快速傅里葉變換（FFT）詳解

　　（這是我第一次寫博，不喜勿噴...）

　　關於FFT已經聽聞已久了，這次終於有機會在Function2的介紹下來了解一下FFT了。

　　快速傅里葉變換(Fast Fourier Transformation)簡稱FFT。在各大OI競賽中也常有用到，也是一個十分優秀的可以裝逼的好算法

　　在這篇blog中，有大量數學推導，因為我懶得寫公式（好復雜，逃），所以用圖片代替了╮(╯▽╰)╭，如有不適，望見諒（逃~~）。

 基礎知識：

多項式的度數：

多項式的線性空間

系數表達

 

向量的卷積

 

分治乘法（如果你急着和MM約會或機房要關門了，那跳過也無妨）

點值表達

 

插值

 

 

點值計算分析

 單位復數根

 

單位復數根的性質

1. 消去引理

　　　　

　　2.折半引理

　　　　

　　3.求和引理

　　　　

 

鋪墊都鋪完了，讓我們一起進入DFT,FFT,IDFT的美妙世界吧！

離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform 簡稱DFT）

 快速傅里葉變換（FFT）（終於等到你~~）

 

 

逆離散傅里葉變換（Inverse Discrete Fourier Transform 簡稱IDFT）

 FFT的迭代實現

我們類似於需要像這樣實現FFT：

知識點終於講完了，接下來我們就要開始寫板子了

板子題：uoj #34

代碼附上~~

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
const double pi=acos(-1);
struct cn
{
    double x,y;
    cn (double x=0,double y=0):x(x),y(y) {}
}a[300005],b[300005],c[300005];
cn operator + (const cn &a,const cn &b) {return cn(a.x+b.x,a.y+b.y);}
cn operator - (const cn &a,const cn &b) {return cn(a.x-b.x,a.y-b.y);}
cn operator * (const cn &a,const cn &b) {return cn(a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x);}
void fft(cn a[],int n,int l,int f)                                   
{                                                                                
    int rev[n+5];
    rev[0]=0;
    for (int i=1; i<n; i++){
        rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<l-1);
        if (i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
    }
    for (int i=1; i<n; i<<=1){
        cn wi(cos(pi/i),f*sin(pi/i));
        for (int j=0; j<n; j+=i*2){
            cn w(1,0);
            for (int k=0; k<i; k++){
                cn x=a[j+k],y=w*a[j+k+i];
                a[j+k]=x+y;
                a[j+k+i]=x-y;
                w=w*wi;
            }
        }
    }
    if (f==-1)
        for (int i=0; i<n; i++){
            a[i].x/=n; a[i].y/=n;
        }
}
int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m); n++; m++;
    for (int i=0; i<n; i++) scanf("%lf",&a[i].x);
    for (int i=0; i<m; i++) scanf("%lf",&b[i].x);
    int l=0,N=1;
    while (N<n+m-1) N<<=1,l++;
    fft(a,N,l,1);
    fft(b,N,l,1);
    for (int i=0; i<N; i++) c[i]=a[i]*b[i];
    fft(c,N,l,-1);
    for (int i=0; i<n+m-1; i++) printf("%d ",(int)(c[i].x+0.5));
    return 0;
}

鳴謝：LLX大佬

（Ps:一個巨搞笑的東西：傳送門）