算法復雜度的評估以及常用函數的復雜度計算

一、評估算法復雜度

　　

　　舉例：

　　　　算法復雜度為O(n)：

　　　　　　

　　　　算法復雜度為O(n²)：

　　　　　　

　　　　算法復雜度為O(1+2+...+n) ---> O(n²)：

　　　　　　

　　　　算法復雜度為O(lgN):

 　　　　　　

　　　　算法復雜度為O(1):

　　　　　　高斯解決1+2+3+....+100的辦法 （1+100)*50  常數階算法

二、常見函數的復雜度計算

　　橫軸代表數據規模，縱軸代表所花時間，這個圖很重要，希望大家記住。

　　

　　

 　　直觀地看算法復雜度與處理規模與所花時間的關系  100000000次運算大概1秒

　　

　　所以在日常算法的設計中，需要盡量把算法復雜度優化到接近成O(lgN)。

三、順序查找與二分查找的性能對比

　　代碼： 

public class Contrast {

    public static void main(String[] args) {
        
        int []x = new int[10000*10000];
        for (int i = 0; i < x.length; i++) {
            x[i] = i+1;
        }
        
        int target = 10000*10000;
        
        long now = System.currentTimeMillis();  // 統計當前時間的方法
        int index = binarySearch(x, 0, x.length-1, target);
        System.out.println("二分查找所需時間:"+(System.currentTimeMillis()-now)+"ms");
        System.out.println(target+"所在位置為："+index);
        
        now = System.currentTimeMillis();
        index = search(x, target);
        System.out.println("順序查找所需時間:"+(System.currentTimeMillis()-now)+"ms");
    }
    
    /**
     * 二分查找  非遞歸
     * @param arr
     * @param low
     * @param high
     * @param key
     * @return
     */
    static int binarySearch(int arr[],int low,int high,int key){
        while(low<=high){
            int mid = low + ((high-low) >> 1);   //  (high+low) >>> 1  防止溢出，移位更加高效，同時，每次循環都需要更新
            int midVal = arr[mid];
            
            if (midVal<key) {
                low = mid +1;
            }else if (midVal>key) {
                high = mid - 1;
            }else {
                return mid;    // key found
            }
        }
        return -(low + 1);   // key not found
    }

    /**
     * 順序查找
     */
    static int search(int arr[],int key){
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            if (arr[i]==key) {
                return i;
            }
        }
        return -1;
    }
}

　　結果：

　　　　

　　結論：二分查找時間為0ms，時間幾乎可以忽略不計，可以發現這兩種查找算法的時間相差很大，所以O(lgn)與O(n)的性能差別很大，

四、基礎排序算法的性能對比

　　二的冪表

　　

　　冒泡、插入、選擇排序  這些排序算法的時間復雜度就是O(n²)

　　Arrays.sort() 采用的快速排序，時間復雜度是O(nlgn)  所以有時采用這個方法排序還比上面的排序算法好用。

四、遞歸算法的性能分析　

　　1、子問題的規模下降        T(n/2) 代表每一層丟一半     T(n-1)代表下降一層
　　2、子問題的答案的處理消耗的時間       每一層消耗的時間       O(1)代表每一層消耗常數時間        O(n)代表每一層消耗線性時間
　　寫出類似下面的式子。
　　T(n) = T(n-1) +O(1)