【2018沈陽現場賽k】Let the Flames Begin

題意

有n個人圍成一圈，編號1到n，從1號開始報數，每報到第k個，此人出列，下一個人再從1開始報數，求第m個出列的人的編號(n,m,k ≤ 1e18, m,k其中一個小於1e6)

分析

我們知道，約瑟夫環的出隊是有O(n)的遞推算法的：f(n) = (f(n-1)+k-1)%n 約瑟夫環數學推導

但是這里是最后一個出列的人的情況（n個人第n個出列）

考慮一下n個人第m個出列，設狀態為f(n,m),我們可以假設在m個人中再插上n-m個人，他們都比前m個人晚出隊（具體放在哪里不用關心，只要認為他們一定不會先出隊就行了），那么遞推式就和剛剛的雷同 f(n,m) = (f(n-1,m-1)+k-1)%n,這個式子可以在o(m)的時間內求出答案，適用於m≤1e6的情況

那么當m在1e18的范圍內，該怎么辦呢？

觀察當前遞推式，每次都是+k，當超過n的范圍時，進行取模運算，可以發現，當k<<n時，在很多次遞推操作中都是不需要取模的，而是只有+k操作，那么我們其實可以吧加法轉化成乘法來加速

令add = n-m，考慮當前為f(x+add,x)執行t次后需要取模：

f(x+add+t,x+t) = (f(x+add,x) + (t*k)-1)%(x+add+t)+1

為什么這里的模數在一直變化，還可以這么干呢？因為模數每次只增加1,而f每次增加k,所以當k>1的時候，一定會越來越接近模數，直到超過它，當k=1的時候特判就好

計算t值：

一下簡寫f(x+add,x)為f

f + (t*k)-1 ≥ x+add+t

解得 t ≥ (x+add-f+1) / (k-1)

從這里也可以看出k=1是需要特判的

解出最小t，更新狀態 x = x + t

這個復雜度我也不會算了，但感覺不會太大

代碼

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,m,k;
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    int _,ca=0;cin>>_;
    while(_--) {
        cin>>n>>m>>k; 
        ll ans = (k-1)%(n-m+1)+1;
        if(k==1) ans = m;
        else if(k >= m) {
            for(ll i=2;i<=m;i++) 
                ans = (ans + k -1)%(i+n-m)+1;
        }
        else {
            ll now = 1;ll a = n-m;
            while(now < m) {
                ll d = (ll)ceil((now + a - ans)*1.0/(k-1));
                if(d == 0) d++;
                if(now+d >= m) {   d = m-now;}
                now +=d;ll mod = (now+a);
                ans = (ans + k*d%mod-1+mod)%mod+1;
            }
        }
        cout<<"Case #"<<++ca<<": "<<ans<<endl;
    }
}