復雜度分析是什么？
復雜度分析就是分析執行一個給定算法需要消耗的計算資源數量（例如計算時間，存儲器使用等）的過程。
為什么要學習復雜度分析？
沒有復雜度分析怎么得到算法執行的時間和占用的內存大小
把代碼運行一遍，通過統計、監控，就能得到算法執行的時間和占用的內存大小。
該方法的缺點在於：
1、測試結果非常依賴測試環境
拿同樣一段代碼，在 Intel Core i9 處理器上運行的速度肯定要比 Intel Core i3 快得多。同一段代碼，在不同機器上運行，也可能會有截然相反的結果。
2、測試結果受數據規模的影響很大
以排序算法舉個例子。對同一個排序算法，待排序數據的有序度不一樣，排序的執行時間就會有很大的差別。極端情況下，如果數據已經是有序的，那排序算法不需要做任何操作，執行時間就會非常短。除此之外，如果測試數據規模太小，測試結果可能無法真實地反應算法的性能。比如，對於小規模的數據排序，插入排序可能反倒會比快速排序要快！
使用復雜度分析有什么好處
不需要用具體的測試數據來測試，就可以粗略地估計算法的執行效率。
怎么學習復雜度分析？
大O復雜度表示法
下面有一段代碼，來估算一下這段代碼的執行時間：
1 int cal(int n) { 2 int sum = 0; 3 int i = 0; 4 int j = 0; 5 for (; i < n; ++i) { 6 j = 1; 7 for (; j < n; ++j) { 8 sum = sum + i * j; 9 } 10 } 11 }
假設每行代碼執行的時間都一樣，為 unit_time，在這個假設的基礎之上，我們可以看出：第 2、3、4 行代碼分別需要 1 個 unit_time 的執行時間，第 5、6 行都運行了 n 遍，所以需要 2n*unit_time 的執行時間，第 7、8 行代碼循環執行了 n^2遍，所以需要 2n^2 * unit_time 的執行時間。所以，整段代碼總的執行時間 T(n) = (2n^2+2n+3)*unit_time。
通過這段代碼執行時間的推導過程，我們可以知道，所有代碼的執行時間 T(n) 與每行代碼的執行次數 n 成正比。用大 O 復雜度表示法可以這樣表示：T(n) = O（f(n)）
其中，T(n) 表示代碼執行的時間；n 表示數據規模的大小；f(n) 表示每行代碼執行的次數總和。公式中的 O，表示代碼的執行時間 T(n) 與 f(n) 表達式成正比。
時間復雜度分析
分析一段代碼的時間復雜度三個比較實用的方法：
1、只關注循環執行次數最多的一段代碼
在進行時間復雜度分析的時候，我們通常會忽略掉公式中的常量、低階、系數，只記錄一個最大階的量級。所以，我們在分析一個算法、一段代碼的時間復雜度的時候，也只關注循環執行次數最多的那一段代碼就可以了。
2、加法法則：總復雜度等於量級最大的那段代碼的復雜度
假設有這樣三段代碼，每段代碼是一個for循環，第一段代碼循環了 100 次，第二段代碼循環了 n 次，第三段代碼循環了 n^2 次。
那么，第一段代碼的時間復雜度是一個常量，跟 n 的規模無關。第二段代碼和第三段代碼的時間復雜度分別為 O(n) 和 O(n^2)。
因為總的時間復雜度就等於量級最大的那段代碼的時間復雜度，所以，整段代碼的時間復雜度為 O(n^2)。那我們將這個規律抽象成公式就是：
如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；
那么 T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n), g(n)))
3、乘法法則：嵌套代碼的復雜度等於嵌套內外代碼復雜度的乘積
復雜度分析中還有一個乘法法則。
如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；
那么 T(n)=T1(n)*T2(n)=O(f(n))*O(g(n))=O(f(n)*g(n))。
常見的嵌套循環，其時間復雜度就可以用乘法法則進行計算 。
幾種常見時間復雜度實例分析
常見的復雜度量級並不多，大概就是下圖中包含的：
復雜度量級可以分為多項式量級和非多項式量級。其中，非多項式量級只有兩個：O(2^n) 和 O(n!)。
對於多項式量級，隨着數據規模的增長，算法的執行時間和空間占用統一呈多項式規律增長；而對於非多項式量級，隨着數據規模的增長，其時間復雜度會急劇增長，執行時間無限增加；
這里主要來看幾種常見的多項式時間復雜度：
1、O(1)
O(1) 只是常量級時間復雜度的一種表示方法，並不是指只執行了一行代碼。只要代碼的執行時間不隨 n 的增大而增長，這樣代碼的時間復雜度我們都記作 O(1)。或者說，一般情況下，只要算法中不存在循環語句、遞歸語句，即使有成千上萬行的代碼，其時間復雜度也是Ο(1)。
2、O(logn)、O(nlogn)
最難分析的是對數階時間復雜度，這里通過一個例子來說明一下。
1 i = 1; 2 while (i <= n) { 3 i = i * 2; 4 }
我們已經知道，只要關注循環執行次數最多的那一段代碼就可以了，這里循環執行次數最多的是第 3 行代碼，所以，我們只要能計算出這行代碼被執行了多少次，就能知道整段代碼的時間復雜度。 從代碼中可以看出，變量 i 的值從 1 開始取，每循環一次就乘以 2。當大於 n 時，循環結束。觀察變量 i 的增長規律，我們可以發現，它的取值是一個等比數列。如果我們把它一個一個列出來，就應該是這個樣子的：
理解了 O(logn)，那 O(nlogn) 就很容易理解了。前面我們講了時間復雜度分析的乘法法則，如果一段代碼的時間復雜度是 O(logn)，我們循環執行 n 遍，那么時間復雜度就是 O(nlogn) 了。（常見的歸並排序、快速排序的時間復雜度都是 O(nlogn)）
3、O(m+n)、O(m*n)
來看這樣一段代碼：
1 int cal(int m, int n) { 2 int sum_1 = 0; 3 int i = 0; 4 for (; i < m; ++i) { 5 sum_1 = sum_1 + i; 6 } 7 8 int sum_2 = 0; 9 int j = 0; 10 for (; j < n; ++j) { 11 sum_2 = sum_2 + j; 12 } 13 14 return sum_1 + sum_2; 15 }
從代碼中可以看出，m 和 n 是表示兩個未知的數據規模，其大小關系也無法確定，所以我們在表示復雜度的時候，就不能簡單地利用加法法則，省略掉其中一個。所以，上面代碼的時間復雜度就是 O(m+n)。
針對這種情況，原來的加法法則就不正確了，我們需要將加法規則改為：T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。但是乘法法則繼續有效：T1(m)*T2(n) = O(f(m) * f(n))。
空間復雜度分析
相比起時間復雜度分析，空間復雜度分析方法學起來就非常簡單了。
這里也舉一個例子進行說明：
1 void print(int n) {
2 int i = 0; 3 int[] a = new int[n]; 4 for (i; i <n; ++i) { 5 a[i] = i * i; 6 } 7 }
這里第 3 行申請了一個大小為 n 的 int 類型數組，除此之外，其余代碼所占空間都是可以忽略的，所以整段代碼的空間復雜度就是 O(n)。
我們常見的空間復雜度就是 O(1)、O(n)、O(n^2 )，像 O(logn)、O(nlogn) 這樣的對數階空間復雜度平時都用不到，相比起來，空間復雜度分析比時間復雜度分析要簡單很多。
內容小結
總結一下：復雜度包括時間復雜度和空間復雜度，用來分析算法執行效率與數據規模之間的增長關系，越高階復雜度的算法，執行效率越低。常見的復雜度從低階到高階有：O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n^2 )。
