函數概念
函數的概念有兩個，其一為初中的定義，稱為傳統定義，其二為高中的定義，稱為近代定義。
傳統定義：設在某變化過程中有兩個變量\(x\)、\(y\)，如果對於\(x\)在某一范圍內的每一個確定的值，\(y\)都有唯一確定的值與它對應，那么就稱\(y\)是\(x\)的函數，\(x\)叫做自變量。我們將自變量\(x\)取值的集合叫做函數的定義域，和自變量\(x\)對應的\(y\)的值叫做函數值，函數值的集合叫做函數的值域。
近代定義：設\(A\)，\(B\)都是非空的數集，\(f：x→y\)是從\(A\)到\(B\)的一個對應法則，那么從\(A\)到\(B\)的映射\(f：A→B\)就叫做函數，記作\(y=f(x)\)，其中\(x∈A\)，\(y∈B\)，原象集合\(A\)叫做函數\(f(x)\)的定義域，象集合\(C\)叫做函數\(f(x)\)的值域，顯然有\(C\subseteq B\)。
- 對函數概念的理解
函數的兩個定義本質是一致的，只是敘述概念的出發點不同，傳統定義是從運動變化的觀點出發，而近代定義是從集合、映射的觀點出發。這樣，就不難得知函數實質是從非空數集A到非空數集B的一個特殊的映射。
概念理解
二、基於對應基礎的函數概念的理解[近代定義]
（1）首先需要先搞清楚對應的概念，
關於對應的概念，我們基於蜜蜂采蜜的生活常識來理解，可以一只蜜蜂采一朵花（稱為“一對一”的對應），
可以一只蜜蜂采多朵花（稱為“一對多”的對應），還可以多只蜜蜂采一朵花（稱為“多對一”的對應）
即對應有一對一，一對多和多對一三種對應關系。
（2）映射
能夠稱為映射的對應只有一對一和多對一兩種，其中一對多不能稱為映射，
映射\(f：A\rightarrow B\)和映射\(f：B\rightarrow A\)是不一樣的。
集合\(A，B\)不一定是數集，可以是圖形集，式集，點集，向量集等，
（3）函數
非空數集\(A\)到非空數集\(B\)的映射\(f：A\rightarrow B\)就稱為函數，記為\(y=f(x)\)。
- 符號\(y=f(x)\)即是“\(y\)是\(x\)的函數”的數學表示，
應理解為：\(x\)是自變量，它是法則所施加的對象；\(f\)是對應法則，它可以是一個或幾個解析式，可以是圖象、表格，也可以是文字描述；
\(y\)是自變量的函數，當\(x\)為允許的某一具體值時，相應的\(y\)值為與該自變量值對應的函數值，
當\(f\)用解析式表示時，則解析式為函數解析式。\(y=f(x)\)僅僅是函數符號，不是表示“\(y\)等於\(f\)與\(x\)的乘積”，
\(f(x)\)也不一定是解析式，在研究函數時，除用符號\(f(x)\)外，還常用\(g(x)\)，\(F(x)\)，\(G(x)\)等符號來表示。
（4）映射與函數的關系：
由關系圖可以看出，函數是映射的特殊情況，映射是函數的拓展和推廣。
函數是特殊的映射，比如\(f：A\rightarrow B\)，其特殊性有以下兩點：
①函數是從非空數集\(A\)到非空數集\(B\)的映射；
②集合\(B\)中的每一個元素都有原像，所以\(A\)是定義域，\(B\)是值域。
典例剖析
分析：由函數的概念可知，從非空數集到非空數集的映射中，一對一和多對一的映射能上升為函數，但是一對多的映射不能上升為函數，體現在形上，即直線\(x=a\)(\(a\)為常數)與函數\(y=f(x)\)的圖像有\(0\)個或\(1\)個交點，故本題目就是用數學語言刻畫的這個意思，故本題選\(C\)。
給定集合\(A=\{1，2，3\}\)，集合\(B=\{a，b，c，d\}\) ，求映射\(f:A \rightarrow B\)的個數和映射\(f:B \rightarrow A\)的個數。
分析：依據映射的概念，映射\(f:A \rightarrow B\)需要給集合\(A\)中的每一個元素(原像)，都找一個確定的對應對象(像)。
此時注意，原像必須有與之對應的唯一的像，但是像不一定必須有原像和她對應。
我們分步完成：先給元素\(1\)分配對象，每次取一個有\(a、b、c、d\)四種選擇；
再給元素\(2\)分配對象，每次取一個也有\(a、b、c、d\)四種選擇；
最后給元素\(3\)分配對象，每次取一個也有\(a、b、c、d\)四種選擇，
允許出現元素\(1、2、3\)都對應到元素\(a\)上而其他元素沒有原像與之對應的情形出現；
利用乘法原理，映射\(f:A \rightarrow B\)共有\(4\times 4\times4=4^3\)個，即\((cardB)^{cardA}\)個。
同理，映射\(f:B \rightarrow A\)共有\(3^4\)個，即\((cardA)^{cardB}\)個。
給定集合\(A=\{1，2，3\}\)，集合\(B=\{a，b，c\}\) ，求一一映射\(f：A \rightarrow B\)的個數和一一映射\(f：B \rightarrow A\)的個數。
先分析一一映射\(f:A \rightarrow B\)的個數，由於是一一映射，類似有3人坐3個凳子，故有\(A_3^3=6\)個。
同理，一一映射\(f：B \rightarrow A\)的個數也是\(6\)種。
