大小比較

前言

高中數學中涉及大小比較的數學素材和知識點，大小比較是高中數學中比較常見的一種題型，在不等式、函數、定積分，以及構造函數中，都會見到其影子，現對其進行整理，以便於學習。

理論依據

• 利用作差法或作商法比較大小；比較代數式大小，判斷數列的單調性；

• 利用單調性比較大小；

常見類型

• 1、利用不等式性質，對代數式大小比較，

作差法或作商法，常用變形：平方做差法、取對數做差法等

例1 【代數式】若\(P=\sqrt{a+2}+\sqrt{a+5}\)，\(Q=\sqrt{a+3}+\sqrt{a+4}(a\ge 0)\)，比較\(P、Q\)的大小。

分析：由於\(a\ge 0\)，\(P > 0\)，\(Q > 0\)，

則有\(Q^2-P^2=2a+7+2\sqrt{a^2+7a+12}-(2a+7+2\sqrt{a^2+7a+10})\)

\(=2(\sqrt{a^2+7a+12}- \sqrt{a^2+7a+10}) > 0\)，所以\(Q^2 > P^2\)，則\(Q > P\)。

例2 試比較\(16^{18}\)和\(18^{16}\)的大小關系；

法1：作商法，\(\cfrac{16^{18}}{18^{16}}=(\cfrac{16}{18})^{16}\cdot 16^2=(\cfrac{8}{9})^{16}\cdot 2^8\)

\(=(\cfrac{64}{81})^{8}\cdot 2^8=(\cfrac{128}{81})^{8}>1\)，故\(16^{18}>18^{16}\)；

法2：取對數作差法，\(lg16^{18}-lg18^{16}=18lg16-16lg18\)

\(=72lg2-16(lg2+2lg3)=56lg2-32lg3>0\)，故\(16^{18}>18^{16}\)；

• 2、利用具體函數的單調性進行大小比較，常用變形；

涉及函數有二次函數，指數函數，對數函數，冪函數，三角函數，此時大多只涉及一類函數，

例3 【冪函數】 冪函數的圖像經過點\((\cfrac{1}{2}，\cfrac{\sqrt{2}}{2})\)，若\(0< a < b < 1\)，試比較\(f(a)、f(b)、f(1)、f(\cfrac{1}{a})、f(\cfrac{1}{b})\)的大小。

分析：設冪函數解析式為\(y=x^{\alpha}\)，由 冪函數的圖像經過點\((\cfrac{1}{2}，\cfrac{\sqrt{2}}{2})\)，

則\((\cfrac{1}{2})^{\alpha}=\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)，即\(2^{-\alpha}=2^{-\frac{1}{2}}\)，故\(\alpha=\cfrac{1}{2}\)，故冪函數為\(y=x^{\frac{1}{2}}\)，

則其在定義域\([0，+\infty)\)上單調遞增。又由於\(0 < a < b < 1\)，則可知\(\cfrac{1}{a}>\cfrac{1}{b}>1\)，

即\(0 < a < b < 1 <\cfrac{1}{b} < \cfrac{1}{a}\)，故有\(f(a) < f(b) < f(1) < f(\cfrac{1}{b}) < f(\cfrac{1}{a})\)。

例4 【指數函數】設\(y_1=4^{0.7}\)，\(y_2=8^{0.45}\)，\(y_3=(\cfrac{1}{2})^{-1.5}\)，比較\(y_1，y_2，y_3\)的大小。

分析：\(y_1=4^{0.7}=2^{1.4}\)，\(y_2=8^{0.45}=2^{1.35}\)，\(y_3=(\cfrac{1}{2})^{-1.5}=2^{1.5}\)，

又\(y=2^x\)在\(R\)上單調遞增，故\(y_2 < y_1 < y_3\)；

例5 【冪、指數函數】設\(a=(\cfrac{3}{5})^{\frac{2}{5}}\)，\(b=(\cfrac{2}{5})^{\frac{3}{5}}\)，\(c=(\cfrac{2}{5})^{\frac{2}{5}}\)，試比較\(a、b、c\)的大小。

分析：比較\(a、c\)，利用冪函數\(y=x^{\cfrac{2}{5}}\)，在\((0，+\infty)\)上單調遞增，故\(a > c\)；

比較\(b、c\)，利用指數函數\(y=(\cfrac{2}{5})^x\)，在\((-\infty，+\infty)\)上單調遞減，故\(c > b\)；

故有\(a > c > b\)。

例5+1 【三角函數】設\(a=\cfrac{1}{2}cos2^{\circ}-\cfrac{\sqrt{3}}{2}sin2^{\circ}\)，\(b=\cfrac{2tan14^{\circ}}{1-tan^214^{\circ}}\)，\(c=\sqrt{\frac{1-50^{\circ}}{2}}\)，則有【】

$A.a < c < b$ $B.a < b < c$ $C.b < c < a$ $D.c < a < b$

分析：由題目可知，\(a=sin(30^{\circ}-2^{\circ})=sin28^{\circ}\)，\(b=tan28^{\circ}\)，\(c=sin25^{\circ}\)，則\(c<a<b\)，故選\(D\)；

• 3、利用代數式的取值范圍進行大小比較，此時涉及多個函數的單調性和值域問題；

涉及函數有二次函數，指數函數，對數函數，冪函數，三角函數，

例6 設\(a=log_{\frac{1}{2}}2\)，\(b=ln\frac{\pi}{2}\)，\(c=2^{\frac{1}{\pi}}\)，試比較\(a、b、c\)的大小。

分析：\(a=log_{\frac{1}{2}}2 < 0\)，\(0< b=ln\frac{\pi}{2} < 1\)，\(c=2^{\frac{1}{\pi}} >1\)，

故有\(a < b < c\)。

例7 若\(x\in (e^{-1}，1)\)，\(a=lnx\)，\(b=(\cfrac{1}{2})^{lnx}\)，\(c=e^{lnx}\)，則其大小關系為__________。

分析：借助賦值法，令\(x=\cfrac{1}{2}\)，則可知\(b=(\cfrac{1}{2})^{lnx}>1\)，\(a=lnx<0\)，\(c=e^{lnx}=\cfrac{1}{2}\)，故大小關系為\(b>c>a\)；

• 4、利用賦值法比較大小

例7 【2019屆高三理科數學三輪模擬試題】若\(0<a<b<1\)，則\(a^b\)，\(b^a\)，\(log_ba\)，\(log_ab\)的大小關系為【】

$A.a^b > b^a > log_ba > log_{\frac{1}{a}} b$ $B.b^a > a^b > log_{\frac{1}{a}} b> log_ba $

$C.log_ba > a^b > b^a >log_{\frac{1}{a}} b$ $D.log_ba > b^a > a^b >log_{\frac{1}{a}} b$

法1：賦值法，令\(a=\cfrac{1}{4}\)，\(b=\cfrac{1}{2}\)，計算比較得到， \(log_ba > b^a > a^b >log_{\frac{1}{a}} b\)，故選\(D\).

法2：不等式性質法，由於\(0<a<b<1\)，則\(1>b^a>a^a>a^b>0\)，\(log_ba>log_bb=1\)，

又由於\(0<a<1\)，則\(\cfrac{1}{a}>1\)，則\(log_{\frac{1}{a}} b<0\)，

綜上， \(log_ba > b^a > a^b >log_{\frac{1}{a}} b\)，故選\(D\).

• 5、利用中間參量進行大小比較；

涉及函數有二次函數，指數函數，對數函數，冪函數，三角函數，此時只是單純的一類函數，中間參量常常取\(0\)，\(1\)等這些簡單而特殊的值。

例7 大小比較：\(log_34\)和\(log_45\)；

法1：由於\(log_34=log_3(3\times \cfrac{4}{3})=1+log_3 \cfrac{4}{3}\)，\(log_45=log_4(4\times \cfrac{5}{4})=1+log_4\cfrac{5}{4}\)，

因為底數都大於1，所以都是增函數，\(\cfrac{4}{3}>\cfrac{5}{4}\)，

則\(log_3\cfrac{4}{3}>log_3\cfrac{5}{4}\)，\(log_3\cfrac{5}{4}>log_4\cfrac{5}{4}\)，

所以\(log_3\cfrac{4}{3}>log_4\cfrac{5}{4}\)，即\(log_34>log_45\)；

法2：取\(\cfrac{5}{4}\)為中間量，

\(log_34-\cfrac{5}{4}=\cfrac{lg4}{lg3}-\cfrac{5}{4}\)

\(=\cfrac{4lg4-5lg3}{4lg3}=\cfrac{lg\cfrac{4^4}{3^5}}{4lg3}>0\)，

即\(log_34>\cfrac{5}{4}\)

\(log_45-\cfrac{5}{4}=\cfrac{lg5}{lg4}-\cfrac{5}{4}\)

\(=\cfrac{4lg5-5lg4}{4lg4}=\cfrac{lg\cfrac{5^4}{4^5}}{4lg4}<0\)，

即\(log_45<\cfrac{5}{4}\)，

即\(log_34>log_45\)；

• 6、利用形進行大小比較；

可能會涉及圖形的面積、體積、或長度、角度等，

例8 【定積分比較大小】若\(s_1=\displaystyle\int_{1}^{2}x^2\;dx\)，\(s_2=\displaystyle\int_{1}^{2}\cfrac{1}{x}\;dx\)，\(s_3=\displaystyle\int_{1}^{2}e^x\;dx\)，則\(S_1，S_2，S_3\)的大小關系如何？

法1：從數的角度，計算定積分的大小，從而比較大小，過程略。\(S_2 < S_1 < S_3\)。

法2：從形的角度，利用定積分的幾何意義，借助圖形的面積直觀比較大小。\(S_2 < S_1 < S_3\)。

高階拔高

• 7、構造函數進行大小比較；

涉及構造函數，大難點，抽象函數的具體函數，

例10 【2017•渭南模擬】已知定義域為R的奇函數\(y=f(x)\)的導函數為\(y=f'(x)\)，當\(x> 0\)時，\(f'(x)+\cfrac{f(x)}{x}>0\)，若\(a=\cfrac{1}{3}f(\cfrac{1}{3})，b=-3f(-3)，c=(ln\cfrac{1}{3})f(ln\cfrac{1}{3})\)，則\(a，b，c\)的大小關系正確的是　 【 】

$A.a < b < c$ $B.a < c < b$ $C.b < c < a$ $D.c < a < b$

分析：當\(x> 0\)時，\(f'(x)+\cfrac{f(x)}{x}>0\)，即\(xf'(x)+f(x)>0\)，

故構造函數\(g(x)=x\cdot f(x)\)，由於\(y=f(x)\)與\(y=x\)都是奇函數，則函數\(g(x)\)為偶函數，

當\(x >0\)時，\(g'(x)=f(x)+xf'(x) >0\)，即函數\(g(x)\)在\([0，+\infty)\)上單調遞增，

由偶函數可知，函數\(g(x)\)在\((-\infty，0]\)上單調遞減。

而\(a=\cfrac{1}{3}f(\cfrac{1}{3})=g(\cfrac{1}{3})\)，

\(b=-3f(-3)=g(-3)=g(3)\)，

\(c=(ln\cfrac{1}{3})f(ln\cfrac{1}{3})=g(ln\cfrac{1}{3})=g(-ln3)=g(ln3)\)，

又\(\cfrac{1}{3} < ln3 < 3\)，故\(g(\cfrac{1}{3}) < g(ln3) < g(3)\)，即\(a < c < b\)，故選B.

例11 【構造函數+大小比較】【2017\(\cdot\)河南平頂山一模】已知\(f(x)\)是定義在\((0，+\infty)\)上的函數，對任意兩個不相等的正數\(x_1，x_2\)，都有\(\cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1-x_2}>0\)，記\(a=\cfrac{f(3^{0.2})}{3^{0.2}}\)，\(b=\cfrac{f(0.3^2)}{0.3^2}\)，\(c=\cfrac{f(log_25)}{log_25}\)，則【】

$A.a < b < c$ $B.b < a < c$ $C.c < a < b$ $D.c < b < a$

分析：注意到\(a，b，c\)的結構，由題目猜想：要構造的函數是\(g(x)=\cfrac{f(x)}{x}\)，

那么是否正確，以下做以驗證。

令\(0< x_1< x_2\)，則由單調性定義的等價形式可得，

\(\cfrac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2}=\cfrac{\cfrac{f(x_1)}{x_1}-\cfrac{f(x_2)}{x_2}}{x_1-x_2}=\cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1x_2(x_1-x_2)}\)

由題目，對任意兩個不相等的正數\(x_1，x_2\)，都有\(\cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1-x_2} >0\)，

則可知\(\cfrac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2} >0\)，即函數\(g(x)=\cfrac{f(x)}{x}\)是單調遞增的，

故題目需要我們比較\(g(3^{0.2})\)，\(g(0.3^2)\)，\(g(log_25)\)這三個的大小關系，

只需要比較自變量的大小就可以了；

由於\(1=3^0 < 3^{0.2} < 3^{0.5}=\sqrt{3} <2\)，\(0 < 0.3^2=0.09 <1\)，\(log_25 > log_24=2\)，

故\(g(0.3^2) < g(3^{0.2}) < g(log_25)\)，即\(b < a < c\)。故選\(B\).

需要記憶

下述結論中的結論2和結論3，在函數與導數的高階考察中常常會作為變形的基礎，故需要認真理解記憶。

結論1 【三角函數比較大小】三角函數章節中的重要不等式：\(\theta\in (0，\cfrac{\pi}{2})\)時，\(sin\theta < \theta < tan\theta\)。

【證法1】：三角函數線法，如圖所示為單位圓，則\(sin\theta=MP\)，\(tan\theta=AT\)，\(\overset{\frown}{AP}=\theta\cdot 1=\theta\)

由圖可知，\(S_{\Delta OAP} < S_{扇形 OAP} < S_{\Delta OAT}\)

即\(\cfrac{1}{2}\cdot |OA|\cdot MP < \cfrac{1}{2}\cdot \theta \cdot |OA| <\cfrac{1}{2}\cdot |OA|\cdot AT\)

則有\(MP < \theta < AT\)，即\(sin\theta < \theta < tan\theta\)。

故\(\theta\in (0，\cfrac{\pi}{2})\)時，\(sin\theta < \theta < tan\theta\)。

【證法2】：構造函數法，如令\(g(x)=sinx-x\)，\(x\in (0，\cfrac{\pi}{2})\)，

則\(g'(x)=cosx-1\leq 0\)恆成立，故\(g(x)\)在\(x\in (0，\cfrac{\pi}{2})\)上單調遞減，

故\(g(x) < g(0)=0\)，即\(sinx < x\)，同理可證\(x < tanx\)，

故\(\theta\in (0，\cfrac{\pi}{2})\)時，\(sin\theta < \theta < tan\theta\)。

結論2 \(e^x>x+1(x\neq 0)\)

證明思路：【法1】數形結合法，令\(f(x)=e^x\)，\(g(x)=x+1\)，在同一個坐標系中作出這兩個函數的圖像，

由圖像可知，當\(x\neq 0\)時，都滿足關系\(e^x>x+1\)。

補充：至於函數\(f(x)=e^x\)和函數\(g(x)=x+1\)為什么會相切與點\((0，1)\)，

我們可以用導數方法來解答。

【法2】作差構造函數法，令\(h(x)=e^x-x-1\)，則\(h'(x)=e^x-1\) ，

當\(x<0\)時，\(h'(x)<0\)；當\(x>0\)時，\(h'(x)>0\)；

即函數\(h(x)\)在\((-\infty，0)\)上單調遞減，在\((0，+\infty)\)上單調遞增，

故函數\(h(x)_{min}=h(0)=0\)，故\(h(x)\ge 0\)，當且僅當\(x=0\)時取到等號，

故\(x\neq 0\)時，總有\(h(x)>0\)，即\(e^x>x+1\)。

結論3 \(lnx\leq x-1(x>0)\)

證明思路：【法1】數形結合法，令\(f(x)=lnx\)，\(g(x)=x-1\)，

在同一個坐標系中作出這兩個函數的圖像，

由圖像可知，當\(x> 0\)時，都滿足關系\(lnx\leq x-1\)。

【法2】：作差構造函數法，令\(h(x)=lnx-x+1(x>0)\)，則\(h'(x)=\cfrac{1}{x}-1\)，

當\(0<x<1\)時，\(h'(x)>0\)；當\(x>1\)時，\(h'(x)<0\)；

即函數\(h(x)\)在\((0，1)\)上單調遞增，在\((1，+\infty)\)上單調遞減，

故函數\(h(x)_{max}=h(1)=0\)，故\(h(x)\leq 0\)，當且僅當\(x=1\)時取到等號，

故\(x> 0\)時，總有\(h(x)\leq 0\)，即\(lnx\leq >x-1\)。

【法3】利用反函數法，此法主要基於\(e^x\ge x+1\)的結論，

由於函數\(y=e^x\)以及函數\(y=x+1\)關於直線\(y=x\)的對稱函數

分別是\(y=lnx\)和函數\(y=x-1\)，故得到\(lnx\leq x-1\)。

【法4】：利用代數變換，由\(e^x\ge x+1\)，兩邊取自然對數得到\(lne^x\ge ln(x+1)\)，

即\(x\ge ln(x+1)\)，再用\(x-1\)替換\(x\)，得到\(x-1\ge lnx\)，即\(lnx\leq x-1\)。

典例剖析

例9 【2017全國卷1理科第11題】已知\(2^x=3^y=5^z\)，比較\(2x、3y、5z\)的大小；

分析：令\(2^x=3^y=5^z=k\)，則\(x=log_2k=\cfrac{lgk}{lg2}\)，\(y=log_3k=\cfrac{lgk}{lg3}\)，\(z=log_5k=\cfrac{lgk}{lg5}\)，

故\(2x=\cfrac{2lgk}{lg2}=\cfrac{lgk}{\cfrac{1}{2}lg2}=\cfrac{lgk}{lg\sqrt{2}}\)，

\(3y=\cfrac{3lgk}{lg3}=\cfrac{lgk}{\cfrac{1}{3}lg3}=\cfrac{lgk}{lg\sqrt[3]{3}}\)，

\(5z=\cfrac{5lgk}{lg5}=\cfrac{lgk}{\cfrac{1}{5}lg5}=\cfrac{lgk}{lg\sqrt[5]{5}}\)，接下來，

法1：(單調性法)轉化為只需要比較\(\sqrt[2]{2}\)，\(\sqrt[3]{3}\)，\(\sqrt[5]{5}\)三者的大小即可。

先比較\(\sqrt[2]{2}\)，\(\sqrt[3]{3}\)，給兩個式子同時6次方，

得到\((\sqrt[2]{2})^6=2^3=8\)，\((\sqrt[3]{3})^6=3^2=9\)，

故\(\sqrt[2]{2}<\sqrt[3]{3}\)，則\(\cfrac{lgk}{lg\sqrt[2]{2}}>\cfrac{lgk}{lg\sqrt[3]{3}}\)，

即得到\(2x>3y\)

再比較\(\sqrt[2]{2}\)，\(\sqrt[5]{5}\)，給兩個式子同時10次方，

得到\((\sqrt[2]{2})^{10}=2^5=32\)，\((\sqrt[5]{5})^{10}=5^2=25\)，

故\(\sqrt[2]{2}>\sqrt[5]{5}\)，則\(\cfrac{lgk}{lg\sqrt[2]{2}}<\cfrac{lgk}{lg\sqrt[3]{3}}\)，

即得到\(5z>2x\)，綜上得到\(3y<2x<5z\)

法2：(作差法)

\(2x-3y=\cfrac{2lgt}{lg2}-\cfrac{3lgt}{lg3}=\cfrac{lgt(2lg3-3lg3)}{lg2lg3}=\cfrac{lgt(lg9-lg8)}{lg2lg3}>0\)，

故\(2x>3y\);

\(2x-5z=\cfrac{2lgt}{lg2}-\cfrac{5lgt}{lg5}=\cfrac{lgt(2lg5-5lg2)}{lg2lg5}=\cfrac{lgt(lg25-lg32)}{lg2lg5}<0\)

故\(2x<5z\);

綜上有\(3y<2x<5z\)。

法3：(作商法)

\(\cfrac{2x}{3y}=\cfrac{2}{3}\cdot \cfrac{lg3}{lg2}=\cfrac{lg9}{lg8}=log_89>1\)，故\(2x>3y\)；

\(\cfrac{5z}{2x}=\cfrac{5}{2}\cdot \cfrac{lg2}{lg5}=\cfrac{lg2^5}{lg5^2}=log_{25}32>1\)，

故\(5z>2x\)；故\(3y<2x<5z\)。素材鏈接