《二叉樹》學習心得

樹的介紹

1. 樹的定義

樹是一種數據結構，它是由n（n>=1）個有限節點組成一個具有層次關系的集合。

把它叫做“樹”是因為它看起來像一棵倒掛的樹，也就是說它是根朝上，而葉朝下的。它具有以下的特點：
(01) 每個節點有零個或多個子節點；
(02) 沒有父節點的節點稱為根節點；
(03) 每一個非根節點有且只有一個父節點；
(04) 除了根節點外，每個子節點可以分為多個不相交的子樹。

 

2. 樹的基本術語

若一個結點有子樹，那么該結點稱為子樹根的"雙親"，子樹的根是該結點的"孩子"。有相同雙親的結點互為"兄弟"。一個結點的所有子樹上的任何結點都是該結點的后裔。從根結點到某個結點的路徑上的所有結點都是該結點的祖先。

結點的度：結點擁有的子樹的數目。
葉子：度為零的結點。
分支結點：度不為零的結點。
樹的度：樹中結點的最大的度。

層次：根結點的層次為1，其余結點的層次等於該結點的雙親結點的層次加1。
樹的高度：樹中結點的最大層次。
無序樹：如果樹中結點的各子樹之間的次序是不重要的，可以交換位置。
有序樹：如果樹中結點的各子樹之間的次序是重要的, 不可以交換位置。
森林：0個或多個不相交的樹組成。對森林加上一個根，森林即成為樹；刪去根，樹即成為森林。

 

二叉樹的介紹

1. 二叉樹的定義

二叉樹是每個節點最多有兩個子樹的樹結構。它有五種基本形態：二叉樹可以是空集；根可以有空的左子樹或右子樹；或者左、右子樹皆為空。

 

2. 二叉樹的性質

二叉樹有以下幾個性質：TODO(上標和下標)
性質1：二叉樹第i層上的結點數目最多為 2^{i-1} (i≥1)。
性質2：深度為k的二叉樹至多有2^{k}-1個結點(k≥1)。
性質3：包含n個結點的二叉樹的高度至少為log₂ (n+1)。
性質4：在任意一棵二叉樹中，若終端結點的個數為n₀，度為2的結點數為n₂，則n₀=n₂+1。

 

2.1 性質1：二叉樹第i層上的結點數目最多為 2^{i-1} (i≥1)

證明：下面用"數學歸納法"進行證明。
        (01) 當i=1時，第i層的節點數目為2^{i-1}=2^{0}=1。因為第1層上只有一個根結點，所以命題成立。
        (02) 假設當i>1，第i層的節點數目為2^{i-1}。這個是根據(01)推斷出來的！
               下面根據這個假設，推斷出"第(i+1)層的節點數目為2^{i}"即可。
                由於二叉樹的每個結點至多有兩個孩子，故"第(i+1)層上的結點數目" 最多是 "第i層的結點數目的2倍"。即，第(i+1)層上的結點數目最大值=2×2^{i-1}=2^{i}。
                故假設成立，原命題得證！

 

2.2 性質2：深度為k的二叉樹至多有2^{k}-1個結點(k≥1)

證明：在具有相同深度的二叉樹中，當每一層都含有最大結點數時，其樹中結點數最多。利用"性質1"可知，深度為k的二叉樹的結點數至多為：
           2⁰+2¹+…+2^k-1=2^k-1
           故原命題得證！

 

2.3 性質3：包含n個結點的二叉樹的高度至少為log₂ (n+1)

證明：根據"性質2"可知，高度為h的二叉樹最多有2^{h}–1個結點。反之，對於包含n個節點的二叉樹的高度至少為log₂(n+1)。

 

2.4 性質4：在任意一棵二叉樹中，若終端結點的個數為n₀，度為2的結點數為n₂，則n₀=n₂+1

證明：因為二叉樹中所有結點的度數均不大於2，所以結點總數(記為n)="0度結點數(n₀)" + "1度結點數(n₁)" + "2度結點數(n₂)"。由此，得到等式一。
         (等式一) n=n₀+n₁+n₂
　     另一方面，0度結點沒有孩子，1度結點有一個孩子，2度結點有兩個孩子，故二叉樹中孩子結點總數是：n₁+2n₂。此外，只有根不是任何結點的孩子。故二叉樹中的結點總數又可表示為等式二。
         (等式二) n=n₁+2n₂+1
        由(等式一)和(等式二)計算得到：n₀=n₂+1。原命題得證！

 

3. 滿二叉樹，完全二叉樹和二叉查找樹

3.1 滿二叉樹

定義：高度為h，並且由2^{h} –1個結點的二叉樹，被稱為滿二叉樹。

 

3.2 完全二叉樹

定義：一棵二叉樹中，只有最下面兩層結點的度可以小於2，並且最下一層的葉結點集中在靠左的若干位置上。這樣的二叉樹稱為完全二叉樹。
特點：葉子結點只能出現在最下層和次下層，且最下層的葉子結點集中在樹的左部。顯然，一棵滿二叉樹必定是一棵完全二叉樹，而完全二叉樹未必是滿二叉樹。

 

3.3 二叉查找樹

定義：二叉查找樹(Binary Search Tree)，又被稱為二叉搜索樹。設x為二叉查找樹中的一個結點，x節點包含關鍵字key，節點x的key值記為key[x]。如果y是x的左子樹中的一個結點，則key[y] <= key[x]；如果y是x的右子樹的一個結點，則key[y] >= key[x]。

在二叉查找樹中：
(01) 若任意節點的左子樹不空，則左子樹上所有結點的值均小於它的根結點的值；
(02) 任意節點的右子樹不空，則右子樹上所有結點的值均大於它的根結點的值；
(03) 任意節點的左、右子樹也分別為二叉查找樹。
(04) 沒有鍵值相等的節點（no duplicate nodes）。

在實際應用中，二叉查找樹的使用比較多。下面，用C語言實現二叉查找樹。

 

二叉查找樹的C實現

1. 節點定義

1.1 節點定義

typedef int Type; typedef struct BSTreeNode{ Type key; // 關鍵字(鍵值) struct BSTreeNode *left; // 左孩子 struct BSTreeNode *right; // 右孩子 struct BSTreeNode *parent; // 父結點 }Node, *BSTree;

二叉查找樹的節點包含的基本信息：
(01) key       -- 它是關鍵字，是用來對二叉查找樹的節點進行排序的。
(02) left       -- 它指向當前節點的左孩子。
(03) right    -- 它指向當前節點的右孩子。
(04) parent -- 它指向當前節點的父結點。

 

1.2 創建節點

創建節點的代碼

static Node* create_bstree_node(Type key, Node *parent, Node *left, Node* right) { Node* p; if ((p = (Node *)malloc(sizeof(Node))) == NULL) return NULL; p->key = key; p->left = left; p->right = right; p->parent = parent; return p; }

 

2 遍歷

這里講解前序遍歷、中序遍歷、后序遍歷3種方式。

2.1 前序遍歷

若二叉樹非空，則執行以下操作：
(01) 訪問根結點；
(02) 先序遍歷左子樹；
(03) 先序遍歷右子樹。

前序遍歷代碼

void preorder_bstree(BSTree tree) { if(tree != NULL) { printf("%d ", tree->key); preorder_bstree(tree->left); preorder_bstree(tree->right); } }

 

2.2 中序遍歷

若二叉樹非空，則執行以下操作：
(01) 中序遍歷左子樹；
(02) 訪問根結點；
(03) 中序遍歷右子樹。

中序遍歷代碼

void inorder_bstree(BSTree tree) { if(tree != NULL) { inorder_bstree(tree->left); printf("%d ", tree->key); inorder_bstree(tree->right); } }

 

2.3 后序遍歷

若二叉樹非空，則執行以下操作：
(01) 后序遍歷左子樹；
(02) 后序遍歷右子樹；
(03) 訪問根結點。

后序遍歷代碼

void postorder_bstree(BSTree tree) { if(tree != NULL) { postorder_bstree(tree->left); postorder_bstree(tree->right); printf("%d ", tree->key); } }

 

 

下面通過例子對這些遍歷方式進行介紹。

對於上面的二叉樹而言，
(01) 前序遍歷結果： 3 1 2 5 4 6
(02) 中序遍歷結果： 1 2 3 4 5 6 
(03) 后序遍歷結果： 2 1 4 6 5 3

 

3. 查找

遞歸版本的代碼

Node* bstree_search(BSTree x, Type key)
{
    if (x==NULL || x->key==key) return x; if (key < x->key) return bstree_search(x->left, key); else return bstree_search(x->right, key); }

非遞歸版本的代碼

Node* iterative_bstree_search(BSTree x, Type key)
{
    while ((x!=NULL) && (x->key!=key)) { if (key < x->key) x = x->left; else x = x->right; } return x; }

 

4. 最大值和最小值

查找最大值的代碼

Node* bstree_maximum(BSTree tree)
{
    if (tree == NULL) return NULL; while(tree->right != NULL) tree = tree->right; return tree; }

查找最小值的代碼

Node* bstree_minimum(BSTree tree)
{
    if (tree == NULL) return NULL; while(tree->left != NULL) tree = tree->left; return tree; }

5. 前驅和后繼

節點的前驅：是該節點的左子樹中的最大節點。
節點的后繼：是該節點的右子樹中的最小節點。

查找前驅節點的代碼

Node* bstree_predecessor(Node *x)
{
    // 如果x存在左孩子，則"x的前驅結點"為 "以其左孩子為根的子樹的最大結點"。 if (x->left != NULL) return bstree_maximum(x->left); // 如果x沒有左孩子。則x有以下兩種可能： // (01) x是"一個右孩子"，則"x的前驅結點"為 "它的父結點"。 // (01) x是"一個左孩子"，則查找"x的最低的父結點，並且該父結點要具有右孩子"，找到的這個"最低的父結點"就是"x的前驅結點"。 Node* y = x->parent; while ((y!=NULL) && (x==y->left)) { x = y; y = y->parent; } return y; }

查找后繼節點的代碼

Node* bstree_successor(Node *x)
{
    // 如果x存在右孩子，則"x的后繼結點"為 "以其右孩子為根的子樹的最小結點"。 if (x->right != NULL) return bstree_minimum(x->right); // 如果x沒有右孩子。則x有以下兩種可能： // (01) x是"一個左孩子"，則"x的后繼結點"為 "它的父結點"。 // (02) x是"一個右孩子"，則查找"x的最低的父結點，並且該父結點要具有左孩子"，找到的這個"最低的父結點"就是"x的后繼結點"。 Node* y = x->parent; while ((y!=NULL) && (x==y->right)) { x = y; y = y->parent; } return y; }

 

6. 插入

插入節點的代碼

static Node* bstree_insert(BSTree tree, Node *z) { Node *y = NULL; Node *x = tree; // 查找z的插入位置 while (x != NULL) { y = x; if (z->key < x->key) x = x->left; else x = x->right; } z->parent = y; if (y==NULL) tree = z; else if (z->key < y->key) y->left = z; else y->right = z; return tree; } Node* insert_bstree(BSTree tree, Type key) { Node *z; // 新建結點 // 如果新建結點失敗，則返回。 if ((z=create_bstree_node(key, NULL, NULL, NULL)) == NULL) return tree; return bstree_insert(tree, z); }

bstree_insert(tree, z)是內部函數，它的作用是：將結點(z)插入到二叉樹(tree)中，並返回插入節點后的根節點。
insert_bstree(tree, key)是對外接口，它的作用是：在樹中新增節點，key是節點的值；並返回插入節點后的根節點。

 

注：本文實現的二叉查找樹是允許插入相同鍵值的節點的！若用戶不希望插入相同鍵值的節點，將bstree_insert()修改為以下代碼即可。

static Node* bstree_insert(BSTree tree, Node *z) { Node *y = NULL; Node *x = tree; // 查找z的插入位置 while (x != NULL) { y = x; if (z->key < x->key) x = x->left; else if (z->key > x->key) x = x->right; else { free(z); // 釋放之前分配的系統。 return tree; } } z->parent = y; if (y==NULL) tree = z; else if (z->key < y->key) y->left = z; else y->right = z; return tree; }

 

7. 刪除

刪除操作還是有些麻煩的，不過認真看完以下三種情形的處理后，就比較容易了

圖1 二叉樹刪除操作的三種情況:a)被刪除節點z沒有任何子女 b)被刪節點z有一個子女 c)被刪節點z有兩個子女

 

 

 

總共有三種情況：

 

1. 被刪除節點z沒有任何子女。是最簡單的情況，將z父節點12的兒子指針置為null，再free掉節點z就好;
2. 被刪節點z有且只有有一個子女。這個情況稍微麻煩點，但說起來比較容易，將節點z的父節點15和其唯一子節點20連接起來就好，然后free掉節點z就好;
3. 被刪節點z有兩個子女。這個是最復雜的，但是其基本思想還是沒變，將第三種情況轉化為第二種情況處理即可。那么怎么做呢？解決方法就是去找z的后繼（后繼是什么？就是比節點z中關鍵字5大的所有節點中最小的那個，說起來很拗口是吧，就是圖中關鍵字為6的節點y）。要刪除有兩個子女的節點z，就去找它的后繼節點y，它的后繼節點y能保證只有一個右兒子（為什么？如果它的后繼節點有左兒子，那么節點y就不可能是z的后繼節點。算導書上p155 練習 12.2-5有要求證明，不懂的可以稍微思考下）。基於上述事實，我們找到了z的后繼節點y，那么就已經將情況3轉化為了情況2了，接下來要做的操作就是將y的父節點10與y的子節點7連起來。這時還沒做完，因為z才是待刪除的節點，我們要將節點z出的關鍵字替換為節點y的關鍵字，如圖中所示。然后free掉節點y。

 

刪除節點的代碼

static Node* bstree_delete(BSTree tree, Node *z) { Node *x=NULL; Node *y=NULL; if ((z->left == NULL) || (z->right == NULL) ) y = z; else y = bstree_successor(z); if (y->left != NULL) x = y->left; else x = y->right; if (x != NULL) x->parent = y->parent; if (y->parent == NULL) tree = x; else if (y == y->parent->left) y->parent->left = x; else y->parent->right = x; if (y != z) z->key = y->key; if (y!=NULL) free(y); return tree; } Node* delete_bstree(BSTree tree, Type key) { Node *z, *node; if ((z = bstree_search(tree, key)) != NULL) tree = bstree_delete(tree, z); return tree; }

bstree_delete(tree, z)是內部函數，它的作用是：刪除二叉樹(tree)中的節點(z)，並返回刪除節點后的根節點。
delete_bstree(tree, key)是對外接口，它的作用是：在樹中查找鍵值為key的節點，找到的話就刪除該節點；並返回刪除節點后的根節點。

8. 打印

打印二叉樹的代碼

void print_bstree(BSTree tree, Type key, int direction) { if(tree != NULL) { if(direction==0) // tree是根節點 printf("%2d is root\n", tree->key); else // tree是分支節點 printf("%2d is %2d's %6s child\n", tree->key, key, direction==1?"right" : "left"); print_bstree(tree->left, tree->key, -1); print_bstree(tree->right,tree->key, 1); } }

print_bstree(tree, key, direction)的作用是打印整顆二叉樹(tree)。其中，tree是二叉樹節點，key是二叉樹的鍵值，而direction表示該節點的類型：

direction為 0，表示該節點是根節點;
direction為-1，表示該節點是它的父結點的左孩子;
direction為 1，表示該節點是它的父結點的右孩子。

 

9. 銷毀二叉樹

銷毀二叉樹的代碼

void destroy_bstree(BSTree tree) { if (tree==NULL) return ; if (tree->left != NULL) destroy_bstree(tree->left); if (tree->right != NULL) destroy_bstree(tree->right); free(tree); }