神經網絡優化算法：梯度下降法、Momentum、RMSprop和Adam

最近回顧神經網絡的知識，簡單做一些整理，歸檔一下神經網絡優化算法的知識。關於神經網絡的優化，吳恩達的深度學習課程講解得非常通俗易懂，有需要的可以去學習一下，本人只是對課程知識點做一個總結。吳恩達的深度學習課程放在了網易雲課堂上，鏈接如下（免費）：
https://mooc.study.163.com/smartSpec/detail/1001319001.htm

神經網絡最基本的優化算法是反向傳播算法加上梯度下降法。通過梯度下降法，使得網絡參數不斷收斂到全局（或者局部）最小值，但是由於神經網絡層數太多，需要通過反向傳播算法，把誤差一層一層地從輸出傳播到輸入，逐層地更新網絡參數。由於梯度方向是函數值變大的最快的方向，因此負梯度方向則是函數值變小的最快的方向。沿着負梯度方向一步一步迭代，便能快速地收斂到函數最小值。這就是梯度下降法的基本思想，從下圖可以很直觀地理解其含義。

梯度下降法的迭代公式如下：

\[w=w-\alpha* dw \]

其中w是待訓練的網絡參數，\(\alpha\)是學習率，是一個常數，dw是梯度。以上是梯度下降法的最基本形式，在此基礎上，研究人員提出了其他多種變種，使得梯度下降法收斂更加迅速和穩定，其中最優秀的代表便是Mommentum, RMSprop和Adam等。

Momentum算法

Momentum算法又叫做沖量算法，其迭代更新公式如下：

\[\begin{cases} v=\beta v+(1-\beta)dw \\ w=w-\alpha v \end{cases} \]

光看上面的公式有些抽象，我們先介紹一下指數加權平均，再回過頭來看這個公式，會容易理解得多。

指數加權平均

假設我們有一年365天的氣溫數據\(\theta_1,\theta_2,...,\theta_{365}\)，把他們化成散點圖，如下圖所示：

這些數據有些雜亂，我們想畫一條曲線，用來表征這一年氣溫的變化趨勢，那么我們需要把數據做一次平滑處理。最常見的方法是用一個華東窗口滑過各個數據點，計算窗口的平均值，從而得到數據的滑動平均值。但除此之外，我們還可以使用指數加權平均來對數據做平滑。其公式如下：

\[\begin{cases} v_0=0 \\ v_k=\beta v_{k-1}+(1-\beta)\theta_k, \quad k=1,2,...,365 \end{cases} \]

v就是指數加權平均值，也就是平滑后的氣溫。\(\beta\)的典型值是0.9，平滑后的曲線如下圖所示：

對於\(v_k=\beta v_{k-1}+(1-\beta)\theta_k\)，我們把它展開，可以得到如下形式：

\[\begin{split} v_k&=\beta v_{k-1}+(1-\beta)\theta_k \\ &=\beta^kv_0+\beta^{k-1}(1-\beta)\theta_1+\beta^{k-2}(1-\beta)\theta_2+\dots+\beta(1-\beta)\theta_{k-1}+(1-\beta)\theta_k \\ &=\beta^{k-1}(1-\beta)\theta_1+\beta^{k-2}(1-\beta)\theta_2+\dots+\beta(1-\beta)\theta_{k-1}+(1-\beta)\theta_k \end{split} \]

可見，平滑后的氣溫，是以往每一天原始氣溫的加權平均值，只是這個權值是隨時間的遠近而變化的，離今天越遠，權值越小，且呈指數衰減。從今天往前數k天，它的權值為\(\beta^k(1-\beta)\)。當\(\beta=\frac{1}{1-\beta}\)時，由於\(\underset{\beta \rightarrow 1}{lim}\beta^k(1-\beta)=e^{-1}\)，權重已經非常小，更久遠一些的氣溫數據權重更小，可以認為對今天的氣溫沒有影響。因此，可以認為指數加權平均計算的是最近\(\frac{1}{1-\beta}\)個數據的加權平均值。通常\(\beta\)取值為0.9，相當於計算10個數的加權平均值。但是按照原始的指數加權平均公式，還有一個問題，就是當k比較小時，其最近的數據太少，導致估計誤差比較大。例如\(v_1=0.9 v_0 + (1-0.9)\theta_1=0.1\theta_1\)。為了減小最初幾個數據的誤差，通常對於k比較小時，需要做如下修正：

\[v_k=\frac{\beta v_{k-1}+(1-\beta)\theta_k}{1-\beta^k} \]

\(1-\beta^k\)是所有權重的和，這相當於對權重做了一個歸一化處理。下面的圖中，紫色的線就是沒有做修正的結果，修正之后就是綠色曲線。二者在前面幾個數據點之間相差較大，后面則基本重合了。

回看Momentum算法

現在再回過頭來看Momentum算法的迭代更新公式：

\[\begin{cases} v=\beta v+(1-\beta)dw \\ w=w-\alpha v \end{cases} \]

\(dw\)是我們計算出來的原始梯度，\(v\)則是用指數加權平均計算出來的梯度。這相當於對原始梯度做了一個平滑，然后再用來做梯度下降。實驗表明，相比於標准梯度下降算法，Momentum算法具有更快的收斂速度。為什么呢？看下面的圖，藍線是標准梯度下降法，可以看到收斂過程中產生了一些震盪。這些震盪在縱軸方向上是均勻的，幾乎可以相互抵消，也就是說如果直接沿着橫軸方向迭代，收斂速度可以加快。Momentum通過對原始梯度做了一個平滑，正好將縱軸方向的梯度抹平了（紅線部分），使得參數更新方向更多地沿着橫軸進行，因此速度更快。

RMSprop算法

對於上面的這個橢圓形的拋物面（圖中的橢圓代表等高線），沿着橫軸收斂速度是最快的，所以我們希望在橫軸（假設記為w1）方向步長大一些，在縱軸（假設記為w2）方向步長小一些。這時候可以通過RMSprop實現，迭代更新公式如下：

\[\begin{cases} s_1=\beta_1 s_1+(1-\beta_1)dw_1^2 \\ s_2=\beta_2 s_2+(1-\beta_2)dw_2^2 \end{cases} \]

\[\begin{cases} w_1=w_1-\alpha \frac{dw_1}{\sqrt{s_1+\epsilon}} \\ w_2=w_2-\alpha \frac{dw_2}{\sqrt{s_2+\epsilon}} \end{cases} \]

觀察上面的公式可以看到，s是對梯度的平方做了一次平滑。在更新w時，先用梯度除以\(\sqrt{s_1+\epsilon}\)，相當於對梯度做了一次歸一化。如果某個方向上梯度震盪很大，應該減小其步長；而震盪大，則這個方向的s也較大，除完之后，歸一化的梯度就小了；如果某個方向上梯度震盪很小，應該增大其步長；而震盪小，則這個方向的s也較小，歸一化的梯度就大了。因此，通過RMSprop，我們可以調整不同維度上的步長，加快收斂速度。把上式合並后，RMSprop迭代更新公式如下：

\[\begin{cases} s=\beta s+(1-\beta)dw^2 \\ w=w-\alpha\frac{dw}{\sqrt{s+\epsilon}} \end{cases} \]

\(\beta\)的典型值是0.999。公式中還有一個\(\epsilon\)，這是一個很小的數，典型值是\(10^{-8}\)。

Adam算法

Adam算法則是以上二者的結合。先看迭代更新公式：

\[\begin{cases} v=\beta_1 v+(1-\beta_1)dw \\ s=\beta_2 s+(1-\beta_2)dw^2 \\ w=w-\alpha\frac{v}{\sqrt{s+\epsilon}} \end{cases} \]

典型值：\(\beta_1=0.9, \quad \beta_2=0.999, \quad \epsilon=10^{-8}\)。Adam算法相當於先把原始梯度做一個指數加權平均，再做一次歸一化處理，然后再更新梯度值。