基於最大似然准則的相關接收機

學習《現代通信原理》（曹志剛）時，對其中相關接收機的近似闡述非常不解。借此機會，整理了大量課外資料，對相關接收機的原理有了比較清楚的認識。

• 基於最大似然准則的相關接收機
  • 1. 接收機的概念
    • 1.1 信號解調器
    • 1.2 檢測器
  • 2. 相關解調器的解調過程及其原理
    • 2.1 構造相關解調器
    • 2.2 得到接收信號在基向量上的投影
    • 2.3 相關器輸出的性質
  • 3. 檢測器的實現及其數學原理
    • 3.1 MAP准則
    • 3.2 ML准則
    • 3.3 簡化ML准則，實現檢測器

1. 接收機的概念

接收機：由信號解調器和檢測器組成。

1.1 信號解調器

功能：將接受波形\(r(t)\)變換為N維向量\(\boldsymbol r=[r_1,r_2,...,r_N]\)，N為發送信號波形的維數。

目的：求接受波形在各基向量上的投影，即求\(r_i\)。

實現方式：

1. 基於匹配濾波器的實現方法（匹配濾波器）。

2. 基於信號相關器的實現方法（相關解調器）。

1.2 檢測器

根據信號解調器輸出的N維向量\(r=[r_1,r_2,...,r_N]\)，判斷發送波形。

發送信號波形的集合為\(\{S_m(t),m=1,2,...,M\}\)，維數為N。

2. 相關解調器的解調過程及其原理

2.1 構造相關解調器

根據發送信號波形集合\(\{S_m(t),m=1,2,...,M\}\)，構造正交基\(\{f_n(t),n=1,2,...,n\}\)

要求：每一個\(S_m(t)\)都可以表示為\(\{f_n(t)\}\)的線性加權組合：

\[S_m(t)=\sum_{k=1}^N {S_{mk}f_k(t)} \]

其中\(S_{mk}\)是在某個基向量上的幅度（投影）。

注意：盡管接收信號中會疊加信道噪聲：

但在構造正交基\(\{f_n(t)\}\)時，我們不考慮噪聲空間。因此接收信號會被分解為：

\[r(t)=\sum_{k=1}^N {S_{mk}f_k(t)}+n(t)=\sum_{k=1}^N {S_{mk}f_k(t)}+\sum_{k=1}^N {n_kf_k(t)}+n'(t) \]

其中\(n'(t)\)是無法用基函數組合的噪聲組分。

至於為什么不考慮噪聲空間，我們馬上揭曉。

2.2 得到接收信號在基向量上的投影

令接收信號\(r(t)\)通過一組並行的N個互相關器：

注意：在后面結合檢測器，我們會對改圖作改進和簡化。因此這不是最終電路圖！

各個相關器的輸出為：

\[\int_0^T {r(t)f_k(t)dt} = S_{mk}+n_k　＝　r_k \]

\(S_{mk}\)就是我們想要的投影，\(n_k\)是噪聲的投影，是一個高斯隨機變量，由信道引入的加性噪聲決定。

而無法被基向量表示的\(n'(t)\)（在線性空間外），積分為０（由於噪聲均值為０，因此不相關和正交等價），因此對輸出沒有任何影響！
這就是為什么我們在構造正交基時，不考慮噪聲空間！

2.3 相關器輸出的性質

由於\(S_{mk}\)是一個確定的值，而\(n_k\)是一個高斯隨機變量，因此：
\(r_k\)也是一個高斯隨機變量，其均值為\(S_{mk}\)，方差同\(n_k\)，為\(\frac{n_0}{2}\)。

因此，相關解調器最終輸出的Ｎ維向量\(\boldsymbol r=[r_1,r_2,...,r_N]\)，其概率滿足聯合高斯分布：

\[P(\boldsymbol r|\boldsymbol S_m) = \prod_{k=1}^N {P(r_k|S_{mk})} \\=\frac{1}{(\sqrt{2\pi\frac{n_0}{2}})^N}exp[\frac{-\sum_{k=1}^N{(r_k-S_{mk})^2}}{2\frac{n_0}{2}}] \]

3. 檢測器的實現及其數學原理

盡管相關器已經為我們得到了一個滿足聯合高斯分布的Ｎ維向量，但由於噪聲的存在，為了使判錯率最小，我們還需要合理地選出最合適的波形，作為最終判斷結果。

3.1 MAP准則

全稱為最大后驗概率Maximum A posteriori Probability，其中A posteriori在拉丁文中是“后驗”的意思。

根據推導（參見信息論相關書籍），選擇后驗概率\(P(\boldsymbol S_m|\boldsymbol r)\)最大對應的發送信號\(S_m(t)\)作為判斷結果，則錯誤率最小。
這一點也很好理解。在接收到\(r(t)\)並轉換得到\(\boldsymbol r\)的條件下，發送信號最有可能是\(S_m(t)\)，那么我們當然選擇它作為輸出結果啦～

可惜的是，后驗概率很難通過電路獲得。
因此，我們無法直接利用MAP准則。

3.2 ML准則

全稱為最大似然Maximum Likelihood。

根據貝葉斯公式：

\[P(\boldsymbol S_m|\boldsymbol r)=\frac{P(\boldsymbol S_m,\boldsymbol r)}{P(\boldsymbol r)}=\frac{P(\boldsymbol r|\boldsymbol S_m)P(\boldsymbol S_m)}{\sum_{i=1}^M{P(\boldsymbol r|S_i)P(S_i)}} \]

其中：

• \(P(\boldsymbol S_m)\)是先驗概率，一般設為等概。

• \(P(\boldsymbol r)=P(\boldsymbol r|S_i)P(S_i)\)與發送信號無關。因為無論發的是哪個\(P(\boldsymbol S_m)\)，\(P(\boldsymbol r)\)都是既定的，客觀存在且無法改變的。具體而言，其中的先驗概率\(P(S_i)\)和發送概率\(P(\boldsymbol r|S_i)\)都不隨發送信號的變化而改變。

這么看來，我們有重要結論：

• 當\(P(\boldsymbol S_m)\)等概時，最大的\(P(\boldsymbol S_m|\boldsymbol r)\)，對應最大的\(P(\boldsymbol r|\boldsymbol S_m)\)！這就是MAP准則到ML准則的轉化！

• 當不等概時，最大的\(P(\boldsymbol S_m|\boldsymbol r)\)，對應最大的\(P(\boldsymbol r|\boldsymbol S_m)P(\boldsymbol S_m)\)，稍微復雜一些，但也很好求。

先劇透一波，ML准則非常容易通過電路實現！我們接着看～

3.3 簡化ML准則，實現檢測器

現在我們討論\(P(\boldsymbol S_m)\)等概的情況，即ML准則可以使用。

由第一部分我們知道：解調器輸出為：

\[P(\boldsymbol r|\boldsymbol S_m)=\frac{1}{(\sqrt{2\pi\frac{n_0}{2}})^N}exp[\frac{-\sum_{k=1}^N{(r_k-S_{mk})^2}}{2\frac{n_0}{2}}] \]

我們取對數：

\[ln[P(\boldsymbol r|\boldsymbol S_m)]=-\frac{N}{2}ln(\pi n_0)-\frac{\sum_{k=1}^N{(r_k-S_{mk})^2}}{n_0} \]

顯然，第一項是常數，對判斷發送信號沒有貢獻。

第二項是關於\(\sum_{k=1}^N{(r_k-S_{mk})^2}\)單調的函數。
因此，最大后驗概率，對應着最小的歐氏距離：

\[D(\boldsymbol r,\boldsymbol S_m)=\sum_{k=1}^N{(r_k-S_{mk})^2} \]

因此，基於ML准則的判決，又稱為最小距離檢測。

進一步展開、化簡得到：

\[D(\boldsymbol r,\boldsymbol S_m)=\sum_{k=1}^N{(r_k)^2}+\sum_{k=1}^N{(S_{mk})^2}-2\sum_{k=1}^N{r_kS_{mk}} \]

其中：

• 第一項是向量\(\boldsymbol r\)的模值，對判斷沒有貢獻。

• 第二項是接收信號的能量：\(\varepsilon_m\)，與發送信號有關，需要考慮。

• 第三項是投影，顯然也需要考慮：

  \[2\sum_{k=1}^N{r_kS_{mk}}=2\boldsymbol r\bigodot \boldsymbol S_m = 2 \int_0^T {r(t)S_m(t)}dt \]

我們把需要考慮的后兩項的相反數合稱為相關度量：

\[C(\boldsymbol r, \boldsymbol S_m)=2\sum_{k=1}^N{r_kS_{mk}}-\varepsilon_m \]

綜上，我們得到判斷的最終准則：
最大相關度量\(C(\boldsymbol r, \boldsymbol S_m)\)對應的發送信號\(S_m(t)\)，就是最終判決結果。

因此，我們希望整個相關接收機實現如下流程：

• 將接收信號\(r(t)\)轉換為N維向量\(\boldsymbol r\)

• 求出\(\boldsymbol r\)和各個\(\boldsymbol S_m\)的相關度量\(C(\boldsymbol r, \boldsymbol S_m)\)

• 選擇最大相關度量對應的發送信號波形\(S_m(t)\)輸出

最終電路圖（相關接收機）如下：

如果發送波形不等概率，那么MAP准則就不可以直接轉換為ML准則啦。此時只需要尋找最大\(P(\boldsymbol r|\boldsymbol S_m)P(\boldsymbol S_m)\)對應的發送波形，化簡方式類似，這里就不贅述了。