- HDU.5977.Garden of Eden(點分治)
- hihoCoder.1496.尋找最大值(高維前綴和)
- 北京八十中集訓 12.20 例一.Triple(思路 計數)
- 北京八十中集訓 12.20 例二.Manhattan(CDQ分治)
- Codeforces.150E.Freezing with Style(點分治 二分答案 單調隊列)
- HDU.5381.The sum of gcd(線段樹/莫隊 RMQ)
- Codeforces.17E.Palisection(Manacher/回文樹)
- 牛客練習賽38 E.出題人的數組(貪心)
- 牛客OI周賽7 提高組.C.小睿睿的方案(線段樹)
- CF.464E.The Classic Problem(可持久化線段樹 Hash)
- CF.1104D.Game with modulo(交互 二分)
- CF.1039D.You Are Given a Tree(根號分治)
- SRM577 Board Painting(最小割)
- SRM558 Surrounding Game(最小割)
- SRM590 Fox And City(最小割)
最新版會在這里更新。
HDU.5977.Garden of Eden(點分治)
\(Description\)
給定一棵\(n\)個點的樹，每個點有一個顏色，顏色一共有\(k\)種。求有多少條路徑包含\(k\)種顏色。
\(n\leq 10^5,\quad k\leq 10\)。
\(Solution\)
點分治。狀壓顏色。記\(cnt[s]\)表示狀態為\(s\)的路徑個數。
如果當前點狀態為\(s\)，那么就可以從\(s\)的補集以及\(s\)的補集的超集更新Ans。
但是這樣復雜度當然爆炸。所以直接令\(cnt[s]\)表示狀態為\(s\)及\(s\)的超集的路徑數。
每次合並一棵子樹的狀態時，枚舉子樹的狀態\(s_i\)，然后對於\(s_i\)的所有子集\(s'\)，\(cnt[s']\)++。
代碼見：https://www.cnblogs.com/WABoss/p/6036216.html。
還有用FWT做的社會人：https://www.cnblogs.com/Menhera/p/9514412.html， http://www.cnblogs.com/sclbgw7/p/9508235.html。
hihoCoder.1496.尋找最大值(高維前綴和)
\(Description\)
給定\(n\)個數\(a_i\)，你需要找到兩個數\(a_i,a_j\)，使得\(a_i*a_j*(a_i\&a_j)\)最大。輸出這個最大值。
\(n\leq 10^5,\quad 0\leq a_i<2^{20}\)。
\(Solution\)
考慮枚舉\(t=a_i\&a_j\)。那我們要對每個\(t\)求，滿足\(a_i\&a_j=t\)的\(a_i,a_j\)中，乘積最大的一對。
但是還是不好求啊。這個條件其實可以削弱，即我們對每個\(t\)，求\(t\)為\(a_i\&a_j\)的子集，乘積最大的一對\(a_i,a_j\)。顯然不會丟失最優解。
\(t\)為\(a_i\&a_j\)的子集，即\(t\)同時為\(a_i,a_j\)的子集。那么枚舉\(t\)的超集，求最大的兩個數做\(a_i,a_j\)就可以了。
可以用高維前綴和求，也可以對每個\(a_i\)直接枚舉子集。是復雜度有差別吧？前者是\(O(2^kk)\)，后者是\(O(n\log a_i)\)。
北京八十中集訓 12.20 例一.Triple(思路 計數)
\(Description\)
\(Solution\)
需要\(O(n^2)\)解決。可以令\(Two[v]\)表示\(a_j+a_k=v,\ i-D<j\leq k<i\)的二元組\((j,k)\)的個數，\(One[v]\)表示\(a_j=v,\ i-D<j<i\)的\(j\)的個數，那么\(Ans_i=\sum_jOne[a_i-a_j]+Two[a_i-2a_j]+[3a_j=a_i]\)？
顯然會有重復。每個\(One\)會被計算三次，所以給后兩項帶一個權值，讓每個\(Triple\)恰好被計算三次，就可以直接去重了。
北京八十中集訓 12.20 例二.Manhattan(CDQ分治)
\(Description\)
\(Solution\)
Codeforces.150E.Freezing with Style(點分治 二分答案 單調隊列)
\(Description\)
\(Solution\)
二分答案\(mid\)，然后點分治（當然點分治過程中二分答案更好些）。
對於以每個點為根的子樹，求是否存在邊數\(len\)在\([L,R]\)之間且至少存在\(\frac{len}{2}\)條邊權\(\geq mid\)的路徑。
把邊權\(\geq mid\)的邊的權值設為\(1\)，\(<mid\)的設為\(-1\)，對於每種邊數只需維護權值最大的路徑即可。顯然可以單調隊列維護。但注意要先將子樹按最大深度從小到大排序以保證復雜度。
復雜度\(O(n\log^2n)\)。
HDU.5381.The sum of gcd(線段樹/莫隊 RMQ)
\(Description\)
給定長為\(n\)的序列\(a_i\)。\(q\)次詢問，每次給定\(l,r\)，求\(\sum_{i=l}^r\sum_{j=i}^r\gcd(a_i,a_{i+1},...,a_j)\)。
\(n,q\leq10^4,\ a_i\leq10^9\)。
\(Solution\)
莫隊 RMQ：
把要求和的區間畫出來。每次移動區間左右端點的時候，觀察改變的會有什么。
假如原先區間是\([4,6]\)，現在左端點移動到\(3\)，當前答案會加上 \(3,3\;\;3,4\;\;3,5\;\;3,6\)的\(\gcd\)。也就是固定\(l\)，往右求\(\gcd\)一直到\(r\)。
因為固定一個左端點\(l\)，\(a[l...n]\)這個后綴中的\(\gcd\)只有\(\log\)種，所以可以枚舉\(g=\gcd\)，假設\(g\)出現在區間\([l,\ r']\)，然后跳到\(r'\)那里去，再從\(r'\)跳到下一個\(\gcd\)的位置，直到到達\(r\)為止。
這個過程中可以累加答案，復雜度是\(\log\)的
從每個位置開始的第幾個\(\gcd\)出現在哪，還要RMQ+二分預處理一下。總復雜度\(O(n\log^2n+n\sqrt{n}\log n)\)。
當然能想起Magic GCD這道題，預處理可以用單調棧，雖然復雜度還是\(n\log^2n\)的但顯然常數小許多。
線段樹：
同樣把要求和的區間畫出來，就很明顯了。
比如設當前區間為\([3,6]\)（左端點為\(3\)右端點為\(6\)），要求的區間有：
\(3,3\;\;3,4\;\;3,5\;\;3,6\\\;\;\;\;\;\;\;4,4\;\;4,5\;\;4,6\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ \ \ \,5,5\;\;5,6\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ \ \ \ \ 6,6\\\)
以列為下標（上面分別是\(3,4,5,6\)），當詢問左端點\(l=3\)，右端點為\(r\)時，答案就是區間\([3,r]\)的和。
而每次向左移動\(l\)，會在上面增加一行。而以\(a[l...n]\)中\(\gcd\)只有\(\log\)種，可以暴力算出這\(\log\)種\(\gcd\)以及它們對應出現的區間（還是同Magic GCD這道題），然后就可以直接區間加。
所以就是，把詢問離線，按左端點從右往左處理。
復雜度\(O(n\log^2n)\)。
Codeforces.17E.Palisection(Manacher/回文樹)
\(Description\)
給定一個字符串\(s\)。求\(s\)有多少對回文子串，滿足這兩對回文子串在\(s\)中的位置有交集。
\(|s|\leq2\times10^6\)。
\(Solution\)
記回文子串總數為\(sum\)，那\(Ans=C_{sum}^2-\text{沒有交集的回文子串對數}\)。
而沒有交集的回文子串對數，就是\(\sum_{i=1}^{n-1}\text{以i結尾的回文串數}*\text{i后邊的回文串數}\)。
以\(i\)結尾的回文串數\(cnt_i\)可以直接回文樹，或是Manacher+差分求。\(i\)后邊的回文串數就是\(\sum_{j=i+1}^ncnt'_j\)。把串反過來求一遍\(cnt_i\)的后綴和就可以了。
因為\(|s|\)是\(2e6\)，回文樹要用邊表存轉移。
牛客練習賽38 E.出題人的數組(貪心)
\(Description\)
給定兩個長為\(n,m\)的序列\(A_i,B_i\)。你需要把兩個序列拼成長\(n+m\)的序列\(C_i\)，要求原本同在\(A_i\)或\(B_i\)序列中的數在\(C_i\)中的相對順序不變。求最小的\(\sum\limits_{i=1}^{n+m}i*C_i\)。
\(n,m\leq10^5\)。
\(Solution\)
先把整個\(A\)序列放在\(B\)前面。然后我們每次要找\(B\)的一個前綴扔到\(A\)里面去，且位置不能超過上一次放的那個前綴的位置。
假設選的\(B\)的前綴長度為\(x\)，和為\(s_1\)，放的位置離\(A\)的末尾距離為\(y\)，這一段和為\(s_2\)。
那么當\(y*s_1>x*s_2\)時，這么做會優。移一下項就是\(B\)這段前綴的平均值更大。
而選的這段\(B\)的前綴應該是平均值盡量大的。
同時\(C\)序列最后是一段\(A\)+一段\(B\)+一段\(A\)+一段\(B\)...要讓這些段的平均值遞減。
所以我們就先把\(A,B\)分成一些平均值遞減的段，最后按平均值大小歸並就可以了。。
牛客OI周賽7 提高組.C.小睿睿的方案(線段樹)
\(Description\)
給定一棵樹及\(m\)條路徑。求有多少條路徑滿足不完全包含這\(m\)條路徑中的任意一條。
\(n,m\leq10^5\)。
\(Solution\)
考慮求不合法的路徑數。發現這些路徑都是一個點在一段DFS序連續的區間中，另一個點在另一段DFS序連續的區間中。掃描線+矩陣求交即可。
復雜度\(O(n\log n)\)。
CF.464E.The Classic Problem(可持久化線段樹 Hash)
\(Description\)
給定一張\(n\)個點\(m\)條邊的無向圖，邊權都是形如\(2^{x_i}\)的形式（\(0\leq x_i\leq 10^5\)）。給定\(s,t\)，求\(s\)到\(t\)的最短路。
\(n,m\leq10^5\)。
\(Solution\)
考慮如何改進\(Dijkstra\)使得能做這道題。我們把\(dis\)數組用線段樹存成\(2^{a_1}+2^{a_2}...\)的形式。
判斷\(dis\)時，可以像字符串\(Hash\)一樣，從高到低位在線段樹上二分，找到第一個不同的位置，判斷上面的大小關系。\(Hash\)可以直接用題目給的\(seed=2,\ mod=10^9+7\)，當然最好還是自己再寫個。
每次枚舉一條邊修改\(dis\)時，一個暴力的想法是，每次只改一位，就可持久化一下，在對應位置\(+1\)，如果產生進位就暴力再在下一個位置\(+1\)。
這樣復雜度是不對的，可以卡成\(O(nm\log w)\)（然而網上都是這種辦法...出題人竟然數據造水了，ssfd）。
官方題解的做法是，初始建兩棵全\(0\)和全\(1\)的線段樹，進位時可以直接替換節點，這樣復雜度就是真的\(O((n+m)\log w)\)了。
事實上那種錯誤的做法有人在Tutorial的comments里提到過，他也意識到是錯的了。
CF.1104D.Game with modulo(交互 二分)
\(Description\)
要求在\(60\)次詢問內猜出一個數\(a\ (1\leq a\leq10^9)\)。每次你可以詢問\((x,y)\ (0\leq x,y\leq10^9)\)，交互庫會返回以下兩個字符之一：
x，如果\((x\bmod a)\geq(y\bmod a)\)。y，如果\((x\bmod a)<(y\bmod a)\)
\(Solution\)
考慮詢問\((x,2x)\)（\(x\bmod a\)和\(2x\bmod a\)），如果\(2x<a\)，顯然結果是y；\(x>a\)，不好考慮；\(x=a\)，結果是x；\(x<a\leq2x\)，結果是x。（為什么此時一定有\(x\bmod a<2x\bmod a\)呢...令\(2x=a+b=x+x\)，因為\(x<a\)，所以\(x>b\)。。）。
綜上，如果我們依次詢問\((0,1),(1,2),...,(2^{29},2^{30})\)，我們可以找到一個\((2^k,2^{k+1})\)，滿足\(2^k<a\leq2^{k+1}\)。這需要\(30\)次二分（最后一次不需要）。記這兩個邊界為\(l,r\)，即\(l<a\leq r\)。
考慮在\([l+1,r]\)中二分答案\(x\)。如果\(x<a\)，顯然有\(l\bmod a<x\bmod a\)；如果\(x\geq a\)，同樣考慮拿\(l\)詢問，有\(l\bmod a>x\bmod a\)（還是令\(x=a+b\)，如果\(b\geq l\)，那么\(x>r\)顯然不對）。
這樣需要二分\(29\)次，那么就OK啦。
為啥都寫的那么簡潔啊...還是我太菜...
CF.1039D.You Are Given a Tree(根號分治)
\(Description\)
給定一棵\(n\)個點的樹。求最多可以選出多少條不相交的路徑，滿足這些路徑含有\(k\)個點。對\(k\in[1,n]\)輸出答案。
\(n\leq10^5\)。
\(Solution\)
暴力是\(O(n^2)\)的，即對於每個\(k\)，\(O(n)\ DFS\)一遍，能合並出一條\(k\)個點的路徑就合並，否則向上。這樣貪心顯然是對的（\(NOIP\)...）。
注意到答案是隨\(k\)增加遞減的，且\(k>\sqrt n\)時，答案的取值只有\([0,\sqrt n-1]\)這\(\sqrt n\)種，我們可以二分每個值是\(k\)的哪個區間的答案。
需要做\(\sqrt n\)次，每次復雜度\(O(n\log n)\)，總復雜度是\(O(n\sqrt n\log n)\)的。
\(k\leq\sqrt n\)時，可以對每個\(k\)暴力，復雜度\(O(n\sqrt n)\)。
發現兩部分的復雜度並不均衡，\(k\leq T\)時復雜度是\(O(Tn)\)，另一部分是\(O(\frac{n^2\log n}{T})\)，所以取\(T=\sqrt{n\log n}\)時最優。
官方題解里有\(O(n\log^2n)\)的做法...（據作者本人說）很不好寫...
SRM577 Board Painting(最小割)
具體看這里叭，先不細整理惹。https://www.cnblogs.com/jefflyy/p/9679504.html
初始ans=總點數，每有一對點相鄰，就可以減少1的花費，這樣先算出一個答案。
然后把不合法的去掉。網絡流每跑出1的流量，就表示有一對相鄰的數不合法。這就是求割。要最小化去掉相鄰點對的數量，使得方案合法。
SRM558 Surrounding Game(最小割)
神啊qwq。https://www.cnblogs.com/Blog-of-Eden/p/7783406.html
SRM590 Fox And City(最小割)
類似切糕的拆點qwq。https://www.cnblogs.com/zbtrs/p/8608842.html