一、基本概念
在計算機科學中，分治法是一種很重要的算法。字面上的解釋是“分而治之”，就是把一個復雜的問題分成兩個或更多的相同或相似的子問題，再把子問題分成更小的子問題……直到最后子問題可以簡單的直接求解，原問題的解即子問題的解的合並。這個技巧是很多高效算法的基礎，如排序算法(快速排序，歸並排序)，傅立葉變換(快速傅立葉變換)……
任何一個可以用計算機求解的問題所需的計算時間都與其規模有關。問題的規模越小，越容易直接求解，解題所需的計算時間也越少。例如，對於n個元素的排序問題，當n=1時，不需任何計算。n=2時，只要作一次比較即可排好序。n=3時只要作3次比較即可，…。而當n較大時，問題就不那么容易處理了。要想直接解決一個規模較大的問題，有時是相當困難的。
二、基本思想及策略
分治法的設計思想是：將一個難以直接解決的大問題，分割成一些規模較小的相同問題，以便各個擊破，分而治之。
分治策略是：對於一個規模為n的問題，若該問題可以容易地解決（比如說規模n較小）則直接解決，否則將其分解為k個規模較小的子問題，這些子問題互相獨立且與原問題形式相同，遞歸地解這些子問題，然后將各子問題的解合並得到原問題的解。這種算法設計策略叫做分治法。
如果原問題可分割成k個子問題，1<k≤n，且這些子問題都可解並可利用這些子問題的解求出原問題的解，那么這種分治法就是可行的。由分治法產生的子問題往往是原問題的較小模式，這就為使用遞歸技術提供了方便。在這種情況下，反復應用分治手段，可以使子問題與原問題類型一致而其規模卻不斷縮小，最終使子問題縮小到很容易直接求出其解。這自然導致遞歸過程的產生。分治與遞歸像一對孿生兄弟，經常同時應用在算法設計之中，並由此產生許多高效算法。
三、分治法適用的情況
分治法所能解決的問題一般具有以下幾個特征：
1) 該問題的規模縮小到一定的程度就可以容易地解決
2) 該問題可以分解為若干個規模較小的相同問題，即該問題具有最優子結構性質。
3) 利用該問題分解出的子問題的解可以合並為該問題的解；
4) 該問題所分解出的各個子問題是相互獨立的，即子問題之間不包含公共的子子問題。
第一條特征是絕大多數問題都可以滿足的，因為問題的計算復雜性一般是隨着問題規模的增加而增加；
第二條特征是應用分治法的前提它也是大多數問題可以滿足的，此特征反映了遞歸思想的應用；、
第三條特征是關鍵，能否利用分治法完全取決於問題是否具有第三條特征，如果具備了第一條和第二條特征，而不具備第三條特征，則可以考慮用貪心法或動態規划法。
第四條特征涉及到分治法的效率，如果各子問題是不獨立的則分治法要做許多不必要的工作，重復地解公共的子問題，此時雖然可用分治法，但一般用動態規划法較好。
四、可使用分治法求解的一些經典問題
五、分治法的基本步驟
分治法在每一層遞歸上都有三個步驟：
step1 分解：將原問題分解為若干個規模較小，相互獨立，與原問題形式相同的子問題；
step2 解決：若子問題規模較小而容易被解決則直接解，否則遞歸地解各個子問題
step3 合並：將各個子問題的解合並為原問題的解。
它的一般的算法設計模式如下：
Divide-and-Conquer(P)
1. if |P|≤n0
2. then return(ADHOC(P))
3. 將P分解為較小的子問題 P1 ,P2 ,…,Pk
4. for i←1 to k
5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 遞歸解決Pi
6. T ← MERGE(y1,y2,…,yk) △ 合並子問題
7. return(T)
其中|P|表示問題P的規模；n0為一閾值，表示當問題P的規模不超過n0時，問題已容易直接解出，不必再繼續分解。ADHOC(P)是該分治法中的基本子算法，用於直接解小規模的問題P。因此，當P的規模不超過n0時直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,…,yk)是該分治法中的合並子算法，用於將P的子問題P1 ,P2 ,…,Pk的相應的解y1,y2,…,yk合並為P的解。
六、分治法的復雜性分析
一個分治法將規模為n的問題分成k個規模為n／m的子問題去解。設分解閥值n0=1，且adhoc解規模為1的問題耗費1個單位時間。再設將原問題分解為k個子問題以及用merge將k個子問題的解合並為原問題的解需用f(n)個單位時間。用T(n)表示該分治法解規模為|P|=n的問題所需的計算時間，則有：
T（n）= k T(n/m)+f(n)
通過迭代法求得方程的解
七、依據分治法設計程序時的思維過程
八、算法舉例
（1）二分查找
二分查找也是典型的分治算法的有應用。二分查找需要一個默認的前提，那就是查找的數列是有序的。
二分查找的思路比較簡單：
1） 選擇一個標志i將集合分為二個子集合
2） 判斷標志L(i)是否能與要查找的值des相等，相等則直接返回
3） 否則判斷L(i)與des的大小
4） 基於判斷的結果決定下步是向左查找還是向右查找
5） 遞歸記性上面的步驟
（2）輸油管道問題
解題思路
本題目可以分為兩個步驟：
1、找出主管道的位置；
2、根據主管道的位置，計算各個油井到主管道的長度之和。
根據題意，設主管道貫穿東西，與y 軸平行。而各個子油井則分布在主輸油管道的上下兩側。如下圖：
由上圖，其實只需要確定主管道的y 坐標，而與各個子油井的x 坐標無關！
根據猜測，易知：主管道的y 坐標就是所有子油井y 坐標的中位數。（可以用平面幾何知識證明，略）
求中位數的方法可以用排序后取a[(left+right)/2]，當然更推薦用書上的線性時間選擇算法解決。記求得的主管道為Ym，
最后要輸出的結果只需要計算,每個油井與中位數的差值之和。
#include <stdio.h> #include <stdlib.h>
void swap(int &a,int &b) { int tmp = a; a = b; b = tmp; } //(此處的划分就體現了分治的思想)本函數求arr[p:q]的一個划分i，使arr[p:i-1]都小於arr[i]，arr[i+1,q]都大於arr[i]
int partition(int *arr,int p,int q) { int index = p-1, start = p, base = arr[q]; for(;start<q;start++) { if(arr[start]<=base) { swap(arr[start],arr[++index]); } } swap(arr[++index],arr[q]);
return index; } //快速排序
void qsort (int *arr,int p ,int q) { if (p<=q) { int pos = partition(arr,p,q); qsort(arr,p,pos-1); qsort(arr,pos+1,q); } } int arr[1000]; int main() { int n; while(scanf("%d",&n)!=EOF){ for(int i=0;i<n;i++){ scanf("%d %d",&arr[i],&arr[i]); } qsort(arr,0,n-1); long long sum = 0; int mid = arr[n/2]; for(int i=0;i<n;i++){ sum+=abs(mid - arr[i]); } printf("%I64d\n",sum); } return 0; }
說明：類似的還有郵局選址問題：與之類似，這次是要找出在居民點中郵局的最佳位置。很容易想到，這次不僅要確定y的坐標，還要確定x的坐標。當然均為其對應坐標的中位數；最終的計算結果，要求距離之和，即向量模的計算方法加和即可。
（3）集合的划分
F（n,m）表示把n個元素的集合分為m個子集，有多少種分法？
n個元素的集合可以划為F（n,m）個不同的由m個非空子集組成的集合。
考慮3個元素的集合，可划分為：
① 1個子集的集合：{ {1，2，3} }
② 2個子集的集合：{{1，2} ，{3}} ， {{1，3}，{2}} ， {{2，3}，{1}}
③ 3個子集的集合：{{1}，{2}，{3}}
所以 F（3，1）=1
F（3，2）=3
F（3，3）=1
如果要求F（4，2）該怎么辦呢？
A.往①里添加一個元素 {4} ，得到{{1，2，3}，{4}}
B.往②里的任意一個子集添一個4，得到
{{1，2，4}，{3}} ， {{1，2}，{3，4}}
{{1，3，4}，{2}} ， {{1，3}，{2，4}}
{{2，3，4}，{1}} ， {{2，3}，{1，4}}
所以F（4，2） = F（3，1）+2*F（3，2） = 7
以此推廣得，F（n，m） = F （n-1，m-1）+ m * F（n-1，m）
#include <stdio.h> long long divide( int n,int m) { if (m==1 || m ==n){ return 1; }else{ return divide(n-1,m-1)+m*divide(n-1,m); } } int main(){ int n,m; while (scanf("%d%d",&n,&m) != EOF){ printf("%I64d\n",divide(n,m)); } return 0; }
（4）求復雜度為O（lg n）的X的 n 次冪
#include "stdio.h" #include "stdlib.h" int power(int x, int n) { int result; if(n == 1) return x; if( n % 2 == 0) result = power(x, n/2) * power(x, n / 2); else result = power(x, (n+1) / 2) * power(x, (n-1) / 2); return result; } int main() { int x = 5; int n = 3; printf("power(%d,%d) = %d \n",x, n, power(x, n)); }
（5）二路歸並排序
描述：
時間復雜度是O(NlogN)，空間復制度為O(N)（歸並排序的最大缺陷）
歸並排序（Merge Sort）完全遵循上述分治法三個步驟：
1、分解：將要排序的n個元素的序列分解成兩個具有n/2個元素的子序列；
2、解決：使用歸並排序分別遞歸地排序兩個子序列；
3、合並：合並兩個已排序的子序列，產生原問題的解。
數組代碼實現：
#include "stdio.h" #include "stdlib.h" #include "assert.h" #include "string.h" void print_arr(int *arr, int len) { int i = 0; for(i = 0; i < len; i ++) printf("%d ",arr[i]); printf("\n"); } void merge(int *arr, int low, int mid, int hight, int *tmp) { assert(arr && low >= 0 && low <= mid && mid <= hight); int i = low; int j = mid + 1; int index = 0; while(i <= mid && j <= hight) { if(arr[i] <= arr[j]) tmp[index++] = arr[i++]; else tmp[index++] = arr[j++]; } while(i <= mid) //拷貝剩下的左半部分 tmp[index++] = arr[i++]; while(j <= hight) //拷貝剩下的右半部分 tmp[index++] = arr[j++]; memcpy((void *)(arr + low), (void *)tmp, (hight - low + 1) * sizeof(int)); } void mergesort(int *arr, int low, int hight, int *tmp) { assert(arr && low >= 0); int mid; if(low < hight) { mid = (hight + low) >> 1; mergesort(arr, low, mid,tmp); mergesort(arr, mid + 1, hight,tmp); merge(arr, low, mid, hight,tmp); } } //只分配一次內存，避免內存操作開銷 void mergesort_drive(int *arr, int len) { int *tmp = (int *)malloc(len * sizeof(int)); if(!tmp) { printf("out of memory\n"); exit(0); } mergesort(arr, 0, len - 1, tmp); free(tmp); } int main() { int data[10]={8,7,2,6,9,10,3,4,5,1}; int len = sizeof(data)/sizeof(data[0]); mergesort_drive(data, len); print_arr(data,len); return 0; }
（6）整數划分問題
/* 整數划分問題 ：將一個整數划分為若干個數相加 例子： 整數4 最大加數 4 4=4 1+3=4 1+1+2=4 2+2=4 1+1+1+1=4 一共五種划分方案 注意：1+3=4，3+1=4被認為是同一種划分方案 */ #include<stdio.h> int q(int n,int m)//n表示需要划分的數字，m表示最大的加數不超過m { if(m==1||n==1)//只要存在一個為1，那么划分的方法數肯定只有一種，那就是n個1相加 { return 1; }else if(n==m&&n>1)//二者相等且大於1的時候，問題等價於：q(n,n-1)+1;意味着將最大加數減一之后n的划分數，然后加一，最后面那個一代表的是：0+n，這個划分的方案 { return q(n,n-1)+1; }else if(n<m)//如果m>n,那么令m=n就ok，因為最大加數在邏輯上不可能超過n { return q(n,n); }else if(n>m) { return q(n,m-1)+q(n-m,m);//分為兩種：划分方案沒有m的情況+划分方案有m的情況 } return 0; } int main() { printf("請輸入需要划分的數字和最大家數：\n"); int n,m; scanf("%d %d",&n,&m); int r=q(n,m); printf("%d\n",r); return 0; }
給你一個數，問你所有的划分方式，比如4，4=1+3，4=1+1+2，4=2+2，4=1+1+1+1
我們來分析一下，我們想用分治的話，就要找子問題，假設n是要划分的數，m說最大的加數，n=4，m=3
分解成兩類的子問題，一個是：一個是有m的情況，一個是沒有m的情況，然后將有m的情況繼續划分，分
解成有m-1和沒有m-1的情況，一直划分下去，直到m=1。比如n=4，m=3，划分成的子問題：有3，無
3，有2，無2，有1，無1（沒有意義，除非0+4=4），將這些子問題合並起來大問題就解決了。
九、總結
分治算法的一個核心在於子問題的規模大小是否接近，如果接近則算法效率較高。
分治算法和動態規划都是解決子問題，然后對解進行合並；但是分治算法是尋找遠小於原問題的子問題（因為對於計算機來說計算小數據的問題還是很快的），同時分治算法的效率並不一定好，而動態規划的效率取決於子問題的個數的多少，子問題的個數遠小於子問題的總數的情況下（也就是重復子問題多），算法才會很高效。