梯度下降法的三種形式-BGD、SGD、MBGD

 在應用機器學習算法時，我們通常采用梯度下降法來對采用的算法進行訓練。其實，常用的梯度下降法還具體包含有三種不同的形式，它們也各自有着不同的優缺點。

下面我們以線性回歸算法來對三種梯度下降法進行比較。

一般線性回歸函數的假設函數為：

                   

對應的損失函數為：

                     

下圖為一個二維參數（θ0和θ1）組對應能量函數的可視化圖：

     

1、批量梯度下降法BGD

批量梯度下降法（Batch Gradient Descent，簡稱BGD）是梯度下降法最原始的形式，它的具體思路是在更新每一參數時都使用所有的樣本來進行更新。

我們的目的是要誤差函數盡可能的小，即求解weights使誤差函數盡可能小。首先，我們隨機初始化weigths，然后不斷反復的更新weights使得誤差函數減小，直到滿足要求時停止。這里更新算法我們選擇梯度下降算法，利用初始化的weights並且反復更新weights：

                                    

這里代表學習率，表示每次向着J最陡峭的方向邁步的大小。為了更新weights，我們需要求出函數J的偏導數。首先當我們只有一個數據點（x,y）的時候，J的偏導數是：

                                   

則對所有數據點，上述損失函數的偏導（累和）為：

                             

再最小化損失函數的過程中，需要不斷反復的更新weights使得誤差函數減小，更新過程如下：

                         

那么好了，每次參數更新的偽代碼如下：

 

由上圖更新公式我們就可以看到，我們每一次的參數更新都用到了所有的訓練數據（比如有m個，就用到了m個），如果訓練數據非常多的話，是非常耗時的。

下面給出批梯度下降的收斂圖：

 

                       

從圖中，我們可以得到BGD迭代的次數相對較少。

代碼實現：

def batchGradientDescent(x, y, theta, alpha, m, maxIteration):
    for i in range(maxIteration):
        hypothesis = np.dot(x, theta)
        loss = hypothesis - y
        gradient = np.dot(x.transpose(), loss) / m
        theta = theta - alpha * gradient              # 對所有樣本求和
    return theta

 

2、隨機梯度下降法SGD

由於批梯度下降每跟新一個參數的時候，要用到所有的樣本數，所以訓練速度會隨着樣本數量的增加而變得非常緩慢。隨機梯度下降正是為了解決這個辦法而提出的。它是利用每個樣本的損失函數對θ求偏導得到對應的梯度，來更新θ：

                                        

更新過程如下：

             

隨機梯度下降是通過每個樣本來迭代更新一次，對比上面的批量梯度下降，迭代一次需要用到所有訓練樣本（往往如今真實問題訓練數據都是非常巨大），一次迭代不可能最優，如果迭代10次的話就需要遍歷訓練樣本10次。

但是，SGD伴隨的一個問題是噪音較BGD要多，使得SGD並不是每次迭代都向着整體最優化方向。

隨機梯度下降收斂圖如下：

                

我們可以從圖中看出SGD迭代的次數較多，在解空間的搜索過程看起來很盲目。但是大體上是往着最優值方向移動。

代碼實現：

def StochasticGradientDescent(x, y, theta, alpha, m, maxIteration):
    data = []
    for i in range(10):
        data.append(i)
    # 這里隨便挑選一個進行更新點進行即可（不用想BGD一樣全部考慮）

    for i in range(maxIteration):
        hypothesis = np.dot(x, theta)
        loss = hypothesis - y  # 這里還是有十個樣本
        index = random.sample(data, 1)[0]  # 隨機抽取一個樣本，得到它的下標
        gradient = loss[index] * x[index]  # 只取一個點進行更新計算
        theta = theta - alpha * gradient.T
    return theta

 

3、min-batch 小批量梯度下降法MBGD

我們從上面兩種梯度下降法可以看出，其各自均有優缺點，那么能不能在兩種方法的性能之間取得一個折衷呢？既算法的訓練過程比較快，而且也要保證最終參數訓練的准確率，而這正是小批量梯度下降法（Mini-batch Gradient Descent，簡稱MBGD）的初衷。

我們假設每次更新參數的時候用到的樣本數為10個（不同的任務完全不同，這里舉一個例子而已）

更新偽代碼如下：

                 

 

4、三種梯度下降方法的總結

1.批梯度下降每次更新使用了所有的訓練數據，最小化損失函數，如果只有一個極小值，那么批梯度下降是考慮了訓練集所有數據，是朝着最小值迭代運動的，但是缺點是如果樣本值很大的話，更新速度會很慢。

2.隨機梯度下降在每次更新的時候，只考慮了一個樣本點，這樣會大大加快訓練數據，也恰好是批梯度下降的缺點，但是有可能由於訓練數據的噪聲點較多，那么每一次利用噪聲點進行更新的過程中，就不一定是朝着極小值方向更新，但是由於更新多輪，整體方向還是大致朝着極小值方向更新，又提高了速度。

3.小批量梯度下降法是為了解決批梯度下降法的訓練速度慢，以及隨機梯度下降法的准確性綜合而來，但是這里注意，不同問題的batch是不一樣的。