LOJ #124. 除數函數求和 1

 

題目描述

$\sigma_k(n) = \sum_{d | n} d ^ k$​

求 $\sum_{i=1}^n\sigma_k(i)$ 的值對 10⁹ 取模的結果。

 

輸入格式

第一行兩個正整數 n,k 。

 

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第一行輸出答案。

 

樣例

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5 2

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63

 

數據范圍與提示

對於 100% 的數據，1≤n,k≤10^7​7​​ 。

 

 

Solution：

　　本題ZYYS。。。

　　直接枚舉顯然不行，我們考慮改為求$n$的某一因子$d$在整個函數中的貢獻是多少。

　　套上數論分塊的思想，一個因子$d$對式子的貢獻是$\lfloor{\frac{n}{d}}\rfloor\times d^k$。

　　這樣我們需要處理的就是$d^k$，直接$O(n\log k)$快速冪求出每個因子的冪是肯定不行的，因為$n$是$10^7$，直接會T。

　　那么還是考慮優化，我們發現，每個數都能唯一分解，而在求冪時會有重復計算的質因子冪。於是，我們考慮線篩，這樣就可以用每個數的最小質因子冪去算它的冪了，那么整個過程只會對$n\leq 10^7$內的質數進行快速冪，最后復雜度就成了$\sqrt n \log k$，完全可行。

　　所以最后就只需再$O(n)$掃一遍因子累加貢獻求和就好了。

代碼：

 

#include<iostream>
#define il inline
#define ll long long
#define For(i,a,b) for(int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++)
#define Bor(i,a,b) for(int (i)=(b);(i)>=(a);(i)--)
#define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define Min(a,b) ((a)>(b)?(b):(a))

using namespace std;
const int N=1e7,mod=1e9+7;
int prime[N+5],ans,cnt,n,k,sum[N+5];
bool isprime[N+5];

il int fast(ll s,ll k){
    ll ans=1;
    while(k){
        if(k&1)ans=ans*s%mod;
        k>>=1;
        s=s*s%mod;
    }
    return ans;
}

il void init(){
    sum[1]=1;
    For(i,2,n+1) {
        if(!isprime[i]) prime[++cnt]=i,sum[i]=fast(i,k);
        for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<=n+1;j++){
            isprime[prime[j]*i]=1;
            sum[prime[j]*i]=sum[i]*1ll*sum[prime[j]]%mod;
            if(i%prime[j]==0)break;
        }
    }
}

int main(){
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin>>n>>k;
    init();
    For(i,1,n) ans=(ans+1ll*(n/i)*sum[i])%mod;
    cout<<ans;
    return 0;
}