SVM--簡介
支持向量機（Support Vector Machines）是一種二分類模型，它的目的是尋找一個超平面來對樣本進行分割，分割的原則是間隔最大化，最終轉化為一個凸二次規划問題來求解。
在機器學習領域，是一個有監督的學習模型，通常用來進行模式識別、分類以及回歸分析。
由簡至繁的模型包括：
- 當訓練樣本線性可分時，通過硬間隔最大化，學習一個線性可分支持向量機；
- 當訓練樣本近似線性可分時，通過軟間隔最大化，學習一個線性支持向量機；
- 當訓練樣本線性不可分時，通過核技巧和軟間隔最大化，學習一個非線性支持向量機；
SVM--思想
建立一個最優決策超平面，使得該平面兩側距離平面最近的兩類樣本之間的距離最大化，從而對分類問題提供良好的泛化能力。
說白了就是：當樣本點的分布無法用一條直線或幾條直線分開時（即線性不可分）SVM提供一種算法，求出一個曲面用於划分。這個曲面，就稱為最優決策超平面。
而且，SVM采用二次優化，因此最優解是唯一的，且為全局最優。前面提到的距離最大化就是說，這個曲面讓不同分類的樣本點距離最遠，即求最優分類超平面等價於求最大間隔。
SVM--原理
SVM大致原理：
①假設我們要通過三八線把星星和紅點分成兩類。
②那么有無數多條線可以完成這個任務。
③在SVM中，我們尋找一條最優的分界線使得它到兩邊的Margin都最大。
④在這種情況下邊緣的幾個數據點就叫做Support Vector，這也是這個分類算法名字的來源。
線性可分支持向量機
1、定義
給定線性可分訓練數據集，通過間隔最大化或等價地求解相應的凸二次規划問題學習得到的分離超平面為 wx+b=0 以及相應的分類決策函數 f(x)=sign(wx+b) 稱為線性可分支持向量機。
圖1
由於訓練數據線性可分，如圖1所示，這時有許多超平面能將兩類數據正確划分，線性可分支持向量機的目的就是從中找到最佳的超平面，使得預測新數據時有較好的表現。
以二維空間為例，相對於把超平面方程 wx+b=0 理解為一條平面直線 y=kx+b，個人更傾向於將其理解為空間平面z=ax+by+c與平面z=0的交線。將訓練數據集中的樣本點帶入wx+b 得到的值表示空間平面z=ax+by+c上的點與z=0之間的距離，距離為正的樣本為正例，距離為負的樣本為負例。注意，二維空間中的超平面是圖2中的紅色直線。
圖2 二維空間中的超平面
2、函數間隔和幾何間隔
圖3 二類分類問題
在如上圖所示的二維空間中，假設已經找到了超平面將二維空間划分為兩類，“○”表示正例，“×”表示負例。其中A，B，C三個點表示3個樣本點。一般來說，一個點距離超平面的遠近可以表示分類預測的確信程度。比如，預測這三個點的類別的時候，點A距離超平面較遠，若預測該點為正例，就有比較大的把握。相反，點C距離超平面較近，若預測該點為正例就不那么確定，因為有可能是超平面選擇的不合理而導致點C被誤分為正例。因此，相比距離超平面較遠的點，距離較近的點對超平面的選擇有更大的影響，我們將其稱之為支持向量。支持向量決定了我們如何選擇超平面，可見支持向量的重要性。函數間隔和幾何間隔的提出，為找到最佳的超平面提供了依據。
2.1、函數間隔
對於給定的訓練數據集T和超平面（ω，b），定義超平面（ω，b）關於樣本點（x_i，y_i）的函數間隔為
定義超平面（ω，b）關於訓練數據集T的函數間隔為超平面（ω，b）關於T中所有樣本點（x_i，y_i）的函數間隔的最小值，即
函數間隔越小的點離超平面越近，因此通過最大化訓練數據集的函數間隔，即找到一條直線離兩類樣本點盡量的遠，來找到最佳的超平面聽起來似乎很合理。但是，用函數間隔來選擇超平面存在一個問題：只要成比例地改變ω和b，超平面並沒有改變但是函數間隔卻會改變。在二維空間中，成比例地改變ω和b就是將空間平面z=ax+by+c以超平面為軸心進行轉動。因此，需要對ω進行規范化，從而引出了幾何間隔的概念。
2.2、幾何間隔
對於給定的訓練數據集T和超平面（ω，b），定義超平面（ω，b）關於樣本點（x_i，y_i）的幾何間隔為
定義超平面（ω，b）關於訓練數據集T的幾個間隔為超平面（ω，b）關於T中所有樣本點（x_i，y_i）的函數間隔的最小值，即
在二維空間中，幾何間隔就是將空間平面z=ax+by+c固定，不再以超平面為軸心進行轉動。此時，成比例地改變ω和b不再對幾何間隔有影響。
3.間隔最大化
支持向量機學習的基本想法是求解能夠正確划分訓練數據集並且幾何間隔最大的超平面。對於線性可分的訓練數據集而言，超平面有無窮多個，但是幾何間隔最大的超平面是唯一的。這里的間隔最大化稱為硬間隔最大化。這是因為幾何間隔是指離超平面最近的正負樣本點，最大化幾何間隔意味着當前的超平面不僅可以很合理地划分訓練數據集，對未知的測試數據集應當也有較好的分類預測能力。因此，接下來的問題就是如何求得一個幾何間隔最大的超平面。這個問題可以表示為約束最優化問題：
考慮幾何間隔和函數間隔的關系，可將這個問題改寫為：
正如前文所述，成比例地改變ω和b會影響函數間隔，但不影響超平面，因此不妨通過調整ω和b使得函數間隔取值為1。同時，注意到最大化1/||ω||與最小化||ω||等價，因此，上式可以轉化為如下形式：
目標函數的系數1/2僅僅是為了方便求導，無其他任何含義。通過利用拉格朗日對偶算法，求解上述約束最優化問題得到w和b，從而得到分類決策函數f(x)=sign(ωx+b)。基於分類決策函數可對測試數據集進行分類。
線性支持向量機
1、簡介
線性支持向量機是針對線性不可分的數據集的，這樣的數據集可以通過近似可分的方法實現分類。對於這樣的數據集，類似線性可分支持向量機，通過求解對應的凸二次規划問題，也同樣求得分離超平面：
以及相應的分類決策函數
2、線性支持向量機的原理
線性支持向量機的原始問題：
接下來的問題就變成如何求解這樣一個最優化問題(稱為原始問題)。
引入拉格朗日函數：
此時，原始問題即變成
利用拉格朗日函數的對偶性，將問題變成一個極大極小優化問題：
首先求解
，將拉格朗日函數分別對
求偏導，並令其為0：
即為：
將其帶入拉格朗日函數，即得：
第二步，求
，即求：
由
可得
，因為在第二步求極大值的過程中，函數只與
有關。
可得，因為在第二步求極大值的過程中，函數只與有關。
將上述的極大值為題轉化為極小值問題：
這就是原始問題的對偶問題。
3、線性支持向量機的過程
（1）、設置懲罰參數
，並求解對偶問題：
假設求得的最優解為
；
（2）、計算原始問題的最優解：
選擇中滿足
的分量，計算：
（3）、求分離超平面和分類決策函數：
分離超平面為：
分類決策函數為：
非線性支持向量機
1、適合場景
如果訓練輸入線性不可分，可以使用非線性支持向量機，利用核技巧將輸入空間非線性問題轉化到特征空間線性可分問題。
2、核函數的條件
設
是定義在
χ×
χ 上的對稱函數，如果對任意
對應的Gram矩陣
是半正定矩陣，則稱K(x,z)是正定核。
3、常用核函數
（1）多項式核函數
（2）高斯核函數
4、構建目標函數
SVM的對偶問題
只是涉及到實例和實例之間的內積x i⋅xj，可以直接使用核函數進行替換，無需知道映射函數的具體形式。目標函數可替換為
假設
假設
是上面問題的最優解，那么:
選擇一個下標j，使得0<α∗j<C，可得：
構造決策函數：
5、求最優解
要求解的最優化問題如下：
考慮使用序列最小最優化算法（SMO，sequential minimal optimization）
SVM--實現
SVM
# -*- coding: utf-8 -*-
# Mathieu Blondel, September 2010
# License: BSD 3 clause
import numpy as np
from numpy import linalg
import cvxopt
import cvxopt.solvers
def linear_kernel(x1, x2):
return np.dot(x1, x2)
def polynomial_kernel(x, y, p=3):
return (1 + np.dot(x, y)) ** p
def gaussian_kernel(x, y, sigma=5.0):
return np.exp(-linalg.norm(x-y)**2 / (2 * (sigma ** 2)))
class SVM(object):
def __init__(self, kernel=linear_kernel, C=None):
self.kernel = kernel
self.C = C
if self.C is not None: self.C = float(self.C)
def fit(self, X, y):
n_samples, n_features = X.shape
# Gram matrix
K = np.zeros((n_samples, n_samples))
for i in range(n_samples):
for j in range(n_samples):
K[i,j] = self.kernel(X[i], X[j])
P = cvxopt.matrix(np.outer(y,y) * K)
q = cvxopt.matrix(np.ones(n_samples) * -1)
A = cvxopt.matrix(y, (1,n_samples))
b = cvxopt.matrix(0.0)
if self.C is None:
G = cvxopt.matrix(np.diag(np.ones(n_samples) * -1))
h = cvxopt.matrix(np.zeros(n_samples))
else:
tmp1 = np.diag(np.ones(n_samples) * -1)
tmp2 = np.identity(n_samples)
G = cvxopt.matrix(np.vstack((tmp1, tmp2)))
tmp1 = np.zeros(n_samples)
tmp2 = np.ones(n_samples) * self.C
h = cvxopt.matrix(np.hstack((tmp1, tmp2)))
# solve QP problem
solution = cvxopt.solvers.qp(P, q, G, h, A, b)
# Lagrange multipliers
'''
數組的flatten和ravel方法將數組變為一個一維向量（鋪平數組）。
flatten方法總是返回一個拷貝后的副本，
而ravel方法只有當有必要時才返回一個拷貝后的副本（所以該方法要快得多，尤其是在大數組上進行操作時）
'''
a = np.ravel(solution['x'])
# Support vectors have non zero lagrange multipliers
'''
這里a>1e-5就將其視為非零
'''
sv = a > 1e-5 # return a list with bool values
ind = np.arange(len(a))[sv] # sv's index
self.a = a[sv]
self.sv = X[sv] # sv's data
self.sv_y = y[sv] # sv's labels
print("%d support vectors out of %d points" % (len(self.a), n_samples))
# Intercept
'''
這里相當於對所有的支持向量求得的b取平均值
'''
self.b = 0
for n in range(len(self.a)):
self.b += self.sv_y[n]
self.b -= np.sum(self.a * self.sv_y * K[ind[n],sv])
self.b /= len(self.a)
# Weight vector
if self.kernel == linear_kernel:
self.w = np.zeros(n_features)
for n in range(len(self.a)):
# linear_kernel相當於在原空間，故計算w不用映射到feature space
self.w += self.a[n] * self.sv_y[n] * self.sv[n]
else:
self.w = None
def project(self, X):
# w有值，即kernel function 是 linear_kernel，直接計算即可
if self.w is not None:
return np.dot(X, self.w) + self.b
# w is None --> 不是linear_kernel,w要重新計算
# 這里沒有去計算新的w（非線性情況不用計算w）,直接用kernel matrix計算預測結果
else:
y_predict = np.zeros(len(X))
for i in range(len(X)):
s = 0
for a, sv_y, sv in zip(self.a, self.sv_y, self.sv):
s += a * sv_y * self.kernel(X[i], sv)
y_predict[i] = s
return y_predict + self.b
def predict(self, X):
return np.sign(self.project(X))
if __name__ == "__main__":
import pylab as pl
def gen_lin_separable_data():
# generate training data in the 2-d case
mean1 = np.array([0, 2])
mean2 = np.array([2, 0])
cov = np.array([[0.8, 0.6], [0.6, 0.8]])
X1 = np.random.multivariate_normal(mean1, cov, 100)
y1 = np.ones(len(X1))
X2 = np.random.multivariate_normal(mean2, cov, 100)
y2 = np.ones(len(X2)) * -1
return X1, y1, X2, y2
def gen_non_lin_separable_data():
mean1 = [-1, 2]
mean2 = [1, -1]
mean3 = [4, -4]
mean4 = [-4, 4]
cov = [[1.0,0.8], [0.8, 1.0]]
X1 = np.random.multivariate_normal(mean1, cov, 50)
X1 = np.vstack((X1, np.random.multivariate_normal(mean3, cov, 50)))
y1 = np.ones(len(X1))
X2 = np.random.multivariate_normal(mean2, cov, 50)
X2 = np.vstack((X2, np.random.multivariate_normal(mean4, cov, 50)))
y2 = np.ones(len(X2)) * -1
return X1, y1, X2, y2
def gen_lin_separable_overlap_data():
# generate training data in the 2-d case
mean1 = np.array([0, 2])
mean2 = np.array([2, 0])
cov = np.array([[1.5, 1.0], [1.0, 1.5]])
X1 = np.random.multivariate_normal(mean1, cov, 100)
y1 = np.ones(len(X1))
X2 = np.random.multivariate_normal(mean2, cov, 100)
y2 = np.ones(len(X2)) * -1
return X1, y1, X2, y2
def split_train(X1, y1, X2, y2):
X1_train = X1[:90]
y1_train = y1[:90]
X2_train = X2[:90]
y2_train = y2[:90]
X_train = np.vstack((X1_train, X2_train))
y_train = np.hstack((y1_train, y2_train))
return X_train, y_train
def split_test(X1, y1, X2, y2):
X1_test = X1[90:]
y1_test = y1[90:]
X2_test = X2[90:]
y2_test = y2[90:]
X_test = np.vstack((X1_test, X2_test))
y_test = np.hstack((y1_test, y2_test))
return X_test, y_test
# 僅僅在Linears使用此函數作圖，即w存在時
def plot_margin(X1_train, X2_train, clf):
def f(x, w, b, c=0):
# given x, return y such that [x,y] in on the line
# w.x + b = c
return (-w[0] * x - b + c) / w[1]
pl.plot(X1_train[:,0], X1_train[:,1], "ro")
pl.plot(X2_train[:,0], X2_train[:,1], "bo")
pl.scatter(clf.sv[:,0], clf.sv[:,1], s=100, c="g")
# w.x + b = 0
a0 = -4; a1 = f(a0, clf.w, clf.b)
b0 = 4; b1 = f(b0, clf.w, clf.b)
pl.plot([a0,b0], [a1,b1], "k")
# w.x + b = 1
a0 = -4; a1 = f(a0, clf.w, clf.b, 1)
b0 = 4; b1 = f(b0, clf.w, clf.b, 1)
pl.plot([a0,b0], [a1,b1], "k--")
# w.x + b = -1
a0 = -4; a1 = f(a0, clf.w, clf.b, -1)
b0 = 4; b1 = f(b0, clf.w, clf.b, -1)
pl.plot([a0,b0], [a1,b1], "k--")
pl.axis("tight")
pl.show()
def plot_contour(X1_train, X2_train, clf):
# 作training sample數據點的圖
pl.plot(X1_train[:,0], X1_train[:,1], "ro")
pl.plot(X2_train[:,0], X2_train[:,1], "bo")
# 做support vectors 的圖
pl.scatter(clf.sv[:,0], clf.sv[:,1], s=100, c="g")
X1, X2 = np.meshgrid(np.linspace(-6,6,50), np.linspace(-6,6,50))
X = np.array([[x1, x2] for x1, x2 in zip(np.ravel(X1), np.ravel(X2))])
Z = clf.project(X).reshape(X1.shape)
# pl.contour做等值線圖
pl.contour(X1, X2, Z, [0.0], colors='k', linewidths=1, origin='lower')
pl.contour(X1, X2, Z + 1, [0.0], colors='grey', linewidths=1, origin='lower')
pl.contour(X1, X2, Z - 1, [0.0], colors='grey', linewidths=1, origin='lower')
pl.axis("tight")
pl.show()
def test_linear():
X1, y1, X2, y2 = gen_lin_separable_data()
X_train, y_train = split_train(X1, y1, X2, y2)
X_test, y_test = split_test(X1, y1, X2, y2)
clf = SVM()
clf.fit(X_train, y_train)
y_predict = clf.predict(X_test)
correct = np.sum(y_predict == y_test)
print("%d out of %d predictions correct" % (correct, len(y_predict)))
plot_margin(X_train[y_train==1], X_train[y_train==-1], clf)
def test_non_linear():
X1, y1, X2, y2 = gen_non_lin_separable_data()
X_train, y_train = split_train(X1, y1, X2, y2)
X_test, y_test = split_test(X1, y1, X2, y2)
clf = SVM(gaussian_kernel)
clf.fit(X_train, y_train)
y_predict = clf.predict(X_test)
correct = np.sum(y_predict == y_test)
print("%d out of %d predictions correct" % (correct, len(y_predict)))
plot_contour(X_train[y_train==1], X_train[y_train==-1], clf)
def test_soft():
X1, y1, X2, y2 = gen_lin_separable_overlap_data()
X_train, y_train = split_train(X1, y1, X2, y2)
X_test, y_test = split_test(X1, y1, X2, y2)
clf = SVM(C=0.1)
clf.fit(X_train, y_train)
y_predict = clf.predict(X_test)
correct = np.sum(y_predict == y_test)
print("%d out of %d predictions correct" % (correct, len(y_predict)))
plot_contour(X_train[y_train==1], X_train[y_train==-1], clf)
# test_soft()
# test_linear()
test_non_linear()運行結果
