數據結構42：n個結點構造多少種樹

 

本節要討論的是當給定 n（n>=0）個結點時，可以構建多少種形態不同的樹。

如果兩棵樹中各個結點的位置都一一對應，可以說這兩棵樹相似。如果兩棵樹不僅相似，而且對應結點上的數據也相同，就可以說這兩棵樹等價。本節中，形態不同的樹指的是互不相似的樹。

前面介紹過，對於任意一棵普通樹，通過孩子兄弟表示法的轉化，都可以找到唯一的一棵二叉樹與之對應。所以本節研究的題目也可以轉化成：n 個結點可以構建多少種形態不同的二叉樹。

每一棵普通樹對應的都是一棵沒有右子樹的二叉樹，所以對於 n 個結點的樹來說，樹的形態改變是因為除了根結點之外的其它結點改變形態得到的，所以，n 個結點構建的形態不同的樹與之對應的是 n-1 個結點構建的形態不同的二叉樹。

如果 t _n 表示 n 個結點構建的形態不同的樹的數量，b _n 表示 n 個結點構建的形態不同的二叉樹的數量，則兩者之間有這樣的關系： tn=bn-1。

方法一

最直接的一種方法就是推理。當 n=0 時，只能構建一棵空樹；當 n=2 時，可以構建 2 棵形態不同的二叉樹，如圖 1（A）；當 n=3 時，可以構建 5 棵形態互不相同的二叉樹，如圖 1（B）。

圖 1 不同形態的二叉樹

對於具有 n（ n>1 ）個結點的二叉樹來說，都可以看成是一個根結點、由 i 個結點組成的左子樹和由  n-i-1 個結點組成的右子樹。

當 n=1 時，也適用，只不過只有一個根結點，沒有左右孩子（i=0）。

可以得出一個遞推公式：

通過對公式一步步的數學推算，最后得出，含有 n 個結點的不相似的二叉樹的數量為：

方法二

從遍歷二叉樹的角度進行分析，對於任意一棵二叉樹來說，它的前序序列和中序序列以及后序序列都是唯一的。其實是這句話還可以倒過來說，只要確定了一棵二叉樹的三種遍歷序列中的兩種，那么這棵二叉樹也可以唯一確定。

例如，給定了一個二叉樹的前序序列和中序序列分別為：

前序序列：A B C D E F G
中序序列：C B E D A F G

可以唯一得到的二叉樹如圖 2（4）：

圖 2 構造二叉樹的過程示意圖

分析：通過前序序列得知，結點A為二叉樹的根結點，結合中序序列，在結點 A 左側的肯定為其左孩子中的所有結點，右邊為右孩子的所有結點，如圖 2（1）所示。

再分析 A 結點的左孩子，在前序序列看到，結點 A 后緊跟的是結點 B，由此斷定結點 A 的左孩子是 B，再看中序序列，結點 B 左側只有一個結點 C ，為 B 的左孩子，結點 B 右側的結點E 和 D 為右孩子，如圖 2（2）。

再分析結點 B 的右孩子，前序序列看到，結點 D 在 E 的前邊，所有 D 為 B 的右孩子。在中序序列中，結點 E 在 D 前邊，說明 E 是 D 的左孩子，如圖 2（3）。

最后分析結點 A 的右孩子，由前序序列看到， F 在 G 前邊，說明F為根結點。在中序序列中也是如此，說明，G 是 F 的右孩子。如圖 2（4）所示。

如果要唯一確定一棵二叉樹，必須知道至少兩種遍歷序列。如果只確定一種序列，無法准確判定二叉樹的具體構造。

圖 3 前序序列（1，2，3）的二叉樹

如圖 3 所示為前序序列（1，2，3）構建的不同形態的二叉樹，他們的中序序列各不相同。所以不同形態二叉樹的數目恰好就是前序序列一定的情況下，所能得到的不同的中序序列的個數。

中序序列是對二叉樹進行中序遍歷獲得的，遍歷的過程實質上就是結點數據進棧出棧的過程。所以，中序序列的個數就是數列（1，2，3）按1-2-3的順序進棧，
各元素選擇在不同的時間點出棧，所獲的的不同的出棧順序即為中序序列，而中序序列的數目，也就是不同形態的二叉樹的個數。

圖 4 中序遍歷時進棧和出棧的過程

根據數列中數據的個數 n，所得到的排列順序的數目為：

通過以上兩種方式，都可以知道n個結點能構建的不同形態的二叉樹的數量，再結合 tn=bn-1，就可以計算出 n 個結點能構建的不同形態的樹的個數。