一、什么是高斯混合模型（GMM）
高斯混合模型（Gaussian Mixed Model）指的是多個高斯分布函數的線性組合，通常用於解決同一集合下的數據包含多個不同的分布的情況，如解決分類情況
如下圖，明顯分成兩個聚類。這兩個聚類中的點分別通過兩個不同的正態分布隨機生成而來。如果只用一個的二維高斯分布來描述圖中的數據。這顯然不太合理，畢竟肉眼一看就應該分成兩類
但使用兩個二維高斯分布來描述圖中的數據，將兩個二維高斯分布\(N(\mu_1,\sum_1),N(\mu_2,\sum_2)\)做線性組合，用線性組合后的分布來描述整個集合中的數據。這就是高斯混合模型（GMM）
二、GMM原理
設有隨機變量\(X\)，則混合高斯模型可以這樣表示：
\(p(x) = \sum_{k=1}^{K}\pi_kN(x|\mu_k,\sum_k)\)
其中\(N(x|\mu_k,\sum_k)\)稱為混合模型中的第k個分量（component）。如前面圖中的例子，有兩個聚類，可以用兩個二維高斯分布來表示，那么分量數K=2，\(\pi_k\)是混合系數（mixture coefficient），且滿足：
\( \sum_{k=1}^{K}\pi_k,0\leq\pi_k\leq 1 \)，其中\(\pi_k\)相當於每個高斯分布的權重
GMM用於聚類時，假設數據服從混合高斯分布（Mixture Gaussian Distribution），例如上圖的例子，很明顯有兩個聚類，可以定義K=2，那么對應的GMM形式如下：
\( p(x) = \pi_1N(x|\mu_1,\sum_1) + \pi_2N(x|\mu_2,\sum_2) \)
上式中未知參數有六個：\((\pi_1,\mu_1,\sum_1, \pi_2,\mu_2,\sum_2)\)，GMM聚類時分為兩步，第一步是隨機地在這K個分量中選一個，每個分量被選中的概率即為混合系數\(\pi_k\)，可以設定\(\pi_1=\pi_2=0.5\)，表示每個分量被選中的概率是0.5，即從中抽出一個點，這個點屬於第一類的概率和第二類的概率各占一半。但實際應用中事先指定\(\pi_k\)的值是很笨的做法：當從圖中的集合隨機選取一個點，怎么知道這個點是來自\(N(x|\mu_1,\sum_1)\)還是\(N(x|\mu_2,\sum_2)\)呢？
換言之怎么根據數據自動確定\(\pi_1,\pi_2\)的值？這就是GMM參數估計的問題。要解決這個問題，可以使用EM算法。通過EM算法，我們可以迭代計算出GMM中的參數：\(\pi_k,\mu_k,\sum_k\)
我們目的是找到這樣一組參數，它所確定的概率分布生成這些給定的數據點的概率最大，而這個概率實際上就等於：\(\prod_{i=1}^{N}p(x_i)\)，我們把這個乘積稱作似然函數 (Likelihood Function)。我們通常會對其取對數，把乘積變成加和：\(\sum_{i=1}^{N}logp(x_i)\)，得到 log-likelihood function 。接下來將這個函數最大化（通常的做法是求導並令導數等於零，然后解方程），我們就認為這是最合適的參數，這樣就完成了參數估計的過程。下面讓我們來看一看 GMM 的 log-likelihood function ：
\(\sum_{i=1}^{N}log\{\sum_{i=1}^{K}\pi_kN(x_i|\mu_k,\sum_k)\}\)
由於上式太復雜，沒法直接用求導求得最大值。為了解決這個問題，我們采取之前從 GMM 中隨機選點的辦法：分成兩步
1.估計每個數據由每個 Component 生成的概率（並不是每個 Component 被選中的概率）：對於每個數據\(x_i\)來說，它由第\(k\)個 Component 生成的概率為：
由於式子里的\(\mu_k,\sum_k\)也是需要我們估計的值，我們采用迭代法，在計算\(\gamma(i,k)\)的時候我們假定\(\mu_k,\sum_k\)均已知，我們將取上一次迭代所得的值（或者初始值）
2.估計每個Component 的參數：現在我們假設上一步中得到的\(\gamma(i,k)\)就是正確的"數據\(x_i\)由Component \(k\)生成的概率"，亦可以當做該Component 在生成這個數據上所做的貢獻，或者說，我們可以看作\(x_i\)這個數據其中有\(\gamma(i,k)x_i\)這部分是由Component \(k\)所生成的，集中考慮所有的數據點，現在實際上可以看作Component 生成了\( \gamma(1,k)x_1,...,\gamma(N,k)x_N \)這些點，由於每個 Component 都是一個標准的 Gaussian 分布，可以很容易求出最大似然所對應的參數值：
其中\(N_k = \sum_{i=1}^{N}\gamma(i,k)\)，並且\(\pi_k\)也順理成章地可以估計\(N_k/N\)
3.重復迭代前面兩步，直到似然函數的值收斂為止
三、代碼實例
參考：https://blog.csdn.net/u014157632/article/details/65442165
'''
此示例程序隨機從4個高斯模型中生成500個2維數據，真實參數：
混合項w=[0.1，0.2，0.3，0.4]
均值u=[[5，35]，[30，40]，[20，20]，[45，15]]
協方差矩陣∑=[[30，0]，[0，30]]
然后以這些數據作為觀測數據，根據EM算法來估計以上參數
此程序未估計協方差矩陣
'''
import math
import copy
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
iter_num = 1000
N = 500
k = 4
probility = np.zeros(N)
u1 = [5, 35]
u2 = [30, 40]
u3 = [20, 20]
u4 = [45, 15]
sigma = np.matrix([[30, 0], [0,30]])
alpha = [0.1, 0.2, 0.3, 0.4]
#生成隨機數據，4個高斯模型
def generate_data(sigma, N, mu1, mu2, mu3, mu4, alpha):
global X#可觀測數據集
X = np.zeros((N, 2))#X：2維數據，N個樣本
X = np.matrix(X)
global mu#隨機初始化mu1，mu2，mu3，mu4
mu = np.random.random((4, 2))
mu = np.matrix(mu)
global excep#期望：第i個樣本屬於第j個模型的概率的期望
excep = np.zeros((N, 4))
global alpha_#初始化混合項系數
alpha_ = [0.25, 0.25, 0.25, 0.25]
#np.random.multivariate_normal()：用於根據實際情況生成一個多元正態分布矩陣
for i in range(N):
if np.random.random(1) < 0.1:
X[i, :] = np.random.multivariate_normal(mu1, sigma, 1)
elif 0.1 <= np.random.random(1) < 0.3:
X[i, :] = np.random.multivariate_normal(mu2, sigma, 1)
elif 0.3 <= np.random.random(1) < 0.6:
X[i, :] = np.random.multivariate_normal(mu3, sigma, 1)
else:
X[i, :] = np.random.multivariate_normal(mu4, sigma, 1)
print('可觀測數據：\n', X)
print('初始化的mu1, mu2, mu3, mu4：', mu)
def e_step(sigma, k, N):
global X
global mu
global excep
global alpha_
for i in range(N):
denom = 0
for j in range(0, k):
denom += alpha_[j] * math.exp(-0.5 * (X[i,:]-mu[j,:])*sigma.I*np.transpose(X[i,:]-mu[j,:]))/np.sqrt(np.linalg.det(sigma))#分母
for j in range(0, k):
numer = math.exp(-0.5 * (X[i,:]-mu[j,:])*sigma.I*np.transpose(X[i,:]-mu[j,:]))/np.sqrt(np.linalg.det(sigma))#分子
excep[i, j] = alpha_[j] * numer / denom#求期望
print('隱藏變量：\n', excep)
def m_step(k, N):
global excep
global X
global alpha_
for j in range(0, k):
denom = 0#分母
numer = 0#分子
for i in range(N):
numer += excep[i, j] * X[i, :]
denom += excep[i, j]
mu[j, :] = numer / denom #求均值
alpha_[j] = denom / N#求混合項系數
generate_data(sigma, N, u1, u2, u3, u4, alpha)
#迭代計算
for i in range(iter_num):
err = 0#均值誤差
err_alpha = 0#混合系數誤差
Old_mu = copy.deepcopy(mu)
Old_alpha = copy.deepcopy(alpha_)
e_step(sigma, k, N)#E 步
m_step(k, N)#M 步
print("迭代次數:", i+1)
print("估計的均值:", mu)
print("估計的混合項系數:", alpha_)
for z in range(k):
err += (abs(Old_mu[z, 0] - mu[z, 0]) + abs(Old_mu[z, 1] - mu[z, 1]))#計算誤差
err_alpha += abs(Old_alpha[z] - alpha_[z])
if (err <= 0.001) and (err_alpha < 0.001):#達到精度退出迭代
print(err, err_alpha)
break
#可視化結果，畫生成的原始數據
plt.subplot(221)
plt.scatter(X[:,0].tolist(), X[:,1].tolist(),c='b', s=25, alpha=0.4, marker='o')
plt.title('random generated data')
#畫分類好的數據
plt.subplot(222)
plt.title('classified data through EM')
order = np.zeros(N)
color = ['b', 'r', 'k', 'y']
for i in range(N):
for j in range(k):
if excep[i, j] == max(excep[i, :]):
order[i] = j#選出X[i, :]屬於第幾個高斯模型
probility[i] += alpha_[int(order[i])] * math.exp(-0.5 * (X[i,:]-mu[j,:])*sigma.I*np.transpose(X[i,:]-mu[j,:]))/(np.sqrt(np.linalg.det(sigma))*2*np.pi)#計算混合高斯分布
plt.scatter(X[i, 0], X[i, 1], c=color[int(order[i])], s=25, alpha=0.4, marker='o')#繪制分類后的散點圖
#繪制三維圖像
ax = plt.subplot(223, projection='3d')
plt.title('3d view')
for i in range(N):
ax.scatter(X[i,0], X[i, 1], probility[i], c=color[int(order[i])])
plt.show()