以下做法來均自llj @Nicodafagood
一、單項選擇題
7. 在一條長度為 1 的線段上隨機取兩個點,則以這兩個點為端點的線段的期望
長度是( )。
A. 1 / 2
B. 1 / 3
C. 2 / 3
D. 3 / 5
從0～L任選一點x,與0到x的線段長度期望為
$\frac{\int_0^Lx}{L}=(\frac{1}{2}L^2-\frac{1}{2}0^2)/L=\frac{L}{2}$
於是從0～1任選一點x，然后再選一點y與x的構成線段的期望長度為
$[\int_0^1( \frac{1-x}{1}*\frac{1-x}{2}+\frac{x}{1}*\frac{x}{2})]/1$
$=\int_0^1( x^2-x-\frac{1}{2})$
$=(\frac{1}{3}*1^3-\frac{1}{2}*1^2-\frac{1}{2}*1)-(0)$
$=\frac{1}{3}$
故選C
9. 假設一台抽獎機中有紅、藍兩色的球,任意時刻按下抽獎按鈕,都會等概率
獲得紅球或藍球之一。有足夠多的人每人都用這台抽獎機抽獎,假如他們的
策略均為:抽中藍球則繼續抽球,抽中紅球則停止。最后每個人都把自己獲
得的所有球放到一個大箱子里,最終大箱子里的紅球與藍球的比例接近於
( )。
A. 1 : 2
B. 2 : 1
C. 1 : 3
D. 1 : 1
等價於一個生物老師講過的模型：某地區重男輕女，生了女孩就繼續生直到生了男孩為止，這樣並不會使人口性別失衡。
設E(x)為生第一個男孩之前生的女孩個數的期望
$E(x)=\frac{1}{2}*0+\frac{1}{2}*(1+E(x))$
解得$E(x)=1$
故選D
三、問題求解
2. 方程 a*b = (a or b) * (a and b),在 a,b 都取 [0, 31] 中的整數時,
共有_____組解。(*表示乘法;or 表示按位或運算;and 表示按位與運算)
發現當且僅當a或者b中一個是另一個的子集時成立。
證明：
$a\ or \ b= \frac{(a+b+(a \ xor\ b))}{2}$
$a\ and \ b= \frac{(a+b-(a \ xor\ b))}{2}$
$(a\ or \ b)*(a\ and \ b)= \frac{(a+b)^2-(a \ xor\ b)^2}{4}$
當$(a\ or \ b)*(a\ and \ b)= a*b$時
$a*b= \frac{(a+b)^2-(a \ xor\ b)^2}{4}$
$(a-b)^2=(a \ xor\ b)^2$
得證