深層網絡需要一個優良的權重初始化方案,目的是降低發生梯度爆炸和梯度消失的風險。先解釋下梯度爆炸和梯度消失的原因,假設我們有如下前向傳播路徑:
a1 = w1x + b1
z1 = σ(a1)
a2 = w2z1 + b2
z2 = σ(a2)
...
an = wnzn-1 + bn
zn = σ(an)
簡化起見,令所有的b都為0,那么可得:
zn = σ(wnσ(Wn-1σ(...σ(w1x))),
若進一步簡化,令z = σ(a) = a,那么可得:
zn = wn * Wn-1 * Wn-1 *...* X
而權重w的選擇,假定都為1.5,那么可觀察到 zn是呈現指數級遞增,深層網絡越深,意味着后面的值越大,呈現爆炸趨勢;反之,w假定都為0.5,那么可觀察到 zn是呈現指數級遞減,深層網絡越深,意味着后面的值越小,呈現消失趨勢。
若令z = σ(a) = sigmoid(a),且a= ∑nwixi + b,其中n為輸入參數的個數,當輸入參數很多時,猜測|a|很大概率會大於1,對於sigmoid函數而言,|a|>1,則意味着曲線越來越平滑,z值會趨近於1或0,從而也會導致梯度消失。
那我們在每一層網絡進行初始化權重時,若能給w一個合適的值,則能降低這種梯度爆炸或梯度消失的可能性嗎?我們看看該如何選擇。
一、隨機分布權重
在keras中,其函數為:K.random_uniform_variable(),我們來直觀地看看其數據分布圖,先看代碼:
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt import tensorflow.keras.backend as K w = K.eval(K.random_uniform_variable(shape=(1, 10000), low=-1, high=1)) w = w.reshape(-1) print("w:", w) x = K.eval(K.random_uniform_variable(shape=(1, 10000), low=-1, high=1)) x = x.reshape(-1) print("x:", x) a = np.dot(w, x) print("a:", a) n, bins, patches = plt.hist(w, 50, density=1, facecolor='g', alpha=0.75) plt.xlabel('data range') plt.ylabel('probability') plt.axis([-2, 2, 0, 1]) plt.grid(True) plt.show()
其圖像為:
觀察圖像可知,隨機函數取了10000個點,值范圍被約束在-1~1之間,其概率分布都很均勻。
其輸出結果為:
w: [-0.3033681 0.95340157 0.76744485 ... 0.24013376 0.5394962 -0.23630977] x: [-0.19380212 0.86640644 0.6185038 ... -0.66250014 -0.2095201 0.23459053] a: 16.111116
從結果可知,若我們的輸入是10000個特征點,那么a= ∑10000wixi + b,且|a|>1的概率很大(結果為16.111116)。可想而知,不采用激活函數或relu函數,則有梯度爆炸的可能性;若采用sigmoid激活函數的話,則會導致梯度消失。
二、正太分布權重
在keras中,其函數為:K.random_normal_variable()和K.truncated_normal(),我們來直觀地看看其數據分布圖,先看K.random_normal_variable代碼:
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt import tensorflow.keras.backend as K w = K.eval(K.random_normal_variable(shape=(1, 10000), mean=0, scale=1)) w = w.reshape(-1) print("w:", w) x = K.eval(K.random_uniform_variable(shape=(1, 10000), low=-1, high=1)) x = x.reshape(-1) print("x:", x) a = np.dot(w, x) print("a:", a) n, bins, patches = plt.hist(w, 50, density=1, facecolor='g', alpha=0.75) plt.xlabel('data range') plt.ylabel('probability') plt.axis([-5, 5, 0, 0.6]) plt.grid(True) plt.show()
其圖像為:
其結果為:
w: [-1.8685548 1.501203 1.1083876 ... -0.93544585 0.08100258 0.4771947 ] x: [ 0.40333223 0.7284522 -0.40256715 ... 0.79942155 -0.915035 0.50783443] a: -46.02679
再看看K.truncated_normal()的代碼:
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt import tensorflow.keras.backend as K w = K.eval(K.truncated_normal(shape=(1, 10000), mean=0, stddev=1)) w = w.reshape(-1) print("w:", w) x = K.eval(K.random_uniform_variable(shape=(1, 10000), low=-1, high=1)) x = x.reshape(-1) print("x:", x) a = np.dot(w, x) print("a:", a) n, bins, patches = plt.hist(w, 50, density=1, facecolor='g', alpha=0.75) plt.xlabel('data range') plt.ylabel('probability') plt.axis([-5, 5, 0, 0.6]) plt.grid(True) plt.show()
其圖像為:
其結果為:
w: [ 1.0354282 -0.9385183 0.57337016 ... -0.3302136 -0.10443623 0.9371711 ] x: [-0.7896631 -0.01105547 0.778579 ... 0.7932384 -0.17074609 0.60096693] a: -18.191553
觀察兩個圖像可知,兩者都是正太分布圖像,唯一區別在於K.truncated_normal()把大於2和小於2的數據給截斷了,只保留了一部分數據。
從結果可知,若我們的輸入是10000個特征點,那么a= ∑10000wixi + b ,雖然圖像具有一定的對稱性,總體均值為0,但|a1|>1依然有很大概率存在(結果為-18.191553),依舊有有梯度消失和爆炸的可能性。
三、正太收窄權重
我們的目標是使得|a1| < 1,這樣無論激活函數是sigmoid還是relu,都可以保證每一層的輸出值不會增長太大,也不會增長過小。所以我們可以在正太分布的基礎上,讓其收窄變尖,可以讓wi=wi / √n,其中n為該層的輸入參數的數量,以10000個輸出特征點為例,wi=wi / √10000,這樣a1= ∑10000wixi + b1 就可以確保大致在-1~1范圍內。可看代碼:
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt import tensorflow.keras.backend as K w = K.eval(K.random_normal_variable(shape=(1, 10000), mean=0, scale=1/np.sqrt(10000))) w = w.reshape(-1) print("w:", w) x = K.eval(K.random_uniform_variable(shape=(1, 10000), low=-1, high=1)) x = x.reshape(-1) print("x:", x) a = np.dot(w, x) print("a:", a) n, bins, patches = plt.hist(w, 50, density=1, facecolor='g', alpha=0.75) plt.xlabel('data range') plt.ylabel('probability') plt.axis([-0.1, 0.1, 0, 50]) plt.grid(True) plt.show()
其圖像為:
其結果為:
w: [ 0.00635913 -0.01406644 -0.00843588 ... -0.00573074 0.00345371 -0.01102492] x: [ 0.3738377 -0.01633143 0.21199775 ... -0.78332734 -0.96384525 -0.3478613 ] a: -0.4904538
觀察圖像可知,數值范圍已經被壓縮在-0.025~0.025附近,概率值最高也到了40以上,變得又窄又尖了。
從結果也可知,我們成功地把|a|壓縮在1范圍以內,這個結果無論對sigmoid函數,還是relu函數,都是比較友好的,降低了梯度爆炸和梯度消失的風險,也利於加快訓練學習過程。
四、Keras的默認選擇
在使用Keras的Conv2D、Dense等函數時,會發現權重初始化的默認值為glorot_uniform,其對應網頁為:https://www.tensorflow.org/api_docs/python/tf/glorot_uniform_initializer
可以看出glorot_uniform使用的是隨機分布,不同之處在於其上下限值為[-limit, limit],其中limit = sqrt(6 / (fan_in + fan_out)),fan_in即為輸入特征數,而fa_out為輸出特征數。其實和上述正太收緊類似,可以理解其數值范圍是非常非常小。
在此不再贅述。