[CTF] RSA共模攻擊

from gmpy2 import *
import libnum n = 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 e1 = 17 e2 = 65537 s = gcdext(e1, e2) s1 = s[1] s2 = -s[2] c1 = libnum.s2n(open("./veryhardRSA/flag.enc1", 'rb').read()) c2 = libnum.s2n(open("./veryhardRSA/flag.enc2", 'rb').read()) c2 = invert(c2, n) m = (pow(c1,s1,n) * pow(c2 , s2 , n)) % n print libnum.n2s(m)

原理
引子
假設有一家公司COMPANY，在員工通信系統中用RSA加密消息。COMPANY首先生成了兩個大質數P,Q，取得PQ乘積N。並且以N為模數，生成多對不同的公鑰及其相應的私鑰。COMPANY將所有公鑰公開。而不同的員工獲得自己的私鑰，比如，員工A獲得了私鑰d1.員工B獲得了私鑰d2.

現在，COMPANY將一條相同的消息，同時經過所有公鑰加密，發送給所有員工。
此時，就可能出現共模攻擊。
共模攻擊
也稱同模攻擊，英文原名是 Common Modulus Attack 。
同模攻擊利用的大前提就是，RSA體系在生成密鑰的過程中使用了相同的模數n。
我們依然以上面的案例展開。
假設COMPANY用所有公鑰加密了同一條信息M，也就是

c1 = m^e1%n c2 = m^e2%n

此時員工A擁有密鑰d1他可以通過

m = c1^d1%n

解密得到消息m
同時員工B擁有密鑰d2
他可以通過

m = c2^d2%n

解密得到消息m
如果，此時有一個攻擊者，同時監聽了A和B接收到的密文c1,c2，因為模數不變，以及所有公鑰都是公開的，那么利用同模攻擊，他就可以在不知道d1，d2的情況下解密得到消息m。

又到了高數時間~
這里就是要論證，當n不變的情況下，知道n,e1,e2,c1,c2 可以在不知道d1,d2的情況下，解出m。
首先假設，e1，e2互質
即

gcd(e1,e2)=1

此時則有

e1*s1+e2*s2 = 1
式中，s1、s2皆為整數，但是一正一負。

通過擴展歐幾里德算法，我們可以得到該式子的一組解（s1,s2），假設s1為正數,s2為負數.
因為

c1 = m^e1%n
c2 = m^e2%n

所以

(c1^s1*c2^s2)%n = ((m^e1%n)^s1*(m^e2%n)^s2)%n

根據模運算性質，可以化簡為

(c1^s1*c2^s2)%n = ((m^e1)^s1*(m^e2)^s2)%n

即

(c1^s1*c2^s2)%n = (m^(e1^s1+e2^s2))%n

又前面提到

e1*s1+e2*s2 = 1

所以

(c1^s1*c2^s2)%n = (m^(1))%n
(c1^s1*c2^s2)%n = m^%n

即

c1^s1*c2^s2 = m

也就是證明了命題：當n不變的情況下，知道n,e1,e2,c1,c2 可以在不知道d1,d2情況下，解出m。
這里還有一個小問題，順帶說明下。
我們知道解出來s2是為負數。
而在數論模運算中，要求一個數的負數次冪，與常規方法並不一樣。
比如此處要求c2的s2次冪，就要先計算c2的模反元素c2r，然后求c2r的-s2次冪。

案例

n = 1022117
p = 1013
q = 1009
#936
fn = (p-1)*(q-1)
e = 17
d = 180017
m = int("h1".encode("hex"),16)
c1 = m**e%n
e1 = 5
d1 = 816077
c2 = m**e1%n
print n
print e
print e1
print c1
print c2

假設模數n固定為1022117，並且產生了（e,d）,(e1,d1)兩個密鑰對。
並且打印出m加密后的密文c1,c2.
求通過e,e1,c1,c2解出m來。
以下是一個可供利用的腳本

 

#coding=utf-8
def egcd(a, b):
  if a == 0:
    return (b, 0, 1)
  else:
    g, y, x = egcd(b % a, a)
    return (g, x - (b // a) * y, y)
def modinv(a, m):
  g, x, y = egcd(a, m)
  if g != 1:
    raise Exception('modular inverse does not exist')
  else:
    return x % m
def main():
  n = int(raw_input("input n:"))
  c1 = int(raw_input("input c1:"))
  c2 = int(raw_input("input c2:"))
  e1 = int(raw_input("input e1:"))
  e2 = int(raw_input("input e2:"))
  s = egcd(e1, e2)
  s1 = s[1]
  s2 = s[2]
  # 求模反元素
  if s1<0:
    s1 = - s1
    c1 = modinv(c1, n)
  elif s2<0:
    s2 = - s2
    c2 = modinv(c2, n)
  m = (c1**s1)*(c2**s2)%n
  print m
if __name__ == '__main__':
  main()