KMP算法，又稱作“看貓片”算法（誤），是一種改進的字符串模式匹配算法，可以在O(n+m)的時間復雜度以內完成字符串的匹配操作，其核心思想在於：當一趟匹配過程中出現字符不匹配時，不需要回溯主串的指針，而是利用已經得到的“部分匹配”，將模式串盡可能多地向右“滑動”一段距離，然后繼續比較。
1. 朴素的字符串模式匹配算法
求一個字符串（模式串）在另一個字符串（主串）中的位置，稱為字符串模式匹配。
在朴素的字符串模式匹配算法中，我們對主串S和模式串T分別設置指針i和j，假設字符串下標從0開始，初始時i和j分別指向每個串的第0個位置。在第n趟匹配開始時，i指向主串S中的第n-1個位置，j指向模式串T的第0個位置，然后逐個向后比較。若T中的每一個字符都與S中的字符相等，則稱匹配成功，否則，當遇到某個字符不相等時，i重新指向S的第n個位置，j重新指向T的第0個位置，繼續進行第n+1趟匹配。
例如，我們對模式串T=“abaabcac”和主串S=“abcabaabaabcacb”進行匹配。如圖1.1，此時正在進行第4趟匹配，S[3...7]與T[0...4]均相等，但當i=8，j=5時，S[8]與T[5]不相等，匹配失敗。於是，置i=4，j=0，相當於將模式串向右移動一位后，重新開始下一趟匹配，如圖1.2。
2. 改進的字符串模式匹配算法——KMP算法
在上面的例子中，我們可以看到，當i=8，j=5時，S[8]與T[5]不相等，於是置i=4，j=0，相當於將模式串向右移動一位，再開始下一趟匹配。然而，通過觀察我們可以發現，之后的兩趟匹配，即i=4，j=0以及i=5，j=0都是不必要的。這是因為，在之前的一趟匹配過程中，我們已經部分匹配了T的子串“abaab”。此時將T向右移動一位，則相當於對T中的“abaab……”與S中的“baab……”進行匹配，顯然無法匹配成功。繼續右移T，則相當於對T中的“abaab……”與S中的“aab……”進行匹配，依然無法匹配成功。只有當T向右移動3位后，此時對T中的“abaab……”與S中的“ab……”進行匹配，才會有成功的可能，也就有必要向后繼續進行比較。如圖2.1。
這就是KMP算法的基本思路。對於模式串T中的前j個字符組成的子串，設置數組next[j]存放一個值，當模式串T匹配至第j個字符時與主串不相等，則i指針不變，將j指針置為next[j]的值，然后繼續進行比較。在上例中，串“abaab”為模式串T的前5個字符組成的子串，令next[5]=2，當i=8，j=5時，S[8]與T[5]不相等，於是置i=8，j=next[j]=next[5]=2，然后繼續進行比較。
因此，KMP算法的核心在於求出數組next，即模式串T中每一個長度為j (0<j<T.length) 的前綴所對應的next[j]的值。
next數組求解算法
在求解next數組前，我們首先需要理解next數組的含義。回到前面的例子，當T的子串“abaab”的下一個字符與主串不相等時，主串的指針i不變，j回溯至2，指向T的第3個字符，其本質是因為串“abaab”的前綴和后綴有一個長度為2的最長公共串“ab”，因此我們省略了前綴“ab”和后綴“ab”的比較過程，直接對它們的后一個字符，即T[2]和S[8]進行比較。
再看另一個例子，假設有模式串T=“abacaabadad”，其已部分匹配完T[0...7]，即“abacaaba”，在匹配T[8]時遇到匹配失敗，因T[0...7]的前綴和后綴有長度為3的最長公共串“aba”，因此next[8]=3，置j=next[j]=next[8]=3，i不變，然后從T[3]，即T的第4個字符開始比較。如圖2.3。
總之，對於模式串T，next[j]代表了T的前j個字符組成的子串中，其前綴和后綴的最長公共串的長度。
求解字符串T的next數組的算法如下：
- next[0]=-1, next[1]=0。
- 在求解next[j]時，令k=next[j-1]，
- 比較T[j-1]與T[k]的值，
a. 若T[j-1]等於T[k]，則next[j]=k+1。
b. 若T[j-1]不等於T[k]，令k=next[k]，若k等於-1，則next[j]=0，否則跳至3。
下面以模式串T=“abaabcac”為例，給出求next數組的過程：
- next[0]=-1, next[1]=0。
- 當j=2時，k=next[j-1]=next[1]=0，由於T[j-1]=T[1]=‘b’，T[k]=T[0]=‘a’，T[j-1]不等於T[k]，令k=next[k]=next[0]=-1，因此next[2]=0。
- 當j=3時，k=next[j-1]=next[2]=0，由於T[j-1]=T[2]=‘a’，T[k]=T[0]=‘a’，T[j-1]等於T[k]，因此next[3]=k+1=1。
- 當j=4時，k=next[j-1]=next[3]=1，由於T[j-1]=T[3]=‘a’，T[k]=T[1]=‘b’，T[j-1]不等於T[k]，令k=next[k]=next[1]=0。此時T[k]=T[0]=‘a’，T[j-1]等於T[k]，因此next[4]=k+1=1。
- 當j=5時，k=next[j-1]=next[4]=1，由於T[j-1]=T[4]=‘b’，T[k]=T[1]=‘b’，T[j-1]等於T[k]，因此next[5]=k+1=2。
- 當j=6時，k=next[j-1]=next[5]=2，由於T[j-1]=T[5]=‘c’，T[k]=T[2]=‘a’，T[j-1]不等於T[k]，令k=next[k]=next[2]=0。此時T[k]=T[0]=‘a’，T[j-1]不等於T[k]，再令k=next[k]=next[0]=-1，因此next[6]=0。
- 當j=7時，k=next[j-1]=next[6]=0，由於T[j-1]=T[6]=‘a’，T[k]=T[0]=‘a’，T[j-1]等於T[k]，因此next[7]=k+1=1。
將next數組全部求出之后，只需在簡單的匹配算法上稍作修改，便得到了KMP的匹配算法：當模式串T匹配至第j個字符時匹配失敗，i指針不變，將j指針置為next[j]的值，若j的值為-1，則將i和j同時加1。隨后繼續進行逐個的比較。
下面以模式串T=“abaabcac”和主串S=“abcabaabaabcacb”進行匹配為例，給出KMP匹配算法的全過程。
之前已經求得模式串T的next數組為[-1, 0, 0, 1, 1, 2, 0, 1]。
- 初始時，i=0，j=0，匹配成功。
以上就是KMP匹配算法的全過程。總結一下，KMP算法的實質就是以空間換時間，在匹配之前將模式串的一些信息存儲起來（next數組），在隨后的匹配過程中利用這些信息減少不必要的匹配次數，以提高匹配效率。在實際的應用過程中，簡單模式匹配算法的執行時間常常接近於KMP算法，僅當主串與模式串有很多“部分匹配”時，KMP算法才能顯著提升性能。
3. KMP算法的Java實現
下面給出KMP算法的Java代碼。整個算法分為兩部分，一是next數組的求解，二是KMP匹配過程。
public class KMP {
/**
* 求出一個字符數組的next數組
* @param t 字符數組
* @return next數組
*/
public static int[] getNextArray(char[] t) {
int[] next = new int[t.length];
next[0] = -1;
next[1] = 0;
int k;
for (int j = 2; j < t.length; j++) {
k=next[j-1];
while (k!=-1) {
if (t[j - 1] == t[k]) {
next[j] = k + 1;
break;
}
else {
k = next[k];
}
next[j] = 0; //當k==-1而跳出循環時，next[j] = 0，否則next[j]會在break之前被賦值
}
}
return next;
}
/**
* 對主串s和模式串t進行KMP模式匹配
* @param s 主串
* @param t 模式串
* @return 若匹配成功，返回t在s中的位置（第一個相同字符對應的位置），若匹配失敗，返回-1
*/
public static int kmpMatch(String s, String t){
char[] s_arr = s.toCharArray();
char[] t_arr = t.toCharArray();
int[] next = getNextArray(t_arr);
int i = 0, j = 0;
while (i<s_arr.length && j<t_arr.length){
if(j == -1 || s_arr[i]==t_arr[j]){
i++;
j++;
}
else
j = next[j];
}
if(j == t_arr.length)
return i-j;
else
return -1;
}
public static void main(String[] args) {
System.out.println(kmpMatch("abcabaabaabcacb", "abaabcac"));
}
}
參考資料及致謝
在學習KMP算法思路的過程中，我大量參考了“王道考研系列”的《數據結構聯考復習指導》一書，以及CSDN博主v_JULY_v的文章：從頭到尾徹底理解KMP，特此鳴謝。
同時感謝微博博主@回憶專用小馬甲和實驗室的大紅袍CocoXu提供的大量貓片，讓我在學習KMP算法的過程中擁有持續的動力。
文章中如有錯誤，歡迎指正！