首先，我將說說什么是圖（它們不涉及X軸和Y軸），在我所知道的算法中，圖算法應該是最有用的。再介紹第一種圖算法——廣度優先搜索（breadth-first search，BFS）。
廣度優先搜索讓你能夠找出兩樣東西之間的最短距離，不過最短距離的含義有很多！使用廣度優先搜索可以：
- 編寫國際跳棋AI，計算最少走多少步就可獲勝；
- 編寫拼寫檢查器，計算最少編輯多少個地方就可將錯拼的單詞改成正確的單詞，如將READED改為READER需要編輯一個地方；
- 根據你的人際關系網絡找到關系最近的醫生。
1 圖簡介
假設你居住在舊金山，要從雙子峰前往金門大橋。你想乘公交車前往，並希望換乘最少。可乘坐的公交車如下。
為找出換乘最少的乘車路線，你將使用什么樣的算法？
一步就能到達金門大橋嗎？下面突出了所有一步就能到達的地方。
金門大橋未突出，因此一步無法到達那里。兩步能嗎？
金門大橋也未突出，因此兩步也到不了。三步呢？
金門大橋突出了！因此從雙子峰出發，可沿下面的路線三步到達金門大橋。
還有其他前往金門大橋的路線，但它們更遠（需要四步）。這個算法發現，前往金門大橋的最短路徑需要三步。這種問題被稱為最短路徑問題（shorterst-path problem）。你經常要找出最短路徑，這可能是前往朋友家的最短路徑，也可能是國際象棋中把對方將死的最少步數。解決最短路徑問題的算法被稱為廣度優先搜索。要確定如何從雙子峰前往金門大橋，需要兩個步驟。
(1) 使用圖來建立問題模型。
(2) 使用廣度優先搜索解決問題。
下面介紹什么是圖，然后再詳細探討廣度優先搜索。
2 圖是什么
圖模擬一組連接。例如，假設你與朋友玩牌，並要模擬誰欠誰錢，可像下面這樣指出Alex欠Rama錢。
完整的欠錢圖可能類似於下面這樣。
指出誰欠誰錢的圖：Alex欠Rama錢，Tom欠Adit錢，等等。
圖由節點（node）和邊（edge）組成。
就這么簡單！圖由節點和邊組成。一個節點可能與眾多節點直接相連，這些節點被稱為鄰居。在前面的欠錢圖中，Rama是Alex的鄰居。Adit不是Alex的鄰居，因為他們不直接相連。但Adit既是Rama的鄰居，又是Tom的鄰居。
圖用於模擬不同的東西是如何相連的。下面來看看廣度優先搜索。
3 廣度優先搜索
廣度優先搜索是一種用於圖的查找算法，可幫助回答兩類問題。
第一類問題：從節點A出發，有前往節點B的路徑嗎？
第二類問題：從節點A出發，前往節點B的哪條路徑最短？
前面計算從雙子峰前往金門大橋的最短路徑時，你使用過廣度優先搜索。這個問題屬於第二類問題：哪條路徑最短？下面來詳細地研究這個算法，你將使用它來回答第一類問題：有路徑嗎？
假設你經營着一個芒果農場，需要尋找芒果銷售商，以便將芒果賣給他。在Facebook，你與芒果銷售商有聯系嗎？為此，你可在朋友中查找。
這種查找很簡單。首先，創建一個朋友名單。
然后，依次檢查名單中的每個人，看看他是否是芒果銷售商。
假設你沒有朋友是芒果銷售商，那么你就必須在朋友的朋友中查找。
檢查名單中的每個人時，你都將其朋友加入名單。
3.1 查找最短路徑
再說一次，廣度優先搜索可回答兩類問題。
第一類問題：從節點A出發，有前往節點B的路徑嗎？（在你的人際關系網中，有芒果銷售商嗎？）
第二類問題：從節點A出發，前往節點B的哪條路徑最短？（哪個芒果銷售商與你的關系最近？）
剛才你看到了如何回答第一類問題，下面來嘗試回答第二類問題——誰是關系最近的芒果銷售商。例如，朋友是一度關系，朋友的朋友是二度關系。
在你看來，一度關系勝過二度關系，二度關系勝過三度關系，以此類推。因此，你應先在一度關系中搜索，確定其中沒有芒果銷售商后，才在二度關系中搜索。廣度優先搜索就是這樣做的！
在廣度優先搜索的執行過程中，搜索范圍從起點開始逐漸向外延伸，即先檢查一度關系，再檢查二度關系。順便問一句：將先檢查Claire還是Anuj呢？Claire是一度關系，而Anuj是二度關系，因此將先檢查Claire，后檢查Anuj。
你也可以這樣看，一度關系在二度關系之前加入查找名單。
你按順序依次檢查名單中的每個人，看看他是否是芒果銷售商。這將先在一度關系中查找，再在二度關系中查找，因此找到的是關系最近的芒果銷售商。廣度優先搜索不僅查找從A到B的路徑，而且找到的是最短的路徑。
注意，只有按添加順序查找時，才能實現這樣的目的。換句話說，如果Claire先於Anuj加入名單，就需要先檢查Claire，再檢查Anuj。如果Claire和Anuj都是芒果銷售商，而你先檢查Anuj再檢查Claire，結果將如何呢？找到的芒果銷售商並非是與你關系最近的，因為Anuj是你朋友的朋友，而Claire是你的朋友。因此，你需要按添加順序進行檢查。有一個可實現這種目的的數據結構，那就是隊列（queue）。
3.2 隊列
隊列的工作原理與現實生活中的隊列完全相同。假設你與朋友一起在公交車站排隊，如果你排在他前面，你將先上車。隊列的工作原理與此相同。隊列類似於棧，你不能隨機地訪問隊列中的元素。隊列只支持兩種操作：入隊和出隊。
如果你將兩個元素加入隊列，先加入的元素將在后加入的元素之前出隊。因此，你可使用隊列來表示查找名單！這樣，先加入的人將先出隊並先被檢查。
隊列是一種先進先出（First In First Out，FIFO）的數據結構，而棧是一種后進先出（Last In First Out，LIFO）的數據結構。
知道隊列的工作原理后，我們來實現廣度優先搜索！
4 實現圖
首先，需要使用代碼來實現圖。圖由多個節點組成。
每個節點都與鄰近節點相連，如果表示類似於“你→Bob”這樣的關系呢？好在你知道的一種結構讓你能夠表示這種關系，它就是散列表！
記住，散列表讓你能夠將鍵映射到值。在這里，你要將節點映射到其所有鄰居。
表示這種映射關系的Python代碼如下：
graph = {}
graph["you"] = ["alice", "bob", "claire"]
注意，“你”被映射到了一個數組，因此graph["you"]是一個數組，其中包含了“你”的所有鄰居。
圖不過是一系列的節點和邊，因此在Python中，只需使用上述代碼就可表示一個圖。那像下面這樣更大的圖呢？
表示它的Python代碼如下。
graph = {}
graph["you"] = ["alice", "bob", "claire"]
graph["bob"] = ["anuj", "peggy"]
graph["alice"] = ["peggy"]
graph["claire"] = ["thom", "jonny"]
graph["anuj"] = []
graph["peggy"] = []
graph["thom"] = []
graph["jonny"] = []
順便問一句：鍵—值對的添加順序重要嗎？換言之，如果你這樣編寫代碼：
graph["claire"] = ["thom", "jonny"] graph["anuj"] = []
而不是這樣編寫代碼：
graph["anuj"] = [] graph["claire"] = ["thom", "jonny"]
對結果有影響嗎？只要回顧一下以前介紹的內容，你就知道沒影響。散列表是無序的，因此添加鍵—值對的順序無關緊要。
Anuj、Peggy、Thom和Jonny都沒有鄰居，這是因為雖然有指向他們的箭頭，但沒有從他們出發指向其他人的箭頭。這被稱為有向圖（directed graph），其中的關系是單向的。因此，Anuj是Bob的鄰居，但Bob不是Anuj的鄰居。無向圖（undirected graph）沒有箭頭，直接相連的節點互為鄰居。例如，下面兩個圖是等價的。
6.5 實現算法
先概述一下這種算法的工作原理。 
首先，創建一個隊列。在Python中，可使用函數deque來創建一個雙端隊列。
from collections import deque search_queue = deque()#創建一個隊列 search_queue += graph["you"]#將你的鄰居都加入到這個搜索隊列中
別忘了，graph["you"]是一個數組，其中包含你的所有鄰居，如["alice", "bob", "claire"]。這些鄰居都將加入到搜索隊列中。
下面來看看其他的代碼。
while search_queue:#只要隊列不為空，
person = search_queue.popleft()#就取出其中的第一個人
if person_is_seller(person):#檢查這個人是否是芒果銷售商
print person + " is a mango seller!"#是芒果銷售商
return True
else:#不是芒果銷售商。
search_queue += graph[person]#將這個人的朋友都加入搜索隊列
return False #如果到達了這里，就說明隊列中沒人是芒果銷售商
最后，你還需編寫函數person_is_seller，判斷一個人是不是芒果銷售商，如下所示。
def person_is_seller(name):
return name[-1] == 'm'
這個函數檢查人的姓名是否以m結尾：如果是，他就是芒果銷售商。這種判斷方法有點搞笑，但就這個示例而言是可行的。下面來看看廣度優先搜索的執行過程。
這個算法將不斷執行，直到滿足以下條件之一：
- 找到一位芒果銷售商；
- 隊列變成空的，這意味着你的人際關系網中沒有芒果銷售商。
Peggy既是Alice的朋友又是Bob的朋友，因此她將被加入隊列兩次：一次是在添加Alice的朋友時，另一次是在添加Bob的朋友時。因此，搜索隊列將包含兩個Peggy。但你只需檢查Peggy一次，看她是不是芒果銷售商。如果你檢查兩次，就做了無用功。因此，檢查完一個人后，應將其標記為已檢查，且不再檢查他。
如果不這樣做，就可能會導致無限循環。假設你的人際關系網類似於下面這樣。
一開始，搜索隊列包含你的所有鄰居。
現在你檢查Peggy。她不是芒果銷售商，因此你將其所有鄰居都加入搜索隊列。
接下來，你檢查自己。你不是芒果銷售商，因此你將你的所有鄰居都加入搜索隊列。 以此類推。這將形成無限循環，因為搜索隊列將在包含你和包含Peggy之間反復切換。
檢查一個人之前，要確認之前沒檢查過他，這很重要。為此，你可使用一個列表來記錄檢查過的人。
考慮到這一點后，廣度優先搜索的最終代碼如下。
def search(name):
search_queue = deque()
search_queue += graph[name]
searched = [] #這個數組用於記錄檢查過的人
while search_queue:
person = search_queue.popleft()
if not person in searched:#僅當這個人沒檢查過時才檢查
if person_is_seller(person):
print person + " is a mango seller!"
return True
else:
search_queue += graph[person]
searched.append(person)#將這個人標記為檢查過
return False
search("you")
運行時間
如果你在你的整個人際關系網中搜索芒果銷售商，就意味着你將沿每條邊前行（記住，邊是從一個人到另一個人的箭頭或連接），因此運行時間至少為O(邊數)。你還使用了一個隊列，其中包含要檢查的每個人。將一個人添加到隊列需要的時間是固定的，即為O(1)，因此對每個人都這樣做需要的總時間為O(人數)。所以，廣度優先搜索的運行時間為O(人數 + 邊數)，這通常寫作O(V + E)，其中V為頂點（vertice）數，E為邊數。
6 小結
- 廣度優先搜索指出是否有從A到B的路徑。
- 如果有，廣度優先搜索將找出最短路徑。
- 面臨類似於尋找最短路徑的問題時，可嘗試使用圖來建立模型，再使用廣度優先搜索來解決問題。
- 有向圖中的邊為箭頭，箭頭的方向指定了關系的方向，例如，rama→adit表示rama欠adit錢。
- 無向圖中的邊不帶箭頭，其中的關系是雙向的，例如，ross - rachel表示“ross與rachel約會，而rachel也與ross約會”。
- 隊列是先進先出（FIFO）的。
- 棧是后進先出（LIFO）的。
- 你需要按加入順序檢查搜索列表中的人，否則找到的就不是最短路徑，因此搜索列表必須是隊列。
- 對於檢查過的人，務必不要再去檢查，否則可能導致無限循環。