模擬退火
（好久沒有寫博客，一寫就是這么玄乎的東西......）
前言
- 對於這種十分神奇的近似算法
（xjb隨機算法），我一向覺得這十分不靠譜。 - 然而，只有真正認真學習過這個
(極其富有魅力)的算法的人，才知道這個算法是多么的強(多么的不靠譜) - 那么，我就簡單的介紹一下模擬退火。
算法的物理原理 （沒什么用）
- PS：以下是摘自百度百科的物理原理介紹：
模擬退火算法來源於固體退火原理，將固體加溫至充分高，再讓其徐徐冷卻，加溫時，固體內部粒子隨溫升變為無序狀，內能增大，而徐徐冷卻時粒子漸趨有序，在每個溫度都達到平衡態，最后在常溫時達到基態，內能減為最小。根據Metropolis准則，粒子在溫度T時趨於平衡的概率為e(-ΔE/(kT))，其中E為溫度T時的內能，ΔE為其改變量，k為Boltzmann常數。用固體退火模擬組合優化問題，將內能E模擬為目標函數值f，溫度T演化成控制參數t，即得到解組合優化問題的模擬退火算法：由初始解i和控制參數初值t開始，對當前解重復“產生新解→計算目標函數差→接受或舍棄”的迭代，並逐步衰減t值，算法終止時的當前解即為所得近似最優解，這是基於蒙特卡羅迭代求解法的一種啟發式隨機搜索過程。退火過程由冷卻進度表(Cooling Schedule)控制，包括控制參數的初值t及其衰減因子Δt、每個t值時的迭代次數L和停止條件S。
- 是不是發現，有點看不懂呢？甚至有一點點懵逼呢？
- 其實，這些內容沒什么太大意義只是用來看看的。
- 唯一有點用的，可能就是那個平衡概率吧。
算法在oi中的作用
- oi中存在許多無法在多項式時間內解決的問題，如經典的TSP問題， 求費馬點等多種問題。這也就是人們所熟知的np難問題。
- 人們不能忍受在指數時間內達到正確的解。因為即使解是正確的，但可能到世界毀滅，這個解也跑不出。
- 所以，人們期望有一種時間復雜度低，但是卻能得到近似解的算法。即使這個算法得出的答案可能不是完全正確的。
- 這時，模擬退火，爬山，遺傳算法，蟻群算法就漸漸到了人們的關注中，顯得尤為重要了。
- 總而言之，模擬退火的作用就是：在較短的時間內，得到十分接近的答案，或者得到的就是答案。
算法實現
- 在知乎還是哪有一個特別有趣的比喻，在一定程度上說明了爬山算法與模擬退火的實現：
- 爬山算法：兔子朝着比現在高的地方跳去。它找到了不遠處的最高山峰。但是這座山不一定是珠穆朗瑪峰。這就是爬山算法，它不能保證局部最優值就是全局最優值。
- 模擬退火：兔子喝醉了。它隨機地跳了很長時間。這期間，它可能走向高處，也可能踏入平地。但是，它漸漸清醒了並朝最高方向跳去。這就是模擬退火。
- 從以上那毫無意義的物理原理，我們可以看出，模擬退火的主要步驟有幾個：
- 設置初始溫度\(T\)，初始符合條件的答案；
- 通過某種神奇的方式，找到另一個符合條件的新狀態；
- 分別將兩個狀態的答案計算出來，並作差得到\(\Delta E\)
- 根據題目要求，貪心的決定是否更換答案。即：選擇最優解。
- 如果無法替換答案，則根據一定概率替換答案。即運用到上述的平衡概率\(exp(\Delta E / T)\)隨機的決定是否替換。
- 每一次操作后，進行降溫操作。即：將溫度\(T\)乘上某一個系數，一般是\(0.985-0.999\)隨具體題目
（隨緣）定。
我們可以根據上述過程寫出一段偽代碼：
eps=1e-15;
T=初始溫度;
while(T>eps)
{
now=從當前最優狀態隨機更新的一個狀態；
delta=calc(now)-calc(ans);
if(delta與題目要求的滿足更優)ans=now;
else if(exp(delta/T)*RAND_MAX>rand())ans=now;//PS:這里的delta前面可能要加'-'；
T*=t0;//t0一般在0.985-0.999之間，根據具體題目時間，隨緣調試。。。
}
- 這就是模擬退火的具體實現方式，應該代碼已經不難實現了。
- PS：有一點需要注意的是，用平衡條件進行更新答案的時候，要根據題目判斷\(\Delta E\)前要不要加\(-\)，如果實在判斷不出，就兩種都試一試。如果其中一種出現特別大的答案，或很奇怪的答案，那就用另一種吧。要么就把那一行注釋掉，看看答案的變化大不大。
- 那么，模擬退火就講完了。具體的代碼實現，就通過具體的題目來看吧。
例題
（ 題目打完了，還沒寫題解。最近一篇篇加進來吧。）