機器學習中的損失函數

着重介紹hige loss 和 softmax loss。

svm回顧

\(C_1,C_2\)是要區分的兩個類別，通過分類函數執行時得到的值與閾值的大小關系來決定類別歸屬，例如：

\[g(x) = g(w^Tx+b) \]

我們取閾值為0，此時\(f(x)=sgn[g(x)]\)就是最終的判別函數。對於同一個問題，有多個分類函數，哪一個更好呢？於是引入了“分類間隔”的指標

函數間隔和幾何間隔

給定樣本\((x_i, y_i)\)，函數間隔為:

\[\gamma_i=y_i*(w^Tx_i+b) \]

當\(y_i=1\)時，\(w^Tx_i+b\)應該是一個很大的正數，反之是一個大負數。因此函數間隔反映了模型的確定度。

考慮w和b，如果同時加倍w和b，函數間隔也會加倍，但這對於求解問題是無意義的。因此我們限制w和b，引入了歸一化條件，畢竟我們求解的唯一的一對w和b。

幾何距離：點A到垂足的單位方向向量BA為\(\frac{w}{||w||}\)，假設\(A=x_i\)，則\(B=x_i-\hat{\gamma}*\frac{w}{||w||}\)，帶入\(w^Tx+b=0\)得到：

\[\hat{\gamma} = \frac{w^Tx_i+b}{||w||} \]

\(\hat{\gamma}\)可以看出就是二維平面中，點到直線的距離，高維下便是點到平面的距離。考慮正反例：

\[\hat{\gamma} = y_i*\{\frac{w^Tx_i+b}{||w||}\} \]

當\(||w||=1\)時，幾何間隔也正是我們想要的歸一化函數間隔。歸一化也解釋了函數間隔的實際意義。

最優間隔分類器

我們的目標是找到一個超平面，使得里超平面較近的點能有更大的間距，也就是我們不必考慮所有的點，值關心離它最近的點能具有最大間距。

\[\max \gamma \\ s.t.\ y_i(w^Tx_i+b)>\gamma,i=1,...,m \\ ||w||=1 \]

然而這個目標函數仍然不是凸函數，我們把問題轉化一下，我們取\(\gamma=1\)，此時離超平面最近點的距離即為\(\frac{1}{||w||}\)，計算\(\frac{1}{||w||}\)的最大值相當於計算\(\frac{1}{2}||w||^2\)的最小值。（之所以采用這種形式，是為了方便后面的求解過程）

最終的優化方程如下：

\[\min \frac{1}{2} ||w||^2 \\ s.t.\ y_i(w^Tx_i+b)\geq1, i=i,...,m \]

只有線性約束，且是一個典型的二次規划問題。核函數、松弛變量等問題這里先不做涉及。

損失函數

模型的優化函數的通常形式如:

\[\theta^* = \arg \min_\theta \frac{1}{N}{}\sum_{i=1}^{N} L(y_i, f(x_i; \theta)) + \lambda\ \Phi(\theta) \]

前面是損失函數，后面是正則項。

常用的損失函數

• 鉸鏈損失(Hinge Loss)：主要用於支持向量機 SVM中；
• 交叉熵損失(Cross Entropy Loss/Softmax Loss)：用於邏輯回歸問題；
• 平方損失(Square Loss)：用於最小二乘問題；
• 指數損失(Exponential Loss)：主要用於Adaboost集成學習算法中；
• 其他特定場景有奇效的loss

Hinge Loss

損失函數是一個折線，函數表達式為：

\[L(x_i)=\max(0, 1-f(m_i,w)) \]

如果類別正確，損失為0，否則為\(1-f(m_i,w)\)。

在svm中，考慮松弛變量，優化函數為：

\[\underset{w,\zeta}{argmin} \frac{1}{2}||w||^2+ C\sum_i \zeta_i \\ st.\quad \forall y_iw^Tx_i \geq 1- \zeta_i \\ \zeta_i \geq 0 \]

約束進行變形得：\(\zeta_i \geq 1-y_iw^Tx_i\)

優化損失函數進一步可寫為：

\[\begin{aligned} J(w)&=\frac{1}{2}||w||^2 + C\sum_i max(0,1-y_iw^Tx_i) \\ &= \frac{1}{2}||w||^2 + C\sum_i max(0,1-m_i(w)) \\ &= \frac{1}{2}||w||^2 + C\sum_i L_{Hinge}(m_i) \end{aligned} \]

SVM的損失函數實質可看作是L2-norm和Hinge loss之和。

Softmax Loss

邏輯回歸問題要求：\(P(Y|X)\)盡可能的大，即最小化負的似然函數。

\[L=-log(P(Y|X)) \]

邏輯回歸的表達式為：

\[P(y=1|x;\theta) = h(x) \\ P(y=0|x;\theta) = 1-h(x) \]

\[p(y|x;\theta)=h(x)^y(1-h(x))^{(1-y)} \]

得：

\[L(\theta) = \prod_{i=1}^n{h(x)^y(1-h(x))^{(1-y)}} \]

最大log似然函數為：

\[\begin{split} \ell(\theta)&=log(L(\theta)) \\ &= \sum_{i=1}^m{ylog(h(x)) + (1-y)log(1-h(x))} \end{split} \]

上式也是最小化交叉熵。

Squares Loss

損失函數：

\[L(Y, f(X)) =\sum_{i=1} ^n (Y-f(X))^2 \]

Exponentially Loss

損失函數:

\[L(Y,f(X)) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \exp[-y_if(x_i)] \]

Adabooost 的目標式子就是指數損失，可以參考https://en.wikipedia.org/wiki/AdaBoost

假設數據集 \(\{(x_1, y_1), \ldots, (x_N, y_N)\}\)，\(x_i\)相應的標簽\(y_i \in \{-1, 1\}\), 已有的弱分類器組 \(\{k_1, \ldots, k_L\}\)，它們的輸出為 \(k_j(x_i) \in \{-1, 1\}\)。\(m-1\)次迭代后，得到boosted classifier:

\[C_{(m-1)}(x_i) = \alpha_1k_1(x_i) + \cdots + \alpha_{m-1}k_{m-1}(x_i) \]

第m次迭代后，我們添加了新的弱分類器：

\[C_{m}(x_i) = C_{(m-1)}(x_i) + \alpha_m k_m(x_i) \]

為了確定新的弱分類器及其權重，定義損失函數：

\[E = \sum_{i=1}^N e^{-y_i C_m(x_i)} \]

設\(w_i^{(1)} = 1\) , \(w_i^{(m)} = e^{-y_i C_{m-1}(x_i)}\) for \(m > 1\), 則:

\[E = \sum_{i=1}^N w_i^{(m)}e^{-y_i\alpha_m k_m(x_i)} \]

我們把數據分為兩部分： (\(y_i k_m(x_i) = 1\))\(k_m\) 分類器區分正確和 \(y_i k_m(x_i) = -1\) 分類錯誤:

\[E = \sum_{y_i = k_m(x_i)} w_i^{(m)}e^{-\alpha_m} + \sum_{y_i \neq k_m(x_i)} w_i^{(m)}e^{\alpha_m} \]

\[= \sum_{i=1}^N w_i^{(m)}e^{-\alpha_m} + \sum_{y_i \neq k_m(x_i)} w_i^{(m)}(e^{\alpha_m}-e^{-\alpha_m}) \]

因為只有右側項\(\sum_{y_i \neq k_m(x_i)} w_i^{(m)}\)依賴於\(k_m\)，我們最小化\(E\) 等價於最小化\(w_i^{(m)} = e^{-y_i C_{m-1}(x_i)}\)的權重。

計算\(\alpha_m\)，求導：

\[\frac{d E}{d \alpha_m} = \frac{d (\sum_{y_i = k_m(x_i)} w_i^{(m)}e^{-\alpha_m} + \sum_{y_i \neq k_m(x_i)} w_i^{(m)}e^{\alpha_m}) }{d \alpha_m} \]

\[\alpha_m = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{\sum_{y_i = k_m(x_i)} w_i^{(m)}}{\sum_{y_i \neq k_m(x_i)} w_i^{(m)}}\right) \]

弱分類器的加權錯誤率為\(\epsilon_m = \sum_{y_i \neq k_m(x_i)} w_i^{(m)} / \sum_{i=1}^N w_i^{(m)}\)

所以：

\[\alpha_m = \frac{1}{2}\ln\left( \frac{1 - \epsilon_m}{\epsilon_m}\right) \]