判斷對錯
1．由計算機存儲和操作的信息稱為數據。
2．由於浮點數是非常准確的，所以通常應該使用它們，而不是int。
3．像加法和減法這樣的操作在mAth庫中定義。
4．n 項的可能排列的數目等於 n！。
5．sqrt函數計算數字的噴射（squirt）。
6．floAt數據類型與實數的數學概念相同。
7．計算機使用二進制表示數字。
8．硬件floAt可以表示比硬件int更大范圍的值。
9．在獲取數字作為用戶輸入時，類型轉換函數（如floAt）是evAl的安全替代。
10．在 Python 中，4 + 5 產生與 4.0 + 5.0 相同的結果類型。
解答
1 T 2 F（p.36 “由於浮點值不精確，而 int 總是精確的，所以一般的經驗 法則應該是：如果不需要小數值，就用 int”） 3 F（見 p.37 “表 3.1 Python 內置的數值操作”） 4 T 5 F（p.41 “該程序使用了 mAth 庫模塊的平方根函數 sqrt”） 6 F（p.36 “int 和 floAt 之間的另一個區別是，floAt 類型只能表示對實數的近似”） 7 T 8 T 9 T 10 F（p.38 “結果的數據類型取決於操作數的類型”）
多項選擇
1．下列________________項不是內置的 Python 數據類型。
A．int
B．float
C．rational
D．string
2．以下________________項不是內置操作。
A．+
B．%
C．abs()
D．sqrt()
3．為了使用 math 庫中的函數，程序必須包括________________。
A．注釋
B ．循環
C．操作符
D ．import 語句
4．4！的值是________________。
A．9
B．24
C．41
D．120
5．用於存儲π的值，合適的數據類型是________________。
A．int
B．float
C．irrational
D．string
6．可以使用 5 位比特表示的不同值的數量是________________。
A．5
B．10
C．32
D．50
7．在包含 int 和 float 的混合類型表達式中，Python 會進行的轉換是________________。
A．浮點數到整數
B．整數到字符串
C．浮點數和整數到字符串
D．整數到浮點數
8．下列________________項不是 Python 類型轉換函數。
A．float
B．round
C．int
D．abs
9．用於計算階乘的模式是________________。
A．累積器
B．輸入、處理、輸出
C．計數循環
D．格子
10． ________________。
A．導致溢出
B．轉換為 float
C．打破計算機
D．使用更多的內存
解答
1 C（Python 使用 fractions 庫中的 Fraction 函數來表示有理數，其實就是用分數來表示有理數🙂） 2 D（sqrt() 函數是 math 庫中的函數） 3 D 4 B（4！= 4 × 3 × 2 × 1 = 24） 5 B 6 C（1 位比特可以表示兩個不同的值，5 位比特可以表示 2^5 = 32 個不同的值） 7 D（p.38 “在“混合類型表達式”中，Python 會自動將int 轉換為浮點數，並執行浮點運算以產生浮點數結果。”） 8 D（abs() 函數返回實數的絕對值或負數的模） 9 A 10 D
討論
1．顯示每個表達式求值的結果。確保該值以正確的形式表示其類型（int 或float）。如果表達式是非法的，請解釋為什么。
a. 7.4 b. 5.0 c. 8 d. 表達式非法（p.42 “sqrt 函數無法計算負數的平方根。Python 打印“math domain error”。這告訴我們，負數不在sqrt 函數的定義域中”。若要計算負數的平方根，請使用 cmath.sqrt ） e. 11 f. 27（3 ** 3 相當於 pow(3, 3)，見 pow 。注意與 math.pow 的不同之處）
2．將以下每個數學表達式轉換為等效的Python 表達式。你可以假定math 庫已導入（通過import math）。
a. (3 + 4) * 5 b. n * (n - 1) / 2 c. 4 * math.pi * r ** 2 d. math.sqrt(r * (math.cos(a)) ** 2 + r * (math.sin(b)) ** 2) e. (y2 - y1) / (x2 - x1)
3．顯示將由以下每個 range 表達式生成的數字序列。
a．range(5) b．range(3, 10) c．range(4, 13, 3) d．range(15, 5, -2) e．range(5, 3)
Tips: range 類型表示一個不可變的數字序列，在 range(start, stop[, step]) 中，如果省略了 step 參數，則其默認為 1；如果省略 start 參數，則其默認為 0；如果 step 參數為 0，則會引發 ValueError
a. [0, 1, 2, 3, 4] b. [3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] c. [3, 6, 9, 12] d. [15, 13, 11, 9, 7] e. []（省略了 step 參數，且 start 小於 stop，生成一個空的數字序列）
4．顯示以下每個程序片段產生的輸出。
a. 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 b. 1 : 1 3 : 27 5 : 125 7 : 343 9 : 729 9 c. 012 212 412 612 812 done d. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 385
5．如果使用負數作為 round 函數中的第二個參數，你認為會發生什么？例如，round(314.159265, -1) 的結果應該是什么？請解釋答案的理由。在你寫下答案后，請參閱 Python 文檔或嘗試一些例子，看看Python 在這種情況下實際上做了什么。
310.0（參閱 round() 函數）
1 n = 314.159265 2 s = str(n) 3 l = s.split('.') 4 for i in range(-len(l[0]), len(l[1]) + 1): 5 print('round({0}, {1}) = {2}'.format(n, i, round(n, i))) 6 # Output: 7 # round(314.159265, -3) = 0.0 8 # round(314.159265, -2) = 300.0 9 # round(314.159265, -1) = 310.0 10 # round(314.159265, 0) = 314.0 11 # round(314.159265, 1) = 314.2 ① 12 # round(314.159265, 2) = 314.16 13 # round(314.159265, 3) = 314.159 14 # round(314.159265, 4) = 314.1593 15 # round(314.159265, 5) = 314.15927 ③ 16 # round(314.159265, 6) = 314.159265 17 18 for i in range(-2, 3): 19 print('round(0.5, {0}) = {1}'.format(i, round(0.5, i))) 20 # Output: 21 # round(0.5, -2) = 0.0 22 # round(0.5, -1) = 0.0 23 # round(0.5, 0) = 0.0 ② 24 # round(0.5, 1) = 0.5 25 # round(0.5, 2) = 0.5
Tips: 根據 Python 3.5 的文檔，round() 函數並不是簡單地四舍五入取整，“For the built-in types supporting round(), values are rounded to the closest multiple of 10 to the power minus ndigits; if two multiples are equally close, rounding is done toward the even choice (so, for example, both round(0.5) and round(-0.5) are 0, and round(1.5) is 2”，即如果值距離兩邊的整數的距離相等，則向相鄰的偶數取整（具體見結論 6）。.
結論： round 函數用於對浮點數進行四舍五入求值，具體保留幾位小數，由傳入的 ndigits 參數來控制 ndigits 是可選參數，當不傳入時，即以默認保留 0 位小數進行取整，返回的是整數 ndigits 傳入 0 時，與不傳入時一樣以保留 0 位小數進行取整，但返回的是浮點數 ndigits 傳入正數時，取整到 ndigits 位小數，整數部分不變，返回的是浮點數。如果傳入的浮點數的小數部分的位數小於 ndigits 位，則返回原來的數 ndigits 傳入負數時，對整數部分的后 abs(ndigits) 位進行取整（ 例如：ndigits 為 -3，則對整數部分的后 3 位進行取整），小數部分清 0，返回的是浮點數。如果 ndigits 的絕對值大於傳入的浮點數的整數部分的位數，則返回 0.0 當值距離兩邊的整數的距離相等時的取整方法，根據官方文檔，Python 2.x 與 Python 3.x 的具體實現是不同的，這里只討論 Python 3.x 的情況。這里需要提到一種取整方法，Banker’s rounding 算法（銀行家舍入法）。簡單地說就是，如果舍棄部分左邊的數字為奇數，則向上取整（如 ①）；如果舍棄部分左邊的數字為偶數，則向下取整（如 ②）（參考鏈接） （浮點運算的一個問題）查看 ③ 的結果，按照上面的規則，round(314.159265, 5) 應該等於 314.15926 才對，可是答案卻不符合我們的預期。這不是一個 Bug，這跟浮點數的精度有關。在計算機中浮點數不一定能精確表達，導致在計算機中保存的 314.15926 比其真實值要大一點點，因此取整時就近似為了 314.15927（參考鏈接）
6．當整數除法或余數運算的操作數為負數時，你認為會發生什么？考慮以下每種情況並嘗試預測結果。然后在 Python 中試試。（提示：回顧一下神奇的公式 a = (a // b)(b) + (a % b)。）
a．−10 // 3 b．−10 % 3 c．10 // −3 d．10 % −3 e．−10 // −3
>>> -10 // 3 -4 >>> -10 % 3 2 >>> 10 // -3 -4 >>> 10 % -3 -2 >>> -10 // -3 3
1、首先要知道一點，取余結果的符號與 % 第二操作數的符號相同，且 0 <= abs(a % b) < abs(b)。a % b 實質上是 a 加上或者減去整數個 b，使得結果落在區間 [0, b - 1](b > 0) 或 [b + 1, 0](b < 0)，那么得到的結果就是 a % b
2、先求 b. ，在表達式 -10 % 3 中，3 大於 0，所以結果的范圍是 [0, 2]，由 -10 + 4 * (3) = 2 得 -10 % 3 = 2；再求 a. ，根據神奇的公式 a = (a // b)(b) + (a % b)，可以得出 -10 // 3 = -4
3、先求 d. ，在表達式 10 % -3 中，-3 小於 0，所以結果的范圍是 [-2, 0]，由 10 + 4 * (-3) = -2 得 10 % -3 = -2；再求 c. ，可得 10 // -3 = -4
4、對於 e. 也是一樣，代入神奇的公式 a = (a // b)(b) + (a % b) 有 -10 = (-10 // -3)(-3) + (-10 % -3)，由於 (-10 % -3) 的值為負且在區間 [-2, 0] 內，-10 // -3 只能為 3
編程練習
1．編寫一個程序，利用球體的半徑作為輸入，計算體積和表面積。以下是一些可能有用的公式：
1 # A program to calculate the volume and 2 # surface area of a sphere from its radius, given as input 3 import math 4 def main(): 5 radius = float(input("radius: ")) 6 volume = 4 / 3 * math.pi * radius ** 3 7 area = 4 * math.pi * radius ** 2 8 print("volume: {0}\nsurface area: {1}".format(volume, area)) 9 10 main()
2．給定圓形比薩餅的直徑和價格，編寫一個程序，計算每平方英寸的成本。面積公式為
1 # A program to calculate the cost per square inch of 2 # a circular pizze, given its diameter and price 3 import math 4 def main(): 5 diameter = float(input("diameter(in inches): ")) 6 price = float(input("price (in cents): ")) 7 area = math.pi * (diameter / 2) ** 2 8 cost = price / area 9 print("The cost is", cost, "cents per square inch.") 10 11 main()
3．編寫一個程序，該程序基於分子中的氫、碳和氧原子的數量計算碳水化合物的分子量（以克/摩爾計）。程序應提示用戶輸入氫原子的數量、碳原子的數量和氧原子的數量。然后程序基於這些單獨的原子量打印所有原子的總組合分子量。
例如，水（H2O）的分子量為2（1.00794）+ 15.9994 = 18.01528。
1 # A program to compute the molecular weight of a hydrocarbon 2 import math 3 def main(): 4 hydrogen_atoms = float(input("Please enter the number of hydrogen atomes: ")) 5 carbon_atoms = float(input("Please enter the number of carbon atomes: ")) 6 oxygen_atoms = float(input("Please enter the number of oxygen atomes: ")) 7 8 molar_mass = dict({"H": 1.00794, "C": 12.0107, "O": 15.9994}) 9 molecular_weight = hydrogen_atoms * molar_mass["H"] + carbon_atoms * molar_mass["C"] \ 10 + oxygen_atoms * molar_mass["O"] 11 print("The molecular weight of all the atoms is", molecular_weight) 12 13 main()
4．編寫一個程序，根據閃光和雷聲之間的時間差來確定雷擊的距離。聲速約為1100 英尺/秒，1 英里為 5280 英尺。
1 # A program to calculate the distance to a lightning strike 2 def main(): 3 seconds = float(input("Enter number of seconds between flash and crash: ")) 4 feet = 1100 * seconds 5 miles = feet / 5280.0 6 print("The lightning is approximately", miles, "miles away.") 7 8 main()
5．Konditorei 咖啡店售賣咖啡，每磅 10.50 美元加上運費。每份訂單的運費為每磅 0.86 美元 + 固定成本 1.50 美元。編寫計算訂單費用的程序。
1 # A program that calculates the cost of an order 2 def main(): 3 account = float(input("How many pounds of coffee do you want? ")) 4 coffee_cost = pounds * 10.5 5 shipping = pounds * 0.86 + 1.50 6 print("Cost of coffee:", coffee_cost) 7 print("Shipping: ", shipping) 8 print("-------------------------------") 9 print("Total due: ", coffee_cost + shipping) 10 11 main()
6．使用坐標（x1，y1）和（x2，y2）指定平面中的兩個點。編寫一個程序，計算通過用戶輸入的兩個（非垂直）點的直線的斜率。
1 # A program to calculate the slope of a line through 2 # two (non-vertical) points entered by the user 3 def main(): 4 x1 = float(input("Enter the x for the first point: ")) 5 y1 = float(input("Enter the y for the first point: ")) 6 x2 = float(input("Enter the x for the second point: ")) 7 y2 = float(input("Enter the y for the second point: ")) 8 slope = (y2 - y1) / (x2 - x1) 9 print("The slope of the line is", slope) 10 11 main()
7．編寫一個程序，接受兩點（見上一個問題），並確定它們之間的距離。
1 # A program to calculate the distance between 2 # two points entered by the user 3 import math 4 def main(): 5 x1 = float(input("Enter the x for the first point: ")) 6 y1 = float(input("Enter the y for the first point: ")) 7 x2 = float(input("Enter the x for the second point: ")) 8 y2 = float(input("Enter the y for the second point: ")) 9 distance = math.sqrt((x2 - x1) ** 2 + (y2 - y1) ** 2) 10 print("The distance between the points is", distance) 11 12 main()
8．格里高利閏余是從 1 月1 日到前一個新月的天數。此值用於確定復活節的日期。它由下列公式計算（使用整型算術）：
C=year//100
epact=(8+(C//4)−C+((8C+13)//25)+11(year%19))%30
編寫程序，提示用戶輸入4 位數年份，然后輸出閏余的值。
1 # A program to figure out the Gregorian epact value of year 2 import math 3 def main(): 4 year = int(input("Enter the year (e.g. 2020): ")) 5 C = year // 100 6 epact = (8 + (C//4) - C + ((8 * C + 13) // 25) + 11 * (year % 19)) % 30 7 print("The epact value is", epact, "days.") 8 9 main()
關於如何確定復活節的日期的參考鏈接： http://www.madore.org/~david/misc/calendar.html) https://www.dateofeaster.com/
9．使用以下公式編寫程序以計算三角形的面積，其三邊的長度為 a、b 和 c：
1 # A program to calcualte the area of a triangle given 2 # the length of its three sides--a, b, and c 3 import math 4 def main(): 5 a= float(input("Please enter the length of side a: ")) 6 b= float(input("Please enter the length of side b: ")) 7 c= float(input("Please enter the length of side c: ")) 8 s = (a + b + c) / 2 9 A = math.sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c)) 10 print("The area of the triangle is", A) 11 12 main()
10．編寫程序，確定梯子斜靠在房子上時，達到給定高度所需的長度。梯子的高度和角度作為輸入。計算長度使用公式為：
注意：角度必須以弧度表示。提示輸入以度為單位的角度，並使用以下公式進行轉換：
1 # A program to determine the length of a ladder required 2 # to reach a given height when leaned against a house 3 import math 4 def main(): 5 height = float(input("height: ")) 6 degrees = float(input("angle(in degrees): ")) 7 radians = math.pi / 180 * angle 8 length = height / math.sin(radians) 9 print("length:", length) 10 11 main()
angle 是梯子與地面的夾角
11．編程計算前 n 個自然數的和，其中 n 的值由用戶提供。
1 # A program to find the sum of the first n natural numbers 2 def main(): 3 n = int(input("Please enter the value of n: ")) 4 s = 0 5 for i in range(1, n + 1): 6 s += i 7 # s = n * (n + 1) // 2 8 print("The sum from i to", n, "is", s) 9 10 main()
12．編程計算前 n 個自然數的立方和，其中 n 的值由用戶提供。
1 # A program to find the sum of the cubes of the first n natural numbers 2 def main(): 3 n = int(input("Please enter the value of n: ")) 4 s = 0 5 for i in range(1, n + 1): 6 s += i ** 3 7 # s = (n * (n + 1) // 2) ** 2 8 print("The sum of cubes of 1 through", n, "is", s) 9 10 main()
13．編程對用戶輸入的一系列數字求和。 程序應該首先提示用戶有多少數字要求和，然后依次提示用戶輸入每個數字，並在輸入所有數字后打印出總和。（提示：在循環體中使用輸入語句。）
1 # A program to sum a series of numbers entered by the user 2 def main(): 3 n = int(input("How many numbers are to be summed? ")) 4 s = 0 5 for i in range(1, n + 1): 6 each = float(input("Please enter a number: ")) 7 s += each 8 print("The sum of the numbers is", s) 9 10 main()
14．編程計算用戶輸入的一系列數字的平均值。與前面的問題一樣，程序會首先詢問用戶有多少個數字。注意：平均值應該始終為 float，即使用戶輸入都是 int。
1 # A program to find the average of a series of numbers entered by the user 2 def main(): 3 n = int(input("How many numbers are to be calculated? ")) 4 s = 0 5 for i in range(1, n + 1): 6 each = float(input("Please enter a number")) 7 s += each 8 avg = s / n 9 print("The average is", avg) 10 11 main()
15．編寫程序，通過對這個級數的項進行求和來求近似的 π 值：4/1 – 4/3 + 4/5 – 4/7 + 4/9 − 4/11 + …… 程序應該提示用戶輸入 n，要求和的項數，然后輸出該級數的前n 個項的和。讓你的程序從math.pi 的值中減去近似值，看看它的准確性。
1 # A program to approximate the value of pi by summing the terms 2 # of this series: 4/1 - 4/3 + 4/5 = 4/7 + 4/9 - 4/11 + ... 3 import math 4 def main(): 5 estimate = 0 6 n = int(input("Please enter the number of terms to sum: ")) 7 for k in range(1, n + 1): 8 estimate += (-1) ** (k + 1) * 4 / (2 * k - 1) 9 error = abs(math.pi - estimate) 10 print("""The approximation of pi is {0}, which is {1} 11 away from the value of math.pi({2})""".format(estimate, error, math.pi)) 12 13 main() 14 # Output: 15 # Please enter the number of terms to sum: 10000000 16 # The approximation of pi is 3.1415925535897915, which is 1.0000000161269895e-07 17 # away from the value of math.pi(3.141592653589793)
萊布尼茲恆等式：
看起來很帥，但是，該級數收斂起來非常慢。
16．斐波那契序列是數字序列，其中每個連續數字是前兩個數字的和。經典的斐波那契序列開始於 1，1，2，3，5，8，13，……。編寫計算第n 個斐波納契數的程序，其中 n 是用戶輸入的值。例如，如果 n = 6，則結果為 8。
1 # A program to compute the nth Fibonacci number where n is a value input by the user 2 def fibonacci(n): 3 if n <= 0: 4 raise ValueError("n must be positive") 5 elif n < 2: 6 return n 7 fib_n_minus_one = 1 8 fib_n_minus_two = 0 9 fib_n = 0 10 for _ in range(2, n + 1): 11 fib_n = fib_n_minus_one + fib_n_minus_two 12 fib_n_minus_two = fib_n_minus_one 13 fib_n_minus_one = fib_n 14 return fib_n 15 16 def main(): 17 n = int(input("n = ")) 18 fib_n = fibonacci(n) 19 print("The {0}th Fibonacci number is {1}".format(n, fib_n)) 20 21 main()
17．你已經看到 math 庫包含了一個計算數字平方根的函數。在本練習中，你將編寫自己的算法來計算平方根。解決這個問題的一種方法是使用猜測和檢查。你首先猜測平方根可能是什么，然后看看你的猜測是多么接近。你可以使用此信息進行另一個猜測，並繼續猜測，直到找到平方根（或其近似）。一個特別好的猜測方法是使用牛頓法。假設 x 是我們希望的根，guess 是當前猜測的答案。猜測可以通過使用計算下一個猜測來改進：
編程實現牛頓方法。程序應提示用戶找到值的平方根（x）和改進猜測的次數。從猜測值 x / 2 開始，你的程序應該循環指定的次數，應用牛頓的方法，並報告猜測的最終值。你還應該從 math.sqrt(x) 的值中減去你的估計值，以顯示它的接近程度。
1 # A program to implement Newton's method 2 import math 3 def main(): 4 x = float(input("Please enter the number we want the root of: ")) 5 times = int(input("Please enter the number of times to loop: ")) 6 guess = x / 2 7 for _ in range(times): 8 guess = (guess + x / guess) / 2 9 root = math.sqrt(x) 10 error = abs(root - guess) 11 print("The final value of guess is {0}, which is {1} away from {2}".format(\ 12 guess, error, root)) 13 14 main()