感謝理解完指數函數（指數函數和自然對數），下一個目標就是對數函數。數學中對自然對數的定義是的逆運算，但有一個更形象的理解：自然對數刻畫了復合利率的增長時間
假設你的投資有100%的回報率，並保持復利。如果你想獲得10倍的增長，那么你只需要等待年。接下來我將給大家解釋為什么是這個數字。
e 的指數函數和自然對數互為逆運算：
可別被費解的名詞解釋嚇到！深吸一口氣，跟隨筆者一道，讓我們進入e的內部一探究竟！
e--關於增長
正如我們上次所說的那樣，描述了復合增長率乘以時間的情形：連續3年保持100%的增長，和在1年里有300%的增長，最終效果是一樣的。
我們可以使用任意的復合利率和時間，將其轉化為利率為100%時所需要的時間。這樣我們就只需要考慮時間分量。
例如：
在50%的增長率下增長4年，可以轉化為在100%的增長率下增長2年。即：
所以，含義是：
ln--關於時間
自然對數是的逆運算，那么逆運算是什么意思呢？
例如：
假設增長率為100%，我們有：
自然對數並不“自然”
什么是ln(1)呢？我需要多少天的復利增長才能獲得原總數的1倍。答案很顯然：0。
那么小數值會是怎么樣的呢？我們需要花多少時間來增長到0.5倍呢？假設我們的復合利率仍為100%，那么我們知道就是得到兩倍東西所需要的時間。”增長到0.5倍“也就是說：倒退到現有金錢的一半所需要的時間，即：
其中，負數的意思就是時間倒退，即我們需要倒退約為0.693個單位時間就會回到現在金錢的一半。一般來說，我們可以求該小數或者分數的倒數來求得倒退所需的時間。
再進行一次思維實驗：假設你有一筆金錢，它如何從1增長到-3倍呢？
顯然這是不可能的，我們擁有的金錢數只能大於或等於0。所以對於自然對數來說，負數是沒有定義的。
有趣的對數乘法
我需要花多少時間來增長到40倍呢？綜上所述，問題轉化成符號式即為。但是，我們換種思考方式，我們可以把40倍的增長看作先從1增長到4，即：先翻4倍，然后再從4增長到40，即：再翻10倍。即：
任何數字都可以這樣拆開，如：要增長到原來的20倍，那么，就可以看成先增長2倍再增長10倍，或者先找找5倍再增長4倍等等。
不失一般性：
不失一般性：
我們可以看到，看似抽象的數學符號，背后都蘊含着實際的意義
自然對數在復利中的使用
到這里你已經基本明白了自然對數，但是你仍然會問，上述問題都是假設復合利率是100%，但是更多的時候我們的復合增長率不是100%，而是其他數值，如5%，那么怎么辦呢？
Ok，沒問題，我們的ln( )實際上是由利率和時間復合而成的，他就是上篇文章我們說到中的x。只是我們假設復利為100%使得我們的問題更容易理解，但是我們仍然可以使用任何的利率。
顯然，我們以100%的增長率增長30倍需要3.4年，如果增長率大一倍，則時間就會短一半，如果增長率變小了，則時間也會變長。
有趣！他們的結果都是相同的對么？自然對數可以使用任何的利率和時間，你可以修改任何你想修改的變量。
關於ln（e）
最后給大家一個小小問題看看大家理解了沒有呢？即ln（e）是什么意思呢？
數學家可能會回答：因為自然對數是e的逆，所以
看了這篇文章的你可能會回答：ln（e）是獲得e倍所需要的時間，而e是單位時間的增長倍數，所以ln（e）=1
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作者：算法與數學之美
來源：CSDN
原文：https://blog.csdn.net/FnqTyr45/article/details/78557351
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