在機器學習的優化問題中，梯度下降法和牛頓法是常用的兩種凸函數求極值的方法，他們都是為了求得目標函數的近似解。在邏輯斯蒂回歸模型的參數求解中，一般用改良的梯度下降法，也可以用牛頓法。由於兩種方法有些相似，我特地拿來簡單地對比一下。下面的內容需要讀者之前熟悉兩種算法。
梯度下降法
梯度下降法用來求解目標函數的極值。這個極值是給定模型給定數據之后在參數空間中搜索找到的。迭代過程為：
可以看出，梯度下降法更新參數的方式為目標函數在當前參數取值下的梯度值，前面再加上一個步長控制參數alpha。梯度下降法通常用一個三維圖來展示，迭代過程就好像在不斷地下坡，最終到達坡底。為了更形象地理解，也為了和牛頓法比較，這里我用一個二維圖來表示：
懶得畫圖了直接用這個展示一下。在二維圖中，梯度就相當於凸函數切線的斜率，橫坐標就是每次迭代的參數，縱坐標是目標函數的取值。每次迭代的過程是這樣：
- 首先計算目標函數在當前參數值的斜率（梯度），然后乘以步長因子后帶入更新公式，如圖點所在位置（極值點右邊），此時斜率為正，那么更新參數后參數減小，更接近極小值對應的參數。
- 如果更新參數后，當前參數值仍然在極值點右邊，那么繼續上面更新，效果一樣。
- 如果更新參數后，當前參數值到了極值點的左邊，然后計算斜率會發現是負的，這樣經過再一次更新后就會又向着極值點的方向更新。
根據這個過程我們發現，每一步走的距離在極值點附近非常重要，如果走的步子過大，容易在極值點附近震盪而無法收斂。解決辦法：將alpha設定為隨着迭代次數而不斷減小的變量，但是也不能完全減為零。
梯度下降法的缺點：
（1）靠近極小值時收斂速度減慢；
（2）直線搜索時可能會產生一些問題；
（3）可能會“之字形”地下降。
梯度下降的算法調優：
在使用梯度下降時，需要進行調優。哪些地方需要調優呢？
1. 算法的步長選擇。在前面的算法描述中，我提到取步長為1，但是實際上取值取決於數據樣本，可以多取一些值，從大到小，分別運行算法，看看迭代效果，如果損失函數在變小，說明取值有效，否則要增大步長。前面說了。步長太大，會導致迭代過快，甚至有可能錯過最優解。步長太小，迭代速度太慢，很長時間算法都不能結束。所以算法的步長需要多次運行后才能得到一個較為優的值。
2. 算法參數的初始值選擇。 初始值不同，獲得的最小值也有可能不同，因此梯度下降求得的只是局部最小值；當然如果損失函數是凸函數則一定是最優解。由於有局部最優解的風險，需要多次用不同初始值運行算法，關鍵損失函數的最小值，選擇損失函數最小化的初值。
3.歸一化。由於樣本不同特征的取值范圍不一樣，可能導致迭代很慢，為了減少特征取值的影響，可以對特征數據歸一化，也就是對於每個特征x，求出它的期望x¯¯¯和標准差std(x)，然后轉化為：
這樣特征的新期望為0，新方差為1，迭代次數可以大大加快。
牛頓法
首先得明確，牛頓法是為了求解函數值為零的時候變量的取值問題的，具體地，當要求解 f(θ)=0時，如果 f可導，那么可以通過迭代公式
來迭代求得最小值。通過一組圖來說明這個過程。
當應用於求解最大似然估計的值時，變成ℓ′(θ)=0的問題。這個與梯度下降不同，梯度下降的目的是直接求解目標函數極小值，而牛頓法則變相地通過求解目標函數一階導為零的參數值，進而求得目標函數最小值。那么迭代公式寫作：
當θ是向量時，牛頓法可以使用下面式子表示：
其中H叫做海森矩陣，其實就是目標函數對參數θ的二階導數。
通過比較牛頓法和梯度下降法的迭代公式，可以發現兩者及其相似。海森矩陣的逆就好比梯度下降法的學習率參數alpha。牛頓法收斂速度相比梯度下降法很快，而且由於海森矩陣的的逆在迭代中不斷減小，起到逐漸縮小步長的效果。
牛頓法的優缺點總結：
優點：二階收斂，收斂速度快；
缺點：牛頓法是一種迭代算法，每一步都需要求解目標函數的Hessian矩陣的逆矩陣，計算比較復雜。