\(5,8\) , 詢問區間：\(5,8\) 合並了！
直接跳進 \(Splay\)。

跑完 \(Splay\) 后，發現有兩個數小於 \(5\) (\(=\)的不算)，\(ans+=2\) ，現在 \(ans=3\) 。

所以詢問區間全部處理完了，退出函數。
main函數輸出：\(ans(3)+1=4\) 即答案為 \(4\) .

0X2f-2 查詢區間 \(l,r\) 內排名為 \(k\) 的值

這個我們需要用到二分來實現，我們不能講詢問區間拆成兩個區間(像第一個操作那樣)，因為合並不了答案啊。

所以我們依靠二分來實現。

Code:

inline int Get_Kth(int x,int y,int k){
    int L=0,R=MX+1,M;//MX為序列權值的最大值，上圖中MX為9.
    while(L<R){
        M=(L+R)>>1;
        ans=0;Seg_rank(1,1,n,x,y,M);//詢問M的排名
        if(ans<k)L=M+1;else R=M;//二分
    }return L-1;//return
};

//Main函數中
case 2:{IN(v);printf("%d\n",Get_Kth(x,y,v));}break;

這個我就不貼圖了，不好畫圖解釋。理解不難，多讀幾遍代碼就好了。

0X2f-3 修改某一位置上的數值

這個很簡單，跟普通的線段樹單點修改幾乎一模一樣，只是要同時更新 \(Splay\)。

inline void Seg_change(int x,int l,int r,int pos,int val){
	Splay_Delete(x,a[pos]);Splay_Insert(x,val);//更新 Splay
    if(l==r){a[pos]=val;return;};//修改序列的值
    if(pos<=mid)Seg_change(lc,l,mid,pos,val);//普通的線段樹
    else Seg_change(rc,mid+1,r,pos,val);
};

//Main函數中
case 3:{Seg_change(1,1,n,x,y);}break;

0X2f-4 查詢 \(k\) 在區間 \(l,r\) 內的前驅

對於這個操作，我們依舊可以拆開來操作，合並的時候對於每個拆分后的詢問區間的答案取個最大值，因為是求前驅，肯定是越接近 \(k\) 越好。

inline void Seg_pre(int x,int l,int r,int L,int R,int val){
    if(l==L&&r==R){ans=max(ans,Splay_Get_pre(x,val));return;}
    if(R<=mid)Seg_pre(lc,l,mid,L,R,val);
    else if(L>mid)Seg_pre(rc,mid+1,r,L,R,val);
    else Seg_pre(lc,l,mid,L,mid,val),Seg_pre(rc,mid+1,r,mid+1,R,val);
};

//Main函數中
case 4:{IN(v);ans=-inf;Seg_pre(1,1,n,x,y,v);printf("%d\n",ans);}break;

0X2f-4 查詢 \(k\) 在區間 \(l,r\) 內的后繼

  • 跟 \(4\) 操作同理.

0X3F 一些題目

BZOJ3196: Tyvj 1730 二逼平衡樹

LUOGU P3380【模板】二逼平衡樹(樹套樹)

這道題就是上面講的那道啊!

Code:

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<string>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define RI register int 
#define A printf("A")
#define C printf(" ")
#define inf 2147483647
#define PI 3.1415926535898
using namespace std;
const int N=4e6+2;
//template <typename _Tp> inline _Tp max(const _Tp&x,const _Tp&y){return x>y?x:y;} 
//template <typename _Tp> inline _Tp min(const _Tp&x,const _Tp&y){return x<y?x:y;}
template <typename _Tp> inline void IN(_Tp&x){
    char ch;bool flag=0;x=0;
	while(ch=getchar(),!isdigit(ch))if(ch=='-')flag=1;
	while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
	if(flag)x=-x;
}
int n,m,a[N],ans,MX;
/*----------------------------------Splay-------------------------------------*/
int f[N],c[N],s[N],v[N],ch[N][2],rt[N],tot;
inline int chk(int x){return ch[f[x]][1]==x;};
inline void Splay_del_node(int x){f[x]=s[x]=c[x]=v[x]=ch[x][0]=ch[x][1]=0;};
inline void Splay_pushup(int x){s[x]=(ch[x][0]?s[ch[x][0]]:0)+(ch[x][1]?s[ch[x][1]]:0)+c[x];};
inline void Splay_rotate(int x){
	int y=f[x],z=f[y],k=chk(x),v=ch[x][k^1];
	ch[y][k]=v;if(v)f[v]=y;f[x]=z;if(z)ch[z][chk(y)]=x;
	f[y]=x,ch[x][k^1]=y;Splay_pushup(y),Splay_pushup(x);
};
inline void Splay(int i,int x,int top=0){
	 while(f[x]!=top){
        int y=f[x],z=f[y];
        if(z!=top)Splay_rotate((ch[z][0]==y)==(ch[y][0]==x)?y:x);
        Splay_rotate(x);
    }if(!top)rt[i]=x;
};
inline void Splay_Insert(int i,int x){
	int pos=rt[i];
	if(!rt[i]){
	    rt[i]=pos=++tot;v[pos]=x;s[pos]=c[pos]=1;
        f[pos]=ch[pos][0]=ch[pos][1]=0;return;
	}int last=0;
	while(1){
	    if(v[pos]==x){++c[pos];Splay_pushup(last);break;}
        last=pos;pos=ch[pos][x>v[pos]];
        if(!pos){
            pos=++tot;v[pos]=x;s[pos]=c[pos]=1;
            ch[last][x>v[last]]=pos;
            f[pos]=last;ch[pos][0]=ch[pos][1]=0;
            Splay_pushup(last);break;
        }
	}Splay(i,pos);return;
};
inline int Splay_rank(int i,int k){
	int x=rt[i],cal=0;
	while(x){
	    if(v[x]==k)return cal+((ch[x][0])?s[ch[x][0]]:0);
	    else if(v[x]<k){
	        cal+=((ch[x][0])?s[ch[x][0]]:0)+c[x];x=ch[x][1];
	    }else x=ch[x][0];
	}return cal;
};
inline int Splay_find(int i,int x){
 	int pos=rt[i];while(x){
	    if(v[pos]==x){Splay(i,pos);return pos;};
		pos=ch[pos][x>v[pos]];
	}return 0;
};
inline int Splay_pre(int i){int x=ch[rt[i]][0];while(ch[x][1])x=ch[x][1];return x;}
inline int Splay_suc(int i){int x=ch[rt[i]][1];while(ch[x][0])x=ch[x][0];return x;}
inline int Splay_Get_pre(int i,int x){
    int pos=rt[i];while(pos){
        if(v[pos]<x){if(ans<v[pos])ans=v[pos];pos=ch[pos][1];}
        else pos=ch[pos][0];
    }return ans;
};
inline int Splay_Get_suc(int i,int x){
    int pos=rt[i];while(pos){
        if(v[pos]>x){if(ans>v[pos])ans=v[pos];pos=ch[pos][0];}
        else pos=ch[pos][1];
    }return ans;
};
inline void Splay_Delete(int i,int key){
    int x=Splay_find(i,key);
    if(c[x]>1){--c[x];Splay_pushup(x);return;}
    if(!ch[x][0]&&!ch[x][1]){Splay_del_node(rt[i]);rt[i]=0;return;}
    if(!ch[x][0]){int y=ch[x][1];rt[i]=y;f[y]=0;return;}
	if(!ch[x][1]){int y=ch[x][0];rt[i]=y;f[y]=0;return;}
	int p=Splay_pre(i);int lastrt=rt[i];
	Splay(i,p,0);ch[rt[i]][1]=ch[lastrt][1];f[ch[lastrt][1]]=rt[i];
	Splay_del_node(lastrt);Splay_pushup(rt[i]);
};
/*------------------------------Seg_Tree--------------------------------------*/ 
#define lc ((x)<<1)
#define rc ((x)<<1|1)
#define mid ((l+r)>>1)
inline void Seg_Insert(int x,int l,int r,int pos,int val){
    Splay_Insert(x,val);if(l==r)return;
    if(pos<=mid)Seg_Insert(lc,l,mid,pos,val);
	else Seg_Insert(rc,mid+1,r,pos,val);
};
inline void Seg_rank(int x,int l,int r,int L,int R,int Kth){
    if(l==L&&r==R){ans+=Splay_rank(x,Kth);return;}
    if(R<=mid)Seg_rank(lc,l,mid,L,R,Kth);
    else if(L>mid)Seg_rank(rc,mid+1,r,L,R,Kth);
    else Seg_rank(lc,l,mid,L,mid,Kth),Seg_rank(rc,mid+1,r,mid+1,R,Kth);
};
inline void Seg_change(int x,int l,int r,int pos,int val){
//    printf("QvQ:: %d %d %d %d %d\n",x,l,r,pos,val);
	Splay_Delete(x,a[pos]);Splay_Insert(x,val);
    if(l==r){a[pos]=val;return;};
    if(pos<=mid)Seg_change(lc,l,mid,pos,val);
    else Seg_change(rc,mid+1,r,pos,val);
};
inline void Seg_pre(int x,int l,int r,int L,int R,int val){
    if(l==L&&r==R){ans=max(ans,Splay_Get_pre(x,val));return;}
    if(R<=mid)Seg_pre(lc,l,mid,L,R,val);
    else if(L>mid)Seg_pre(rc,mid+1,r,L,R,val);
    else Seg_pre(lc,l,mid,L,mid,val),Seg_pre(rc,mid+1,r,mid+1,R,val);
};
inline void Seg_suc(int x,int l,int r,int L,int R,int val){
    if(l==L&&r==R){ans=min(ans,Splay_Get_suc(x,val));return;}
    if(R<=mid)Seg_suc(lc,l,mid,L,R,val);
    else if(L>mid)Seg_suc(rc,mid+1,r,L,R,val);
    else Seg_suc(lc,l,mid,L,mid,val),Seg_suc(rc,mid+1,r,mid+1,R,val);
};
/*---------------------------------ask----------------------------------------*/
inline int Get_Kth(int x,int y,int k){
    int L=0,R=MX+1,M;
    while(L<R){
        M=(L+R)>>1;
        ans=0;Seg_rank(1,1,n,x,y,M);
        if(ans<k)L=M+1;else R=M;
    }return L-1;
};
/*-------------------------------main-------------------------------------*/
int main(int argc,char const* argv[]){
    IN(n),IN(m);
    for(RI i=1;i<=n;++i){IN(a[i]);Seg_Insert(1,1,n,i,a[i]);MX=max(MX,a[i]);}
    while(m--){
        int op,x,y,v;IN(op),IN(x),IN(y);
        switch(op){
            case 1:{IN(v);ans=0;Seg_rank(1,1,n,x,y,v);printf("%d\n",ans+1);}break;
            case 2:{IN(v);printf("%d\n",Get_Kth(x,y,v));}break;
            case 3:{Seg_change(1,1,n,x,y);}break;
            case 4:{IN(v);ans=-inf;Seg_pre(1,1,n,x,y,v);printf("%d\n",ans);}break;
            case 5:{IN(v);ans=inf;Seg_suc(1,1,n,x,y,v);printf("%d\n",ans);}break;
        }
    }return 0;
}

然后就是這道題，跟上面的那道題差不多，大家可以拿來練練手：

BZOJ3196: 1901 Dynamic Rankings

LUOGU P2617 Dynamic Rankings

不貼代碼了。

一道不錯的細節題：

LUOGU P3332 [ZJOI2013]K大數查詢


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