同態濾波，網絡上有很多文章提到過這個算法，我們摘取百度的一段文字簡要的說明了該算法的核心： 同態濾波是一種減少低頻增加高頻，從而減少光照變化並銳化邊緣或細節的圖像濾波方法。
關於該算法，網絡上已經有很多資料了，也有很多給出了參考代碼，但是很痛心的是我看到的沒有一個是完全正確的，或多或少都存在瑕疵，有些雖然算法最后的效果是差不多正確的，實際上是和真正的算法是背道而馳的。
我們在這里只有簡單的語句來描述下該算法的過程。
對於一幅圖像f(x,y)，可以表示為照射分量i(x,y)和反射分量r(x,y)的乘積。其中0<i(x,y)<∞，0<r(x,y)<1。i(x,y)描述景物的照明，變化緩慢，處於低頻成分。r(x,y)描述景物的細節，變化較快，處於高頻成分。因為該性質是乘性的，所以不能直接使用傅里葉變換對i(x,y)和r(x,y)進行控制，因此可以先對f(x,y)取對數，分離i(x,y)和r(x,y)。令z(x,y) = ln f(x,y) = ln i(x,y) + ln r(x,y)。由於f(x,y)的取值范圍為[0, L-1]，為了避免出現ln(0)的情況，故采用ln ( f(x,y) + 1 ) 來計算。
然后取傅里葉變換，得到 Z(u,v) = Fi(u,v) + Fr(u,v)。
然后使用一個濾波器，對Z(u,v)進行濾波，有 S(u,v) = H(u,v) Z(u,v) = H(u,v)Fi(u,v) + H(u,v)Fr(u,v)。
濾波后，進行反傅里葉變換，有 s(x, y) = IDFT( S(u,v) )。
最后，反對數（取指數），得到最后處理后的圖像。g(x,y) = exp^(s(x,y)) = i0(x,y)+r0(x,y)。由於我們之前使用ln ( f(x,y)+1)，因此此處使用exp^(s(x,y)) - 1。 i0(x,y)和r0(x,y)分別是處理后圖像的照射分量和入射分量。
這個濾波器通常我們取如下形式：
其中，
γL< 1，γH >1，控制濾波器幅度的范圍。Hhp通常為高通濾波器，如高斯（Gaussian）高通濾波器、巴特沃茲(Butterworth)高通濾波器、Laplacian濾波器等。
如果Hhp采用Gaussian高通濾波器，則有：
其中，c為一個常數，控制濾波器的形態，即從低頻到高頻過渡段的陡度（斜率），其值越大，斜坡帶越陡峭，見下圖。
圖2 同態濾波器幅頻曲線
如果英文可以的，直接看http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/CVonline/LOCAL_COPIES/OWENS/LECT5/node4.html這篇文章。
其實過程很簡單，但是很多博文都給出了錯誤的代碼，比如在圖像增強處理之：同態濾波與Retinex算法(一)同態濾波一文中，其給出的主要代碼如下：
function I3 = homofilter(I) %同態濾波函數 subplot(1,2,1),imshow(I);title('同態濾波之前原始圖像'); I=double(rgb2gray(I)); [M,N]=size(I); rL=0.5; rH=5;%可根據需要效果調整參數 c=3; d0=9; I1=log(I+1);%取對數 FI=fft2(I1);%傅里葉變換 n1=floor(M/2); n2=floor(N/2); for i=1:M for j=1:N D(i,j)=((i-n1).^2+(j-n2).^2); H(i,j)=(rH-rL).*(exp(c*(-D(i,j)./(d0^2))))+rL;%高斯同態濾波 end end I2=ifft2(H.*FI);%傅里葉逆變換 I3=real(exp(I2)); subplot(1,2,2),imshow(I3,[]);title('同態濾波增強后');
我們看看其傳遞函數H那一行的代碼：
H(i,j)=(rH-rL).*(exp(c*(-D(i,j)./(d0^2))))+rL;%高斯同態濾波
很明顯，這里有着嚴重的錯誤，1-exp操作，他直接寫成了exp。雖然他最后得到了一個似乎不錯的結果，但是這是違背科學的。
再比如同態濾波及其實現 這篇文章其實也是不對的，其部分代碼如下：
% 生成同態濾波函數，中心在(m+1,n+1) Homo = zeros(P, Q); a = D0^2; % 計算一些不變的中間參數 r = rh-rl; for u = 1 : P for v = 1 : Q temp = (u-(m+1.0))^2 + (v-(n+1.0))^2; Homo(u, v) = r * (1-exp((-c)*(temp/a))) + rl; end end %進行濾波 G = F1 .* Homo; % 反傅里葉變換 gp = ifft2(G);
由於之前計算的fft結果沒有中心化，所以進行濾波前需要對Homo進行反中心化，所以這里的代碼也不對（這里是我錯了，他代碼前面有* (-1)^(i+j)，有這個的話后面不需要ifftshift了）。
我們在看matlab—同態濾波的實現這篇文章的代碼：
clear all clc I =imread('moon128.bmp'); % tun.bmp figure(1),subplot(221),imshow(I); title('原圖') I=im2double(I); %轉換數據類型為double型 [M,N]=size(I); P = 2*M; Q = 2*N; I2 = zeros(P,Q); for i = 1:M for j =1:N I2(i,j) = I(i,j); %對圖像進行填充 end end figure(1),subplot(222),imshow(I2);title('填充后的圖像') I2=log(I2+1); %取對數 FI=fft2(I2); %傅里葉變換 rL=0.25; rH=2.2; % 可根據需要效果調整參數 c=2.0; %銳化參數 D0=20; n1=floor(P/2); n2=floor(Q/2); for u=1:P for v=1:Q D(u,v)=sqrt(((u-n1).^2+(v-n2).^2)); %頻率域中點（u，v）與頻率矩形中心的距離 H(u,v)=(rH-rL).*(1-exp(-c.*(D(u,v)^2./D0^2)))+rL; %高斯同態濾波 end end H=ifftshift(H); %對H做反中心化 I3=ifft2(H.*FI); %傅里葉逆變換 I4=real(I3); I5 =I4(1:M, 1:N); %截取一部分 I6=exp(I5)-1; %取指數 figure(1),subplot(223),imshow(I6,[]);title('同態濾波增強后'）
個人覺得這個比較接近正確的結果了，但是我覺得還是有點問題，im2double函數會將圖像數據歸一化到【0,1】之間，和大部分的實現方式都不同。而且這個時候如果避免log后面參數為0，也不易加上1了，數量級太大了，加上0.0001之類的就可以了。
再找一篇文章的代碼：同態濾波用於光照不均勻校正，這里的貼的效果也不錯，代碼如下：
clear all; [filename,pathname]=uigetfile('*.*','選擇圖像文件');%通過瀏覽文件夾來讀取圖片 if isequal(filename,0) %判斷是否選擇 msgbox('沒有選擇任何圖片'); else image=imread(strcat(pathname,filename));%獲取圖像路徑path，然后讀取圖片file end figure();subplot(2,2,1); imshow(abs(image)); title('原始圖像'); img=im2double(image); %轉換圖像矩陣為雙精度型 lnimg=log(img+0.000001); %取對數 Fimg=fft2(lnimg); %傅里葉變換 P=fftshift(Fimg); %將頻域原點移到圖像中心； [M,N]=size(P); %返回的行數和列數在P作為單獨的輸出變量 subplot(2,2,2);imshow(uint8(abs(P)),[]);title('濾波前的頻譜圖像'); %顯示無符號8位數，即256級的灰度圖像 x0=floor(M/2); y0=floor(N/2);%表示將向量M和N每個元素與2作除法后取整 %同態濾波參數設置 D0=100;%截止頻率 c=1.50;%銳化系數 Hh=0.5;Hl=2; %Hh<1,Hl>1，Hh為高頻增益，Hl為低頻增益， %通過改變這兩個參數，得到不同的濾波效果 for u=1:M for v=1:N D(u,v)=sqrt((u-x0)^2+(v-y0)^2);%點（u,v）到頻率平面原點的距離 H(u,v)=(Hh-Hl)*(1-exp(-c*(D(u,v)^2/D0^2)))+Hl;%同態濾波器函數 end end hImg=Fimg.*H(u,v);%濾波，矩陣點乘 Q=fftshift(hImg);%傅里葉逆變換 subplot(2,2,3),imshow(uint8(abs(Q))),title('濾波后的頻譜圖像') gImg=ifft2(hImg);%反傅立葉變換 Y=exp(gImg); %取指數 J=im2uint8(Y);%轉換圖像矩陣為無符號8位數，即256級的灰度圖像 subplot(2,2,4),imshow(J),title(' 濾波后的增強圖像')
這里的代碼很明顯的Hh還比Hl小，我是在搞不懂作者這里是怎么考慮的，同樣的道理少了反中心化那一步。
通過以上代碼，我們發現有的代碼在做FFT變換前會將圖像擴大一倍，比如這個matlab的網站中關於同態濾波也提到了2倍尺寸：https://blogs.mathworks.com/steve/2013/06/25/homomorphic-filtering-part-1/，雖然說得很有道理，但是經過測試，我覺得真的有必要嗎，又占內存又減低了速度。
綜合各篇文章的代碼，通過實驗我整理后的matlab代碼如下：
% 同態濾波器 % ImageIn - 需要進行濾波的灰度圖像 % High - 高頻增益,需要大於1 % Low - 低頻增益,取值在0和1之間 % C - 銳化系數 % Sigma - 截止頻率，越大圖像越亮 % 輸出為進行濾波之后的灰度圖像 function [ImageOut] = HomoFilter(ImageIn, High, Low, C, Sigma) Img = double(ImageIn); % 轉換圖像矩陣為雙精度型,不會改變數據本身 [Height, Width] = size(ImageIn); % 返回的行數和列數 CenterX = floor(Width / 2); % 中心點坐標 CenterY = floor(Height / 2); LogImg = log(Img + 1); % 圖像對數數據 Log_FFT = fft2(LogImg); % 傅里葉變換 for Y = 1 : Height for X = 1 : Width Dist= (X - CenterX) * (X - CenterX) + (Y - CenterY) * (Y - CenterY); % 點（X,Y）到頻率平面原點的距離 H(Y, X)=(High - Low) * (1 - exp(-C * (Dist / (2 * Sigma * Sigma)))) + Low; % 同態濾波器函數 end end H = ifftshift(H); % 對H做反中心化 Log_FFT = H.* Log_FFT; % 濾波，矩陣點乘 Log_FFT = ifft2(Log_FFT); % 反傅立葉變換 Out = exp(Log_FFT)-1; % 取指數 % 指數處理ge = exp(g)-1;% 歸一化到[0, L-1] Max = max(Out(:)); Min = min(Out(:)); Range = Max - Min; for Y = 1 : Height for X = 1 : Width ImageOut(Y, X) = uint8(255 * (Out(Y, X) - Min) / Range); end end end
以上代碼只針對灰度圖像。
第一，我們沒有將圖像擴大2倍，實踐證明不需要。第二，我們沒有把圖像歸一化，如果使用歸一化的代碼，同樣的參數會有不同的效果。第三，必須對H做反中心化處理，如果不對H反中心化，就要對FFT的結果進行中心化，此時代碼如下所示：
function [ImageOut] = HomoFilter(ImageIn, High, Low, C, Sigma) Img = double(ImageIn); % 轉換圖像矩陣為雙精度型,不會改變數據本身 [Height, Width] = size(ImageIn); % 返回的行數和列數 CenterX = floor(Width / 2); % 中心點坐標 CenterY = floor(Height / 2); LogImg = log(Img + 1); % 圖像對數數據 Log_FFT = fft2(LogImg); % 傅里葉變換 Log_FFT = fftshift(Log_FFT); for Y = 1 : Height for X = 1 : Width Dist= (X - CenterX) * (X - CenterX) + (Y - CenterY) * (Y - CenterY); % 點（X,Y）到頻率平面原點的距離 H(Y, X)=(High - Low) * (1 - exp(-C * (Dist / (2 * Sigma * Sigma)))) + Low; % 同態濾波器函數 end end Log_FFT = H.* Log_FFT; % 濾波，矩陣點乘 Log_FFT = ifftshift(Log_FFT); Log_FFT = ifft2(Log_FFT); % 反傅立葉變換 Out = exp(Log_FFT)-1; % 取指數 % 指數處理ge = exp(g)-1;% 歸一化到[0, L-1] Max = max(Out(:)); Min = min(Out(:)); Range = Max - Min; for Y = 1 : Height for X = 1 : Width ImageOut(Y, X) = uint8(255 * (Out(Y, X) - Min) / Range); end end end
算法使用場合及參數配置說明：
（1）、光照不均勻圖像的均勻化。
要實現此種效果建議的參數配置如下：High = 2, Low =0.2, C > 1, 50<Sigma < 200;
(2) 偏暗圖像的增強
要實現此種效果建議的參數配置如下：High = 2, Low =0.2, C = 0.1, Sigma = max(Width, Height)；
以上是彩色的圖，彩色圖的處理方式有很多種，可以參考我以前所發的博文。
鑒於算法的這個特性，這個算法應該也可以應用在16位圖像的HDR顯示上，有空做做試驗。
matlab的速度還是很慢的，我已經用C++結合SSE優化對上述過程進行了編碼優化，其中的FFT使用了opencv的代碼，目前opencv最新版本的FFT已經支持任意長度的序列了，但是為了速度，一般還是調用GetOptimalDftSize獲取最佳的序列長度，然后用SSE優化一下其他的輔助處理，速度上對800*600的灰度圖30ms左右。詳見附件的SSE_Optimization_Demo的enhance菜單。
Demo下載地址：https://files.cnblogs.com/files/Imageshop/SSE_Optimization_Demo.rar
