B-樹由來
定義：B-樹是一類樹，包括B-樹、B+樹、B*樹等，是一棵自平衡的搜索樹，它類似普通的平衡二叉樹，不同的一點是B-樹允許每個節點有更多的子節點。B-樹是專門為外部存儲器設計的，如磁盤，它對於讀取和寫入大塊數據有良好的性能，所以一般被用在文件系統及數據庫中。
先來看看為什么會出現B-樹這類數據結構。
傳統用來搜索的平衡二叉樹有很多，如 AVL 樹，紅黑樹等。這些樹在一般情況下查詢性能非常好，但當數據非常大的時候它們就無能為力了。原因當數據量非常大時，內存不夠用，大部分數據只能存放在磁盤上，只有需要的數據才加載到內存中。一般而言內存訪問的時間約為 50 ns，而磁盤在 10 ms 左右。速度相差了近 5 個數量級，磁盤讀取時間遠遠超過了數據在內存中比較的時間。這說明程序大部分時間會阻塞在磁盤 IO 上。那么我們如何提高程序性能？減少磁盤 IO 次數，像 AVL 樹，紅黑樹這類平衡二叉樹從設計上無法“迎合”磁盤。
關於磁盤可參考 淺談計算機中的存儲模型（四）磁盤
上圖是一顆簡單的平衡二叉樹，平衡二叉樹是通過旋轉來保持平衡的，而旋轉是對整棵樹的操作，若部分加載到內存中則無法完成旋轉操作。其次平衡二叉樹的高度相對較大為 log n（底數為2），這樣邏輯上很近的節點實際可能非常遠，無法很好的利用磁盤預讀（局部性原理），所以這類平衡二叉樹在數據庫和文件系統上的選擇就被 pass 了。
空間局部性原理：如果一個存儲器的某個位置被訪問，那么將它附近的位置也會被訪問。
我們從“迎合”磁盤的角度來看看B-樹的設計。
索引的效率依賴與磁盤 IO 的次數，快速索引需要有效的減少磁盤 IO 次數，如何快速索引呢？索引的原理其實是不斷的縮小查找范圍，就如我們平時用字典查單詞一樣，先找首字母縮小范圍，再第二個字母等等。平衡二叉樹是每次將范圍分割為兩個區間。為了更快，B-樹每次將范圍分割為多個區間，區間越多，定位數據越快越精確。那么如果節點為區間范圍，每個節點就較大了。所以新建節點時，直接申請頁大小的空間（磁盤是按 block 分的，一般為 512 Byte。磁盤 IO 一次讀取若干個 block，我們稱為一頁，具體大小和操作系統有關，一般為 4 k，8 k或 16 k），計算機內存分配是按頁對齊的，這樣就實現了一個節點只需要一次 IO。
上圖是一棵簡化的B-樹，多叉的好處非常明顯，有效的降低了B-樹的高度，為底數很大的 log n，底數大小與節點的子節點數目有關，一般一棵B-樹的高度在 3 層左右。層數低，每個節點區確定的范圍更精確，范圍縮小的速度越快。上面說了一個節點需要進行一次 IO，那么總 IO 的次數就縮減為了 log n 次。B-樹的每個節點是 n 個有序的序列(a1,a2,a3…an)，並將該節點的子節點分割成 n+1 個區間來進行索引(X1< a1, a2 < X2 < a3, … , an+1 < Xn < anXn+1 > an)。
B-樹
上圖是一顆B-樹，B-樹的每個節點有 d~2d 個 key，這個因子指明了樹的分裂及合並的規則，這個規則維持了B-樹的平衡。
B-樹的插入和刪除就不具體介紹了，很多資料都描述了這一過程。在普通平衡二叉樹中，插入刪除后若不滿足平衡條件則進行 旋轉 操作，而在B-樹中，插入刪除后不滿足條件則進行分裂及合並操作。
簡單敘述下分裂及合並操作。
分裂：如果有一個節點有 2d 個 key，增加一個后為 2d+1 個 key，不符合上述規則 B-樹的每個節點有 d~2d 個 key，大於 2d，則將該節點進行分裂，分裂為兩個 d 個 key 的節點並將中值 key 歸還給父節點。
合並：如果有一個節點有 d 個 key，刪除一個后為 d-1 個 key，不符合上述規則 B-樹的每個節點有 d~2d 個 key，小於 d，則將該節點進行合並，合並后若滿足條件則合並完成，不滿足則均分為兩個節點。
B-樹的查找
我們來看看B-樹的查找，假設每個節點有 n 個 key值，被分割為 n+1 個區間，注意，每個 key 值緊跟着 data 域，這說明B-樹的 key 和 data 是聚合在一起的。一般而言，根節點都在內存中，B-樹以每個節點為一次磁盤 IO，比如上圖中，若搜索 key 為 25 節點的 data，首先在根節點進行二分查找（因為 keys 有序，二分最快），判斷 key 25 小於 key 50，所以定位到最左側的節點，此時進行一次磁盤 IO，將該節點從磁盤讀入內存，接着繼續進行上述過程，直到找到該 key 為止。
查找偽代碼
Data* BTreeSearch(Root *node, Key key) { Data* data; if(root == NULL) return NULL; data = BinarySearch(node); if(data->key == key) { return data; }else{ node = ReadDisk(data->next); BTreeSearch(node, key); } }
B+樹
B+樹是B-樹的變種，它與B-樹的不同之處在於：
- 在B+樹中，key 的副本存儲在內部節點，真正的 key 和 data 存儲在葉子節點上 。
- n 個 key 值的節點指針域為 n 而不是 n+1。
如下圖為一顆B+樹：
因為內節點並不存儲 data，所以一般B+樹的葉節點和內節點大小不同，而B-樹的每個節點大小一般是相同的，為一頁。
為了增加 區間訪問性，一般會對B+樹做一些優化。
如下圖帶順序訪問的B+樹。
B-樹和B+樹的區別
1.B+樹內節點不存儲數據，所有 data 存儲在葉節點導致查詢時間復雜度固定為 log n。而B-樹查詢時間復雜度不固定，與 key 在樹中的位置有關，最好為O(1)。
如下所示B-樹/B+樹查詢節點 key 為 50 的 data。
B-樹
從上圖可以看出，key 為 50 的節點就在第一層，B-樹只需要一次磁盤 IO 即可完成查找。所以說B-樹的查詢最好時間復雜度是 O(1)。
B+樹
由於B+樹所有的 data 域都在根節點，所以查詢 key 為 50的節點必須從根節點索引到葉節點，時間復雜度固定為 O(log n)。
2.B+樹葉節點兩兩相連可大大增加區間訪問性，可使用在范圍查詢等，而B-樹每個節點 key 和 data 在一起，則無法區間查找。
根據空間局部性原理：如果一個存儲器的某個位置被訪問，那么將它附近的位置也會被訪問。
B+樹可以很好的利用局部性原理，若我們訪問節點 key為 50，則 key 為 55、60、62 的節點將來也可能被訪問，我們可以利用磁盤預讀原理提前將這些數據讀入內存，減少了磁盤 IO 的次數。
當然B+樹也能夠很好的完成范圍查詢。比如查詢 key 值在 50-70 之間的節點。
3.B+樹更適合外部存儲。由於內節點無 data 域，每個節點能索引的范圍更大更精確
這個很好理解，由於B-樹節點內部每個 key 都帶着 data 域，而B+樹節點只存儲 key 的副本，真實的 key 和 data 域都在葉子節點存儲。前面說過磁盤是分 block 的，一次磁盤 IO 會讀取若干個 block，具體和操作系統有關，那么由於磁盤 IO 數據大小是固定的，在一次 IO 中，單個元素越小，量就越大。這就意味着B+樹單次磁盤 IO 的信息量大於B-樹，從這點來看B+樹相對B-樹磁盤 IO 次數少。
為什么 MongoDB 索引選擇B-樹，而 Mysql 索引選擇B+樹
這些內容了解后，我們來看為什么 MongoDB 索引選擇B-樹，而 Mysql （InooDB 引擎）索引選擇B+樹。
Mysql 大家應該比較熟悉，傳統的關系型數據庫，下面介紹下 MongoDB。
來看下 wiki 百科上 MongoDB 的定義：
MongoDB (from humongous) is a cross-platform document-oriented database. Classified as a NoSQL database, MongoDB eschews the traditional table-based relational database structure in favor of JSON-like documents with dynamic schemas (MongoDB calls the format BSON)
這段話的大致意思是 MongoDB 是文檔型的數據庫，是一種 nosql，它使用類 Json 格式保存數據。
文檔型數據庫和我們常見的關系型數據庫不同，一般使用 XML 或 Json 格式來保存數據，歸屬於聚合型數據庫。
鍵值數據庫也屬於聚合型數據庫，熟悉 Redis 的同學應該很好理解。
舉個例子：
加入我們要建立一個電子商務網站，類似淘寶這種將商品銷售給用戶，那么必須存儲用戶信息、商品目錄、訂單、收貨地址、賬單地址、付款方式等。
看下傳統的關系型數據庫是如何存儲的：
聚合型數據庫存儲模型：
用類似 Json 的格式表示如下：
相對於 Mysql 關系型數據庫，MongoDB 這類 nosql 適用於數據模型簡單，性能要求高的場合。
為什么 MongoDB 使用B-樹
MongoDB 是一種 nosql，也存儲在磁盤上，被設計用在 數據模型簡單，性能要求高的場合。性能要求高，看看B/B+樹的區別第一點：
B+樹內節點不存儲數據，所有 data 存儲在葉節點導致查詢時間復雜度固定為 log n。而B-樹查詢時間復雜度不固定，與 key 在樹中的位置有關，最好為O(1)
我們說過，盡可能少的磁盤 IO 是提高性能的有效手段。MongoDB 是聚合型數據庫，而 B-樹恰好 key 和 data 域聚合在一起。
為什么 Mysql 使用B+樹
Mysql 是一種關系型數據庫，區間訪問是常見的一種情況，而 B-樹並不支持區間訪問（可參見上圖），而B+樹由於數據全部存儲在葉子節點，並且通過指針串在一起，這樣就很容易的進行區間遍歷甚至全部遍歷。
見B/B+樹的區別第二點：
B+樹葉節點兩兩相連可大大增加區間訪問性，可使用在范圍查詢等，而B-樹每個節點 key 和 data 在一起，則無法區間查找。
其次B+樹的查詢效率更加穩定，數據全部存儲在葉子節點，查詢時間復雜度固定為 O(log n)。
最后第三點：
B+樹更適合外部存儲。由於內節點無 data 域，每個節點能索引的范圍更大更精確