數組不相鄰元素之和的最大值

一、題目描述

今天下午面試老虎證券，被問到這題，當時腦子有點蒙，代碼沒寫出來。這題的意思就是給你一個數組，讓你計算元素的和，但是這些元素都不能相鄰，求最大的和。其實這題很常見，在leetcode上面也有，但是原題是這樣的：

假設你是一個專業的竊賊，准備沿着一條街打劫房屋。每個房子都存放着特定金額的錢。你面臨的唯一約束條件是：相鄰的房子裝着相互聯系的防盜系統，且 當相鄰的兩個房子同一天被打劫時，該系統會自動報警。給定一個非負整數列表，表示每個房子中存放的錢， 算一算，如果今晚去打劫，你最多可以得到多少錢 在不觸動報警裝置的情況下。

例如：

數組arr為[1, 3, 5, 4, 9]，那么結果為 1 + 5 + 9 = 15，再例如數組arr為[5, 1, 3, 11, 7]，那么結果為5 + 11 = 16，從這兩個例子可以看出，單純的計算奇數位的和或者偶數位的和得到的結果未必是最大的。

解題思路：

定義一個數組p，p[i] 代表從第0到第i個房屋，打劫第i個房屋為止所獲得金錢總額，也就是說第i個房屋要打劫，而p[i]肯定等於arr[i] + p[i-2]或者arr[i] + p[i-3]的最大值，因為相鄰的房屋不能打劫，所以p[i-1]不能算。最后我們只要計算p[arr.length-1]和p[arr.length-2]哪個大就行了。p[arr.length-3]肯定不是最大的，因為p[arr.length-3] + arr[arr.length-1]肯定比p[arr.length-3]大。

二、代碼實現

public static int getMaxSum(int[] arr) {
        if(arr.length == 0) return 0;
        if(arr.length == 1) return arr[0];
        if(arr.length == 2) return Math.max(arr[0], arr[1]);
        if(arr.length == 3) return Math.max(arr[1], arr[0] + arr[2]);
        int[] p = new int[arr.length];
        p[0] = arr[0];
        p[1] = arr[1];
        p[2] = arr[0] + arr[2];
        for(int i = 3; i < arr.length; i++) {
            p[i] = arr[i] + Math.max(p[i-2], p[i-3]);
        }
        return Math.max(p[arr.length-1],p[arr.length-2]);
    }

其實這題還能優化為o(1)的空間，從上面的代碼分析，在計算打劫第i個房屋的收益的時候，其實只是和打劫前面3個房屋的收益有關，我們完全可以定義4個變量來表示。

public static int getMaxSum2(int[] arr) {
        if(arr.length == 0) return 0;
        if(arr.length == 1) return arr[0];
        if(arr.length == 2) return Math.max(arr[0], arr[1]);
        if(arr.length == 3) return Math.max(arr[1], arr[0] + arr[2]);
        int m0 = arr[0];
        int m1 = arr[1];
        int m2 = arr[0] + arr[2];
        int m3 = 0;
        for(int i = 3; i < arr.length; i++) {
            m3 = arr[i] + Math.max(m0, m1);
            m0 = m1;
            m1 = m2;
            m2 = m3;
        }
        return Math.max(m3, m2);
    }