遞歸的實現原理

需要用到遞歸的3種情況：

（1）定義是遞歸的

例如計算階乘的遞歸函數

longFactorial(longn){
    if(n==0) return1;
    elsereturnn*Factorial(n-1);
}

(2)數據結構是遞歸的

例如搜索單鏈表最后一個結點的算法

LinkNode *FindRear(LinkNode *f){
    if(f==NULL) returnNULL;
    elseif(f->link==NULL) returnf;
    elsereturnFindRear(f->link);
}

在單鏈表中搜索值等於x的結點

voidSearch(LinkNode *f,T& x){
    if(f==NULL) return;
    elseif(f->data==x) returnf;
    elsereturnSearch(f->link,x); 
}

（3）問題的解法是遞歸的

例如如漢諾塔問題：先將n-1個盤子移動到b柱子，再把最下面的盤子移動到c柱，再把n-1個盤子移動到c柱。T(n)=2T(n-1)+1=2 ⁿ-1。

又例如輾轉求余法求724和344的最大公約數：

int GCD(int m , int n){
    if(m<0) m=-m;
    if(n<0) n=-n;
    if(n==0) return m;
    return GCD(n , m%n);
}

GCD(724 , 344)=GCD(344 , 36)=GCD(36 , 20)=GCD(20 , 16)=GCD(16 ,4)=GCD(4 , 0)=4

可以這么遞歸的原因：

假設a=qb+r，r=a%b

若a和b有公因子d（d|a且d|b），則d也是a-qb=r的因子，故d是b和r的公因子（d|b且d|r）

若b和r有公因子d（d|b且d|r），則d也是r+qb=a的因子，故d是a和b的公因子（d|a且d|b）

因此a和b的公因子集合、b和r的公因子集合是相同的

 

遞歸工作棧

IA-32使用棧來支持過程的嵌套調用。每個過程都有自己的棧區，稱為棧幀（stack frame） 。因此，一個棧由若干棧幀組成，每個棧幀用專門的幀指針寄存器EBP指定起始位置， 當前棧幀的范圍在其和棧指針寄存器ESP指向區域之間。

IA-32規定，寄存器EAX、ECX和EDX是調用者保存寄存器。當過程P調用過程Q時，Q 可以直接使用這三個寄存器，不用將它們的值保存到棧中，這也意味着，如果P在從Q返回后還要用這三個寄存器的話，P應在轉到Q之前先保存它們的值，並在從Q返回后先恢復它們的值再使用。寄存器EBX、ESl、EDI是被調用者保存寄存器，Q必須先將它們的值保存到棧中再使用它們，並在返回P之前先恢復 它們的值。

（1）每次遞歸調用前，先將 參數n~參數1按序復制到調用過程棧幀中

（2）執行call指令：首先將返回地址（call指令要執行時EIP的值，即call指令下一條指令的地址）壓入棧頂，然后將程序跳轉到當前調用的方法的起始地址，相當於執行了push和jump指令。

遞歸調用時，每一層調用過程棧幀中存放的返回地址都是相同的。

（3）每次遞歸，必定要先push %ebp（把原幀指針保存在棧頂）和mov %esp,%ebp（把存放原幀指針的棧頂，設置為新棧底）

被調用者定義的非靜態局部變量僅存放於當前棧幀，調用結束后就被釋放了。

最后往往通過EAX寄存器將結果返回給調用者。

（4）執行leave指令：將棧指針指向幀指針，然后pop備份棧頂存放的原幀指針到EBP。

（5）最后執行ret指令：將棧頂的返回地址彈出到EIP，然后按照EIP此時指示的指令繼續執行程序。

如圖所示，Q的過程體執行時，入口參數1的地址總是R[ebp]+8，入口參數2的地址總是R[ebp]+12……（在棧中傳遞的參數若是基本類型，則都被分配4個字節）

與IA-32不同，x86-64最多可有6個整型或指針型參數通過寄存器傳遞，超過6個入口參數時，后面的通過棧來傳遞。在棧中傳遞的參數若是基本類型，則都被分配8個字節。棧中的地址也變為了8個字節。

RAX、R10和R11為調用者保存寄存器。RBX、RBP、R12、R13、R14和R15為被調用者保存寄存器，需要將它們先保存在棧中再使用，最后返回前再恢復其值。

過程調用中使用的棧機制和寄存器使用約定，使得可以進行過程的嵌套調用和遞歸調用。

理解了遞歸的實現原理后，對於遞歸過程，就可以用棧將它改為非遞歸過程，如用棧幫助求解斐波那契函數的非遞歸算法

struct Node{   //棧結點的類定義
    longn;    //記憶走過的n
    inttag;   //區分左右遞歸的標志
}
longFibnacci(longn){
    Stack<Node> S ;
    Node *w;
    longsum=0;
    do{
        while(n>1){
            w->n=n;
            w->tag=1;
            S.push(w);
            n--;
        }
        sum=sum+n;
        while(!S.IsEmpty()）{
            S.Pop(w);
            if(w->tag==1){    //tag==1表示向左遞歸
                w->tag=2;     //tag==2表示向右遞歸
                S.push(w);
                n=w->n-2;
                break;
            }
        }
    }while(!S.IsEmpty())；
}

直接用遞歸法、或是借助棧求解斐波那契函數的時間復雜度是O(2 ⁿ)，因此可改用迭代法

longFibIter(longn){
    if(n<=1) returnn;
    longtwoback=0,oneback=1,Current;
    for(i=2;i<=n;i++){
        Current=twoback+oneback;  //計算Fib(i-2)+Fib(i-1)的值
        twoback=oneback;     //把Fib(i-1)的值保存作為下一次的Fib(i-2)
        oneback=Current;     //把Fib(i)的值保存作為下一次的Fib(i-1)
    }
    returnCurrent;
}

 

如果覺得斐波那契函數的非遞歸算法不好理解，可以舉一個更簡單的例子：

逆向打印數組A[]中數值的遞歸算法

voidrecfunc(intA[],intn){
    if(n>=0){
        cout<<A[n]<<",";
        n--;
        recfunc(A,n);
    }
}

改用迭代算法

voiditerfunc(intA[],intn){
    while(n>=0){
        count<<A[n]<<",";
        n--;
    }
}