本文參考自《劍指offer》一書，代碼采用Java語言。
題目
在一個m×n的棋盤的每一格都放有一個禮物，每個禮物都有一定的價值（價值大於0）。你可以從棋盤的左上角開始拿格子里的禮物，並每次向左或者向下移動一格直到到達棋盤的右下角。給定一個棋盤及其上面的禮物，請計算你最多能拿到多少價值的禮物？
思路
動態規划：定義f(i,j)為到達(i,j)位置格子時能拿到的禮物總和的最大值，則有：f(i,j)=max{f(i,j),f(i,j)}+values(i,j)。
同上道題一樣，如果直接使用遞歸會產生大量的重復計算，因此，創建輔助的數組來保存中間計算結果。
輔助數組不用和m*n的二維數組一樣大，只需要保存上一層的最大值就可以。代碼中使用長度為列數n的一位數組作為輔助數組，注釋部分為二維輔助數組。
輔助數組只需要存 √ 的部分
測試算例
1.功能測試（多行多列，一行多列，多行一列，一行一列）
2.特殊測試（null）
Java代碼
//題目：在一個m×n的棋盤的每一格都放有一個禮物，每個禮物都有一定的價值
//（價值大於0）。你可以從棋盤的左上角開始拿格子里的禮物，並每次向左或
//者向下移動一格直到到達棋盤的右下角。給定一個棋盤及其上面的禮物，請計
//算你最多能拿到多少價值的禮物？
public class MaxValueOfGifts {
public int maxValueOfGifts(int[][] values) {
if(values==null || values.length<=0 ||values[0].length<=0)
return 0;
int rows=values.length;
int cols=values[0].length;
// int[][] maxValue=new int[rows][cols];
int[] maxValue=new int[cols];
for(int i=0;i<rows;i++) {
for(int j=0;j<cols;j++) {
int left=0;
int up=0;
if(i>0)
// up=maxValue[i-1][j];
up=maxValue[j];
if(j>0)
// left=maxValue[i][j-1];
left=maxValue[j-1];
// maxValue[i][j]=Math.max(up, left)+values[i][j];
maxValue[j]=Math.max(up, left)+values[i][j];
}
}
// return maxValue[rows-1][cols-1];
return maxValue[cols-1];
}
}
收獲
1.動態規划問題，用公式來表示清楚。
2.動態規划如果有大量重復計算，可以用循環+輔助空間來提高效率。
2.這道題不用二維數組，只需要用一維數組作為輔助空間即可，以后遇到對中間結果的保存問題，看看能否優化輔助空間。