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LCT總結——應用篇（附題單）（LCT）

本文轉載自   查看原文   2018-08-18 20:21   10255    OI——算法總結/ LCT/ 數據結構——鏈剖——LCT

為了優化體驗（其實是強迫症），蒟蒻把總結拆成了兩篇，方便不同學習階段的Dalao們切換。

LCT總結——概念篇戳這里

題單

灰常感謝XZY巨佬提供的強力資磁！（可參考XZY巨佬的博客總結）
題單對於系統地學習一個知識點還是有好處的。
所以蒟蒻搜集了各處的LCT題目（其實作為近年新興的知識點，現有的好題不是很多，有些題樹剖也可做）
大概按細化分類進行整理（類比下面的幾個細化知識點，會有重復的列舉）
同一類中的題目也大概按難度遞增吧（太弱了，對每個題的難度定位或許有不准的地方，歡迎討論！）

維護鏈信息（LCT上的平衡樹操作）

動態維護連通性&雙聯通分量（可以說是並查集的升級，因為並查集只能連不能斷）

維護邊權（常用於維護生成樹）

維護子樹信息

維護樹上染色聯通塊

特殊題型

操作升級！（模板以外的細化總結）

維護鏈信息（LCT上的平衡樹操作）

思路與模板基本都很像了，就不展開討論了

例題1

洛谷P1501 [國家集訓隊]Tree II(點擊進入題目）
感覺難度評定也高了點吧
有了鏈上乘法和鏈上加法，那肯定是像線段樹區間修改那樣使用懶標記了。
放標記的做法來自[模板]線段樹2
那里發題解的Dalao們都講得挺好的，本蒟蒻參考一下。
蒟蒻的題解在這里

例題2

洛谷P3203 [HNOI2010]彈飛綿羊（點擊進入題目）
略帶一點思維，但是代碼比模板還簡單。。。。。。
在LCT模板基礎上進行靈活運用，可以使代碼和程序都做到高效。
蒟蒻的題解在這里

例題3

洛谷P4332 [SHOI2014]三叉神經樹
沒有那么裸了，仔細分析並利用好題目的性質
蒟蒻的題解在這里

動態維護連通性&雙聯通分量

維護連通性？findroot判一下就好啦！屬於模板范疇
至於雙連通分量，LCT好像只能資磁加邊。。。。。。
LCT中的每個點其實代表的是一個雙連通分量，維護每個點屬於哪個雙連通分量需要在外面弄一個並查集維護。
加邊時，如果兩點不連通就link；
如果連通就說明有環，把環縮成一個點，在並查集里也全部合並在一起
其中要注意很多細節，具體就看下下面例題2的代碼吧

例題1

洛谷P3950 部落沖突（點擊進入題目）
正解不是LCT。。。。。。
只是這里用LCT的思路非常簡單甚至於無腦。。。。。。
蒟蒻題解

例題2

洛谷P2542 [AHOI2005]航線規划（點擊進入題目）
基礎的動態維護雙連通分量，具體就看看題解吧
蒟蒻題解

維護鏈上的邊權信息（生成樹）

普通LCT維護點權，那對於邊權呢？比如要獲取一條路徑上最長的邊，等等。
這種維護的最經典的應用，大概就是動態維護一顆最小/大生成樹了（需要獲取邊長度等信息）。
我起初有一種想法。
一棵樹，除了根節點，每個節點有且僅有一條父邊。
那么如果我們只要邊的信息，可不可以就把LCT中的點的點權當成父邊的邊權呢？
在其它不少數據結構中好像是可以這樣做的。
只不過LCT性質非常特殊。一旦換了根，原先邊的父子關系就破壞了。所以並不能這樣做。
那又如何是好呢？
我在網上看到有些博客介紹的方法，是把邊置於LCT外，然后在LCT節點中維護父邊和重子邊的編號，需要更新信息時從外部獲取，在access，link，cut時額外更改。
這樣好像挺麻煩的，要維護那么多東西。
另一種更抽象的做法，也是我要分享的，就是兩個字——拆邊，把邊視作為一個點，向該邊的兩個端點連兩條邊。
只需要維護邊權的時候，邊權存在LCT中代表邊的點權里，因為不需要維護真正的點權，所以LCT中的代表點的點權可以設成空的（0），不會影響信息的正確性。於是就變成了維護點權。
當然了，原先我們的link和cut是對於兩個點的，現在有點不一樣了（因為兩點之間又多了一個代表邊的點）
update:發現之前描述的寫法有問題，且並不能優化多少常數，在這里更正一下
寫法就是link/cut兩次，比如

    link(e[i].id,e[i].x);link(e[i].id,e[i].y);
    cut(e[i].id,e[i].x);cut(e[i].id,e[i].y);

例題一

洛谷P4180 [BJWC2010]次小生成樹
其實這道題用LCT不是正解，不過是可做的（update：我后來又寫了LCT），放在這里一下吧。
用LCT維護最小生成樹，再去枚舉非樹邊嘗試替換樹邊，更新最優答案。
TPLY巨佬也用LCT做的（某問題導致常數巨大？），他的題解在這里
蒟蒻題解在這里

例題二

洛谷P2387 [NOI2014]魔法森林
我太弱啦！這種雙關鍵字的維護我是真的沒有思路，邊看着題解邊打出來的。orz XZY&XZZ兩位巨佬，題解點贊！
不過作為LCT維護邊權的好題目還是值得分享。
蒟蒻題解在這里

維護虛子樹信息總和與原樹信息總和

有時候，我們需要的並不是維護鏈的信息，而是子樹的信息。要知道，LCT是長於維護鏈的信息，而弱於維護子樹信息（這方面不得不承認樹剖的用處了，還要趕緊學）。然而動態的連邊和斷邊，又不得不要求我們使用LCT來維護。

其實，我們還是不會束手無策的。

維護子樹信息總和的一些常見題型，無非就是詢問整棵（原樹中的）子樹的總大小、權值總和、最值之類的東西。
我們已經可以通過輔助樹Splay來獲知Splay中的實子樹（也就是原樹中的一條鏈）的信息總和。
既然原樹的邊只有實與虛，子樹也只有實與虛，那么如果要想維護好原樹的信息總和，我們是不是首先要知道虛子樹的信息總和？
注：以下設虛子樹信息總和用數組si表示，原樹信息總和用s表示。此處si[x]只包含x所有虛子樹（通過輕邊指向x）的信息總和，而s[x]實際上是在LCT中的所有兒子的信息總和（包括輔助樹Splay中相對的左右兒子的總和與被輕邊所指的絕對的虛子樹的總和）。
那么如果我們確定了si[x]的值，是不是就知道了s[x]的值了？實加虛嘛！
這就是pushup，代碼

inline void pushup(int x){
	s[x]=s[c[x][0]]+s[c[x][1]]+si[x]+1;//大小總和，注意別漏了+1，自己也要算上
    //或者
	s[x]=s[c[x][0]]+s[c[x][1]]+si[x]+v[x];//權值總和，自己同樣也要算上
}

先不對這種方法是怎樣來的這個問題追本溯源，那我們就可以直接考慮si如何維護了。
還是直接假設我們已經提前維護好了si吧。
很顯然，si的變化取決於虛實邊的變化，所以現在我們只考慮LCT中的每個操作會對虛實邊產生怎樣的影響。

  • splay(x):顯然這一操作只會改變節點在輔助樹Splay中的相對位置，並不會對樹中的虛子樹信息產生任何影響。過程中的pushup會正確地更新s。
  • access(x):這個時候，我們發現，循環中每一次splay(x)后，我們更改了x的右子樹，也就是更改了虛實邊，那么會對信息產生影響。
    這里的影響，無非就是得到了一個虛兒子，失去了一個虛兒子，總和沒有改變。
    於是直接改就好啦，si加上原來右兒子的s，再減去新的右兒子的s。
    與原模板略有不同的代碼
inline void access(int x){
	for(int y=0;x;x=f[y=x]){
		splay(x);
		si[x]+=s[c[x][1]];
		si[x]-=s[c[x][1]=y];
		pushup(x);
//如果pushup只是更新原樹信息總和s的話，甚至這里可以不寫，畢竟加一個減一個，和沒變
	}
}
  • makeroot(x):並無影響。雖然樹的形態翻轉了，但是翻轉的只是實鏈。
  • findroot(x):顯然無影響（跳左兒子又沒改變樹的形態）
  • split(x,y):顯然無影響（除了調用三個函數外什么都沒干）
  • link(x,y):這就有影響了。y多了一個輕邊指向兒子x，那么s[y]，si[y]都加上s[x]。注意，多了一個子樹，那么y在LCT中的祖先的s也都要加上s[x]的值，卻沒有得到更新。我們在加上s[x]前，需要額外地把y轉到根（access(y)+splay(y)），y就沒有祖先了，再加，就不會影響信息的正確性了。
    與原模板略有不同的代碼
//保證連邊合法
inline void link(int x,int y){
	split(x,y);//這里不是提取x-y的路徑的意思，是makeroot+access+splay的偷懶寫法
	si[f[x]=y]+=s[x];
	pushup(y);
}
//不保證
inline bool link(int x,int y){
	makeroot(x);
	if(findroot(y)==x)return 0;//access+splay已完成
	si[f[x]=y]+=s[x];
	pushup(y);
	return 1;
}
  • cut(x,y):無影響，斷掉的是一條重邊，pushup(y)更新s[y]就好啦。

分析到此完畢。其實好像也就只改了一點點地方。。。。。。不過思路是很巧妙的，值得用心體會。

補充一句，如果要維護子樹里的最值，一個套路是在每個節點開一個平衡樹維護該節點所有虛子樹的最值，以便進行查詢和更改。

例題一

洛谷P4219 [BJOI2014]大融合（點擊進入題目）
當學會了LCT維護子樹信息和以后，這題就變得有些裸了。。。。。。
蒟蒻題解在這里

例題二

洛谷U19482 山村游歷(Wander)（點擊進入題目）
注：此題為WC模擬賽試題，版權歸出題人Philipsweng所有。小蒟蒻覺得這題出得很不錯，於是上傳至洛谷個人題庫，作為例題與大家分享。數據自測，如有問題歡迎反饋。
題目簡述：
沒有。。。。。。這是一個閱讀題，簡述的話就等於告訴你怎么做了
仔細讀一下題目吧，這道題水平挺高的。
思路分析：
也有點復雜
然而分析完了以后，又變成裸的了。。。。。。
算了，還是單獨建一篇隨筆吧。
蒟蒻題解在這里

維護樹上染色聯通塊

維護方法要視具體情況分析
可能可以開一個LCT然后把同色的點連起來，這樣做思路很簡單，但實現起來受局限
也可能有多少顏色就開多少個LCT，然后在對應顏色的LCT中連上
升級操作：修改點的顏色
需要轉化模型，可參考下面例題2
再次升級操作：修改鏈為同一種顏色
Link-Cut-Memphis（霧
看一下發明者Memphis巨佬的博客吧
以上兩種操作都是在ZJOI2018交流課上聽到的Orz

例題一

洛谷P3703 [SDOI2017]樹點塗色（點擊進入題目）
維護連通塊並不麻煩，只是思維難度超大。。。。。。
不會樹剖，焉知非福？
蒟蒻的題解

例題二

洛谷SP16549 QTREE6 - Query on a tree VI（點擊進入題目）
一直都把邊化為子節點，這次來把點化為父邊（霧
蒟蒻的題解

特殊題型

有一類題目是真的毒瘤，怪異到都幾乎認不出它的真面目
似乎並不能把它們歸為任何一類LCT題型或者任何一種套路
只好仔細分析題目，發現題目本身的特殊性，再轉化為LCT模型解決
然而我什么都分析不出來啊QwQ

例題一

洛谷P3613 睡覺困難綜合征洛谷P5354 [Ynoi2017]由乃的OJ
把起床困難綜合症——一個按位貪心的題目，完美地套在了LCT中
蒟蒻題解

例題二

洛谷P3348 [ZJOI2016]大森林
新技能get：虛點
離線的轉移思路也極為巧妙
蒟蒻題解

例題三

洛谷P4338 [ZJOI2018]歷史
ZJOI唯一可做題TAT
不來一些大力結論，根本做不下去。。。。。。
蒟蒻題解


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