[HAOI2008]圓上的整點

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神仙題

神仙視頻

求滿足\(x^2+y^2=R^2(x,y\in\mathbb{Z})\)的數對$(x,y)個數

高斯整數：是個復數，形如\(a+bi\)，其中\(a,b\)均為整數
高斯質數是高斯整數，不能分成高斯整數的乘積

那就是在求模長為\(R^2\)的高斯整數個數

顯然高斯整數模長可以表示成\((a+bi)(a-bi)\)，即一對共軛復數的積

考慮\(R^2=(a+bi)(a-bi)\)的方案數，令\(N=R^2\)（事實上N不是完全平方數這題也能做）

先將N分解成若干個質數之積

隨意假設\(N=3^2*5^2\)

還要繼續分下去，分成若干個高斯質數

然后這里用到一個結論：形如\(4n+1\)的質數能分成兩個高斯質數的乘積，形如\(4n+3\)的不行（視頻里也沒有說為啥）

所以上面的n可以分成\(3^2*(2+i)(2-i)(2+i)(2-i)\)

要把這些分成兩組，每組都在另一邊有它的共軛復數對應

\(3^2\)只能一邊放一個\((2+i)^2(2-i)^2\)有3種方法（左邊放0,1,2個\((2+i)\)）

於是就有3種分法，乘4以后\(N=225\)的答案就是12

繼續看幾個例子：

• \(N=3^3*5^2\)時，兩邊的3無論如何也不能平衡，答案是0
• \(N=3^2*5^3\)時，左邊可以放0,1,2,3個\((2+i)\)，答案是4（*4=16）
• \(N=3^2*5^3*13^4\)時，左邊可以放0,1,2,3個(2+i)和0,1,2,3,4個(3+2i)，答案就是20（×4=80）

可以發現這樣的規律：

將N分解質因數
ans=1
for i in 所有質因數
    if i形如4n+1:
        if i的次數為奇數:
            ans=0 # 無法安排這個質因數使得兩邊是共軛復數
        else:pass # 什么也沒有發生，這個質因數只有一種放法，就是兩邊放同樣多個
    else:ans*= i的次數+1 # i=(a+bi)(a-bi),左邊可以放0~次數個(a+bi)

然后就結束了。

嗎？

如果有質因數是2咋搞啊。。。

事實上不需要搞這個，因為2可以分成\((1+i)(1-i)\),只能是一個在左一個在右，然而交換這兩個數實際上是一邊\(*\frac{1+i}{1-i}=i\)另一邊\(/\frac{1+i}{1-i}=i\)，實際上和最后的答案×4是一樣的操作，所以質因數2對答案並沒有影響

// luogu-judger-enable-o2
#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define vd void
typedef long long ll;
il int gi(){
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){
        if(ch=='-')f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
int main(){
    int n=gi();
    long long ans=1;
    for(int i=2;i*i<=n;++i)
        if(n%i==0){
            int p=0;while(n%i==0)n/=i,++p;
            if(i%4==1)ans*=2*p+1;
        }
    if(n>1){
        if(n%4==1)ans*=3;
    }
    printf("%lld\n",ans*4);
    return 0;
}

還有，實際上是不會有0出現的，因為輸入的是個整數，平方之后所以質因子次數都是偶數