隱馬爾可夫模型（HMM）及Viterbi算法

HMM簡介

  對於算法愛好者來說，隱馬爾可夫模型的大名那是如雷貫耳。那么，這個模型到底長什么樣？具體的原理又是什么呢？有什么具體的應用場景呢？本文將會解答這些疑惑。
  本文將通過具體形象的例子來引入該模型，並深入探究隱馬爾可夫模型及Viterbi算法，希望能對大家有所啟發。
  隱馬爾可夫模型（HMM，hidden Markov model）是可用於標注問題的統計學模型，描述由隱藏的馬爾可夫鏈隨機生成觀測序列的過程，屬於生成模型。HMM模型在實際的生活和生產中有着廣泛的應用，包括語音識別，自然語言處理，生物信息，模式識別等領域。

引入

  某天，你的女神告訴你說，她放假三天，將要去上海游玩，准備去歡樂谷、迪士尼和外灘（不一定三個都會去）。
  她呢，會選擇在這三個地方中的某幾個逗留並決定是否購物，而且每天只待在一個地方。根據你對她的了解，知道她去哪個地方，僅取決於她去的上一個地方，且是否購物的概率僅取決於她去的地方。已知她去的三個地方的轉移概率表如下：

	歡樂谷	迪士尼	外灘
歡樂谷	0.8	0.05	0.15
迪士尼	0.2	0.6	0.3
外灘	0.2	0.3	0.5

稍微對這個表格做些說明，比如第一行，前一天去了歡樂谷后，第二天還待在歡樂谷的概率為0.8，去迪士尼的概率為0.05，去外灘的概率為0.15。
  她在每個地方的購物概率為：

地點	購物概率
歡樂谷	0.1
迪士尼	0.8
外灘	0.3

  在出發的時候，她跟你說去每個地方的可能性相同。后來，放假回來后，你看了她的朋友圈，發現她的購物情況如下：第一天不購物，第二三天都購物了。於是，你很好奇，她這三天都去了哪些地方。
  怎么樣，聰明的你能求解出來嗎？

HMM的模型參數

  接下來，我們將會介紹隱馬爾可夫模型（HMM）。
  隱馬爾可夫模型是關於時序的概率模型，描述由一個隱藏的馬爾可夫鏈隨機生成不可觀測的狀態隨機序列，再由各個狀態生成一個觀測而產生觀測隨機序列的過程。隱藏的馬爾可夫鏈隨機生成的狀態的序列，稱為狀態序列；每個狀態生成一個觀測，而由此產生的觀測的隨機序列，稱為觀測序列。序列的每一個位置又可以看作是一個時刻。
  隱馬爾可夫模型由初始概率分布、狀態轉移概率分布以及觀測概率分布確定。隱馬爾可夫模型的形式定義如下：
  設Q是所有可能的狀態的集合，V是所有可能的觀測的集合，也就是說，Q是不可見的，而V是可見的，是我們觀測到的可能結果。

\[q=\{q_1,q_2,...,q_N\}, V=\{v_1,v_2,...,v_M\} \]

其中，N是可能的狀態數，M是可能的觀測數。
  在剛才的例子中，\(Q\)是不可見的狀態集合，應為\(Q=\{歡樂谷，迪士尼，外灘\}\)，而\(V\)是可以觀測的集合，應為\(V=\{購物，不購物\}\)。
  I是長度為T的狀態序列，O是對應的觀測序列。

\[I=(i_1,i_2,...,i_T), O=(o_1,o_2,...,o_T) \]

在剛才的例子中，\(I\)這個序列是我們需要求解的，即女生去了哪些地方，而\(O\)是你知道的序列，\(O=\{不購物，購物，購物\}\)。
  A是狀態轉移概率矩陣：

\[A=[a_{ij}]_{N\times N} \]

其中，\(a_{ij}=P(i_{t+1}=q_j|i_{t}=q_{i}), i=1,2,...,N; j=1,2,..,N\)是在時刻t處於狀態\(q_i\)的條件下在時刻t+1轉移到狀態\(q_j\)的概率。在剛才的例子中，轉移概率矩陣為：

\[A= \begin{bmatrix} {0.8}&{0.05}&{0.15}\\ {0.6}&{0.6}&{0.2}\\ {0.2}&{0.3}&{0.5}\\ \end{bmatrix} \]

  B是觀測概率矩陣：

\[B=[b_{j}(k)]_{N\times M} \]

其中，\(b_{j}(k)=P(o_t = v_{k}|i_{t}=q_{j}), k=1,2,...,M; j=1,2,...,N\)是在時刻t處於狀態\(q_{j}\)的條件下生成觀測\(v_{k}\)的概率。在剛才的例子中：

\[B= \begin{bmatrix} {0.1}&{0.9}\\ {0.8}&{0.2}\\ {0.3}&{0.7}\\ \end{bmatrix} \]

  \(\pi\)是初始狀態概率向量\(\pi=(\pi_i)\),其中\(\pi_i = P(i_1 = q_i), i=1,2,...,N\)是時刻t=1處於狀態\(q_{j}\)的概率。在剛才的例子中， \(\pi = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}).\)
  綜上，我們已經講完HMM中的基本概念。同時，我們可以知道，隱馬爾可夫模型由初始狀態概率向量\(\pi\)，狀態轉移概率矩陣\(A\)和觀測概率矩陣\(B\)決定。\(\pi\)和\(A\)決定狀態序列，\(B\)決定觀測序列。因此，隱馬爾可夫模型\(\lambda\)可用三元符號表示，即

\[\lambda = (A, B, \pi) \]

\(A,B,\pi\)稱為HMM的三要素。
  當然，隱馬爾可夫模型之所以被稱為馬爾可夫模型，是因為它使用了兩個基本的假設，其中之一為馬爾可夫假設。它們分別是：

1. 齊次馬爾科夫假設，即假設隱藏的馬爾可夫鏈在任意時刻t的狀態只依賴於其前一時刻的狀態，與其他時刻的狀態及觀測無關，也與時刻t無關。

\[P(i_{i}|i_{t-1},o_{t-1},...,i_1,o_1)=P(i_{t}|i_{t-1}), t=1,2,...,T \]

2. 觀測獨立性假設，即假設任意時刻的觀測只依賴於該時刻的馬爾可夫鏈的狀態，與其他觀測及狀態無關。

\[P(o_{i}|i_{T},o_{T},...,i_{t+1},o_{t+1},i_{t}, t_{t-1},o_{t-1},...,i_{1},o_{1})=P(o_{t}|i_{t}), t=1,2,...,T \]

  在剛才的假設中，我們對應的兩個假設分別為：她去哪個地方，僅取決於她去的上一個地方；是否購物的概率僅取決於她去的地方。前一個條件為齊次馬爾科夫假設，后一個條件為觀測獨立性假設。
  以上，我們就介紹了HMM的基本概念及假設。而HMM的三個基本問題如下：

1. 概率計算問題。給定模型\(\lambda=(A,B,\pi)\)和觀測序列\(O=(o_1,o_2,...,o_T)\),計算在模型\(\lambda\)下觀測序列\(O\)出現的概率\(P(O|\lambda).\)
2. 學習問題。已知觀測序列\(O=(o_1,o_2,...,o_T)\)，估計模型\(\lambda=(A,B,\pi)\)參數，使得在該模型下觀測序列概率\(P(O|\lambda)\)最大。
3. 預測問題。已知模型\(\lambda=(A,B,\pi)\)和觀測序列\(O=(o_1,o_2,...,o_T)\)，求對給定觀測序列條件概率\(P(I|O)\)最大的狀態序列\(I=(i_1,i_2,...,i_T).\)即給定觀測序列，求最有可能的對應的狀態序列。

  上面的例子即為HMM的第三個基本問題，也就是，給定觀測序列{不購物，購物，購物}，結果最有可能的狀態序列，即游玩的地方。

Viterbi算法

  求解HMM的第三個基本問題，會用到大名鼎鼎的維特比算法（Viterbi Algorithm）。
  維特比算法以安德魯·維特比（Andrew Viterbi）命名，是現代數字通信中最常用的算法，同時也是很多自然語言處理采用的解碼算法。可以毫不誇張地講，維特比是對我們的生活影音力最大的科學家之一，因為基於CDMA的3G移動通信標准主要就是他和厄文·雅各布（Irwin Mark Jacobs）創辦的高通公司（Qualcomm）指定的。
  維特比算法是一個特殊但應用最廣的動態規划（dynamic programming）算法，利用動態規划，可以解決任何一個圖中的最短路徑問題，同時，它也是求解HMM描述的第三個基本問題的算法。
  在維特比算法中，需要引入兩個變量\(\delta\)和\(\psi.\)定義在時刻t狀態i的所有單個路徑\((i_1,i_2,...,i_t)\)中概率最大值為

\[\delta_{t+1}(i) = \max_{1\leq j \leq N}[\delta_{t}(j)a_{ji}]b_{i}(o_{t+1}), i=1,2,...,N; t=1,2,...,T. \]

定義在時刻t狀態為i的所有單個路徑\((i_1,i_2,...,i_{t-1},i)\)中概率最大的路徑的第i-1個節點為

\[\psi_{t}(i) = arg \max_{1\leq j \leq N}[\delta_{t-1}(j)a_{ji}], i=1,2,...,N; t=1,2,...,T. \]

  下面是維特比算法在HMM的第三個基本問題的算法：

Python代碼實現

  下面，對於剛才給出的例子，我們將使用Python，來寫代碼實現Viterbi算法，同時求解剛才的問題。

# -*- coding: utf-8 -*-
# HMM.py
# Using Vertibi algorithm

import numpy as np

def Viterbi(A, B, PI, V, Q, obs):

    N = len(Q)
    T = len(obs)
    delta = np.array([[0] * N] * T, dtype=np.float64)
    phi = np.array([[0] * N] * T, dtype=np.int64)
    # 初始化
    for i in range(N):
        delta[0, i] = PI[i]*B[i][V.index(obs[0])]
        phi[0, i] = 0

    # 遞歸計算
    for i in range(1, T):
        for j in range(N):
            tmp = [delta[i-1, k]*A[k][j] for k in range(N)]
            delta[i,j] = max(tmp) * B[j][V.index(obs[i])]
            phi[i,j] = tmp.index(max(tmp))

    # 最終的概率及節點
    P = max(delta[T-1, :])
    I = int(np.argmax(delta[T-1, :]))

    # 最優路徑path
    path = [I]
    for i in reversed(range(1, T)):
        end = path[-1]
        path.append(phi[i, end])

    hidden_states = [Q[i] for i in reversed(path)]

    return P, hidden_states


def main():

    # 狀態集合
    Q = ('歡樂谷', '迪士尼', '外灘')
    # 觀測集合
    V = ['購物', '不購物']
    # 轉移概率: Q -> Q
    A = [[0.8, 0.05, 0.15],
         [0.2, 0.6, 0.2],
         [0.2, 0.3, 0.5]
        ]

    # 發射概率, Q -> V
    B = [[0.1, 0.9],
         [0.8, 0.2],
         [0.3, 0.7]
         ]

    # 初始概率
    PI = [1/3, 1/3, 1/3]

    # 觀測序列
    obs = ['不購物', '購物', '購物']

    P, hidden_states = Viterbi(A,B,PI,V,Q,obs)
    print('最大的概率為: %.5f.'%P)
    print('隱藏序列為：%s.'%hidden_states)

main()

輸出結果如下：

最大的概率為: 0.02688.
隱藏序列為：['外灘', '迪士尼', '迪士尼'].

  現在，你有很大的把握可以確定，你的女神去了外灘和迪士尼。

   注意：本人現已開通微信公眾號： Python爬蟲與算法（微信號為：easy_web_scrape）， 歡迎大家關注哦~~

參考文獻

1. 一文搞懂HMM（隱馬爾可夫模型）：https://www.cnblogs.com/skyme/p/4651331.html
2. 李航《統計學習方法》 清華大學出版社
3. HMM與分詞、詞性標注、命名實體識別：http://www.hankcs.com/nlp/hmm-and-segmentation-tagging-named-entity-recognition.html
4. Hidden Markov Models 1: http://docplayer.net/21306742-Hidden-markov-models-1.html
5. 吳軍 《數學之美》 人民郵電出版社