數據結構與算法學習筆記之高效、簡潔的編碼技巧“遞歸”

本文轉載自查看原文 2018-10-18 15:50 768 學習筆記/ 數據結構與算法

前言

盜夢空間想象大多數人都看過：電影講述的是主人公諾蘭進入希里安·墨菲夢境植入想法的行動。為了向希里安·墨菲夢植入理念，影片進入四層夢境，即所謂：“夢中的夢中夢中人的夢中”。

有一對兔子，每隔三個月會產下一對小兔子，小免子每隔三個月，也會產生新的一對免子，問36個月后，共有多少對兔子。

諸如此類：其實就是“遞歸”，今天就一起進入“遞歸”的世界看看

正文

一、遞歸的定義

1.遞歸是一種應用廣泛的算法，既能運用到軟件開發中成為高效、簡潔的編碼技巧也能應用到生活中解決實踐遞歸問題，比如DFS深度優先搜索、前中后序二叉樹遍歷等，又比如計算不斷繁衍的后台個數等等；

2.程序調用自身的方式稱為遞歸調用，去調用的過程稱為遞，回來的過程稱為歸。

3.基本上，所有的遞歸問題都可以用遞推公式來表示，比如

f(n) = f(n-1) + 1;
f(n) = f(n-1) + f(n-2);
f(n)=n*f(n-1);

二、為什么使用遞歸？

1.遞歸在解決某些問題的時候使得我們思考的方式得以簡化，代碼也更加精煉，容易閱讀
2.遞歸在處理問題時要反復調用函數，這增大了它的空間和時間開銷，空間復雜度高、有堆棧溢出風險、存在重復計算、過多的函數調用會耗時較多等問題。

三、什么樣的問題可以用遞歸解決呢？

一個問題只要同時滿足以下3個條件，就可以用遞歸來解決：
1.問題的解可以分解為幾個子問題的解。何為子問題？就是數據規模更小的問題。
2.問題與子問題，除了數據規模不同，求解思路完全一樣
3.存在遞歸終止條件，不能無限循環。

四、如何實現遞歸

1.遞歸代碼編寫

寫遞歸代碼的關鍵就是將大問題分解為小問題，寫出遞推公式，找出終止條件，最后將遞推公式和終止條件翻譯成代碼。

舉一個栗子：

假如這里有n個台階，每一次你可以跨過一或二個台階，請問有幾種走法？

根據第一步的走法把走法分為兩類，第一步走一個台階或者走兩個台階，所以n個台階的走法就等於先走一階的走法加上先走兩個台階的走法，遞歸公式為：

f(n) = f(n-1)+f(n-2)

當只有一個台階時，我們就不需要遞歸了，所以終止條件為：

f（1）=1

但是只有它還不足夠，n=2時，f（2）=f（1）+f（0）還有f(0)=1,也就是第0階也要有一種走法，不和邏輯，所以終止條件還有一個：

f（2）=2

編寫為代碼為：

int f(int n) { if (n == 1) return 1; if (n == 2) return 2; return f(n-1) + f(n-2); }

2.遞歸代碼理解

對於遞歸代碼，若試圖想清楚整個遞和歸的過程，實際上是進入了一個思維誤區。
那該如何理解遞歸代碼呢？如果一個問題A可以分解為若干個子問題B、C、D，你可以假設子問題B、C、D已經解決。而且，你只需要思考問題A與子問題B、C、D兩層之間的關系即可，不需要一層層往下思考子問題與子子問題，子子問題與子子子問題之間的關系。屏蔽掉遞歸細節，這樣子理解起來就簡單多了。
因此，理解遞歸代碼，就把它抽象成一個遞推公式，不用想一層層的調用關系，不要試圖用人腦去分解遞歸的每個步驟。

五、遞歸常見問題及解決方案

1.警惕堆棧溢出：可以聲明一個全局變量來控制遞歸的深度，從而避免堆棧溢出。

代碼實現：

// 全局變量，表示遞歸的深度。
int depth = 0; int f(int n) { ++depth； if (depth > 1000) throw exception; if (n == 1) return 1; return f(n-1) + 1; }

2.警惕重復計算：通過某種數據結構來保存已經求解過的值，從而避免重復計算。

如用散列表來保存已存在的值，改寫上面的代碼如下：

public int f(int n) { if (n == 1) return 1; if (n == 2) return 2; // hasSolvedList 可以理解成一個 Map，key 是 n，value 是 f(n)
  if (hasSolvedList.containsKey(n)) { return hasSovledList.get(n); } int ret = f(n-1) + f(n-2); hasSovledList.put(n, ret); return ret; }

（代碼來源於網絡）

六、如何將遞歸改寫為非遞歸代碼？

籠統的講，所有的遞歸代碼都可以改寫為迭代循環的非遞歸寫法。如何做？抽象出遞推公式、初始值和邊界條件，然后用迭代循環實現。

將上面的代碼實現如下：

int f(int n) { if (n == 1) return 1; if (n == 2) return 2; int ret = 0; int pre = 2; int prepre = 1; for (int i = 3; i <= n; ++i) { ret = pre + prepre; prepre = pre; pre = ret; } return ret; }